AR第十七讲 解三角形.doc

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1、 高考数学一轮第十七讲 第 1 页共 9 页 第十七讲 解三角形考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容.(为外接2sinsinsinabcRABCRABC圆半径)；2222cosabcbcA；2222cosbacacB2222coscbabaC变形形式(1)，2 sinaRA，；2 sinbRB2 sincRC (2)；: :sin:sin:sina b cABC(3)，sin2aARsin2bBRsin2cCR；222 cos2bcaAbc；222 cos2acbBac222 cos2abcCab二、三角形常用的面积公式11111sin

2、sinsin2222SabCbcAacB底高2数量积形式的三角形面积公式在中，设，且，ABCCA aCB b,a b则2221| |()2Saba b3坐标形式的三角形面积公式在中，设，则ABC12(,)CBa a a12( ,)CAb b b1 22 11|2Saba b【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、正弦定理1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角） 2由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在

3、中，ABCABabsinsinAB【提示】已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注意对解高考数学一轮第十七讲 第 2 页共 9 页 的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解和无解三种情况判断它的解的个数的依据是：(1)看与“1”的大小关系（即当时无解；当时可能有一解；当sinbAma1m 1m 时可能有两解） ；(2)当时，再看由所确定角的值与已知角01m01msin BmB的和是否小于，从而确定它的解的个数A180二、余弦定理1变形：，222 cos2bcaAbc222 cos2acbBac222 cos2abcCab2利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问

4、题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角三、解三角形应用题解三角形应用题的一般步骤：1阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型3根据题意选择正弦定理或余弦定理求解4将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等5作答四、三角形面积公式1在解决有关三角形的问题时，面积公式最111sinsinsin222SabCbcAacB常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来2利用面积公式可以推导

5、正弦定理，将上述111sinsinsin222SabCbcAacB等式中的各式都除以，得，即1 2abcsinsinsinCBA cbasinsinsinabc ABC考点分类精讲考点考点 1 正弦定理正弦定理1利用正弦定理解三角形2正弦定理变形公式的灵活运用高考数学一轮第十七讲 第 3 页共 9 页 【例 1】在中，已知，求角、和边的值ABC3a 2b 45B ACc【解析】，且，有两解，45B 90sinaBbaABC由正弦定理得，即，sinsinab ABsin3sin453sin22aBAb或60A 120A (1)当时，此时60A 180()75CAB=；sin sinbCcB2 s

6、in7562 sin452(2)当时，此时120A 180()15CAB=sin sinbCcB2 sin1562 sin452所以，或，60A 75C 62 2c120A 15C 62 2c点拨：已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，这类问题可有一解、两解和无解三种情况【例 2】(1)已知，分别是的三个内角，所对的边，若，=abcABCABC1a b，则= 32ACBsinC(2)中，则的最大值为_ABC60 ,3,BAC2ABBC【解析】(1)由及知，2ACB180ABC60B 由正弦定理知，13 sinsin60A即由知，则，1sin2A ab60AB30A 180CABo90o于是

7、sinsin901C (2)在中，根据，ABCsinsinsinABACBC CBA高考数学一轮第十七讲 第 4 页共 9 页 得，同理，3sinsin2sinsin3 2ACABCCCB2sinBCA因此=2ABBC22sin4sin2sin4sin()4sin2 3cos3CACCCC=，因此的最大值为2 7sin()C3(tan)22ABBC2 7点拨：本例利用正弦定理实现了“边”与“角”之间的相互转化，将“求的2ABBC最大值”问题转化为“求函数的最大值”问题使问题得到顺利4sin2 3cosyCC地解决考点考点 2 余弦定理余弦定理1利用余弦定理解三角形2余弦定理变形公式的灵活运用【

8、例 3】在ABC中， 4B =，BC 边上的高等于1 3BC,则cos A= A3 10 10B10 10C10 10- D3 10 10-【解析】设中角，的对边分别是，ABCABCabc由题意可得，则12sin342acc3 2 2ac在中，由余弦定理可得，ABC2222222952322baccacccc则由余弦定理得，10 2bc22222259 1022cos2101022cccbcaAbccc 故选 C【例 4】在中，角的对边分别是，已知ABCV, ,A B C, ,a b csincossinCCC(1)求的值；sinC(2)若，求边的值()abab c【解析】(1)由已知得即，s

9、insin1cos,2CCC 2sin(2cos1)2sin222CCC由1sin02cos12sin,sincos222222CCCCC 得即高考数学一轮第十七讲 第 5 页共 9 页 同边平方得：3sin4C (2)由，1sincos0222422CCC得即37,sincos244CCC 则由得由22224()8:(2)(2)0,2,2abababab得则由余弦定理得2222cos82 7,71.cababCc所以考点考点 3 三角形面积公式三角形面积公式1根据已知条件，求三角形的面积2已知三角形的面积，解三角形【例 5】(1)已知中,则ABC 的面积为 ABC3AB 1BC sin3co

10、sCC(2)已知，分别为三个内角，的对边，2，且abcABCABCa，则面积的最大值为_(2)(sinsin)bAB()sincbCABC【解析】(1)由得，所以sin3cosCCtan30C 3C根据正弦定理可得，即，sinsinBCAB AC132sin3 2A所以因为，所以，所以，所以，1sin2A ABBCAC6A2B即三角形为直角三角形，故133 122ABCS (2)，2，2sinsinsinabcRABCa又可化为，(2)(sinsin)bAB()sincbC()()()ab abcbc，222abcbc222bcabc，2221cos222bcabcAbcbc60A中，ABC2

11、222242cos602abcbcbcbcbcbcbc(“”当且仅当时取得)，bc高考数学一轮第十七讲 第 6 页共 9 页 113sin43222ABCSbcA 【例 6】的内角，的对边分别为，ABCABCabcm(sin,5sin5sin)BAC与垂直(5sin6sin,sinsin)BCCAn(1)求的值；sin A(2)若，求的面积的最大值2 2a ABCS【解析】(1)与垂直，m(sin,5sin5sin)BAC(5sin6sin,sinsin)BCCAn，mn2225sin6sinsin5sin5sin0BBCCA即2226sinsinsinsinsin5BCBCA根据正弦定理得，

12、2226 5bcbca由余弦定理得2223cos25bcaAbc是的内角，AABCsin A241 cos5A(2)由(1)知，2226 5bcbca2222625bcbcabca又，2 2a 10bc的面积，ABC12sin425bcSbcA的面积的最大值为 4ABCS点拨：根据“题眼” ，灵活地选择三角公式和三角形面积公式，是解决与三角形有关问题的关键考点考点 4 正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理的综合应用1利用正弦定理、余弦定理及三角函数公式和恒等变换的基本思想方法判定三角形的形状2正弦定理、余弦定理与其它知识的综合问题【例 7】(1)如图，在中，是边上的点，且，ABCDA

13、C,23ABADABBD，则的值为2BCBDsinC高考数学一轮第十七讲 第 7 页共 9 页 BACDA B C D3 33 66 36 6(2)设的内角的对边分别是，若，ABC, ,A B C, ,a b csincossinABC那么一定是( )ABCA直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】(1)设，则，在中，由余弦定理ABcADc2 3cBD 4 3cBC ABD得，则，在中，22224 13cos23ccc Ac 2 2sin3A ABC由正弦定理得，解得故选 D4 3 sinsin2 2 3c cBC CA6sin6C (2)法一：由已知得，2sincoss

14、insin()sincoscossinABCABABAB即，因为，所以.故选 Bsin()0ABABAB法二：由正弦定理得，再由余弦定理得，2 cosaBc222 22acbacac化简得，即故选 B22abab点拨：欲判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三个角相等？有无直角？有无钝角？解这类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化，逐步化为纯粹的边与边的关系或角与角的关系，通过运算求出边或角的大小，从而作出正确判断【例 8】中，是上的点，平分，面积是面积的 2

15、ABCDBCADBACABDADC倍高考数学一轮第十七讲 第 8 页共 9 页 (1)求 ；sin sinB C(2)若=1，=，求和的长ADDC2 2BDAC【解析】(1)1sin2ABDSAB ADBADD=1sin2ADCSAC ADCADD=因为，所以2ABDADCSSDD=BADCAD=2ABAC=由正弦定理可得sin1 sin2BAC CAB=(2)因为，所以在和中，:ABDADCSSBD DC2BD ABDADC由余弦定理得，2222cosABADBDAD BDADB2222cosACADDCAD DCADC由(1)知，所以222222326ABACADBDDC2ABAC1AC

16、点拨：正弦定理和余弦定理具有将三角形的“边”与“角”互化的功能，综合运用能使问题顺利地解决【例 9】在内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cossinabCcBABC(1)求B；(2)若2b ，求ABC面积的最大值【解析】(1)由已知及正弦定理得，sinsincossinsinABCBC又()ABC所以，sinsincoscossinABCBC由和得(0, )CsincosBB又，所以(0, )B4B(2)的面积ABC12sin24SacBac由余弦定理得：2222cos4bacac，即2242acac，高考数学一轮第十七讲 第 9 页共 9 页 由不等式得：222acac，

17、当且仅当ac时，取等号，所以4(22)ac，解得42 2ac ，所以的面积为2(42 2)4=21，ABC2 4ac所以ABC面积的最大值为21【例 10】在中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且ABCcoscossinABC abc(1)证明：；sinsinsinABC(2)若，求2226 5bcabctan B【解析】(1)根据正弦定理，可设=k(k0)sina Asinb Bsinc C则，sinakAsinbkBsinckC代入+=中，有cos A acosB bsinC c+=，变形可得cos sinA kAcos sinB kBsin sinC kCsinsinsincoscossinsin()ABABABAB在中，由，有，ABCABCsin()sin()sinABCC所以sinsinsinABC(2)由已知，2226 5bcabc根据余弦定理，有=cos A2222bca bc3 5所以=sin A21 cos A4 5由(1)，sinsinsincoscossinABABAB所以=+，4sin5B4cos5B3sin5B故=4tan Bsin cosB B本专题试题训练详见试题精练