AO第十四讲 三角恒等变换.doc

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1、 高考数学一轮第十四讲 第 1 页共 10 页 第十四讲 三角恒等变换考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的三角函数公式；简记为：sin()sincoscossin()S；简记为：cos()coscossinsin()C；简记为：tantantan()1tantan()T【提示】公式成立的条件：在公式中，只有当公式的等号两端都有意义时，公式才成立在公式中，、都不等于，即保证、()T2k()kZtan、都有意义tantan()2有关公式的逆用、变形；tantantan()(1tantan)，21 sin2(sincos)21 sin2(

2、sincos)sincos2sin()43辅助角公式函数(为非零常数)，可化为( )cossinfab, a b或，其中可由的值唯一22( )sin()fab22( )cos()fab, a b确定二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角公式，sin22sincos，2222cos2cossin2cos11 2sin 22tantan21tan高考数学一轮第十四讲 第 2 页共 10 页 2二倍角公式的变形升幂：，2cos22cos121 cos22cos2cos21 2sin 21 cos22sin降幂：，21 cos2cos221 cos2sin23完全平方公式21 sin(sincos)

3、22三、半角公式1半角的正弦、余弦、正切公式，1 cossin22 1 coscos22 1 costan21 cos 2半角正切的变形公式2sin2sin1 cos22tan2sincos2sincos222 22sin2sincossin222tan21 coscos2cos22 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导1在中，以代替，即可得到()C()C 2利用，即可得到；再以代替cos()sin2sin()cos2()S即可得到()S 3利用，即可得到sintancos()T4要能熟练推证公式、熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用【提

4、示】要注意拆角、拼角技巧例如：，2()()()，等22()()222高考数学一轮第十四讲 第 3 页共 10 页 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式推导1在公式、中，当时，就可得到公式、()S()C()T2S、，在公式、中，角没有限制，在中，只有当且2C2T2S2C2T24k时，公式才成立2k【提示】(1)要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件(2)注意倍角的相对性，如是的倍角，是的倍角233 2三、三角恒等变形三角函数的恒等变形是对所给的三角式进行一系列等价转化的过程，即通过变角、变名、变式等达到解

5、题的目的，其实质是“形”变而“值”不变，强烈的变换意识、精细的观察和分析是进行三角恒等变形的前提条件1三角恒等变形的基本思路(1)变角目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” ，如=等()22(2)变名通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切割化弦”“升次与降次”等(3)变式根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换” “逆用和变用公式” “通分约分” “分解与组合” “配方与平方”等2三角恒等变形可以归纳为以下三步(1)找到差异：主要是指角、函数名称和运算间的差异；(2)抓住联系：即利用有关公式，建立差异间的联系；

6、(3)促进转化：就是灵活选择公式，促使差异转化，以达到简化统一的目的3注意以下三角恒等变换思想的运用切割化弦、 “1”的代换、收缩代换公式=的运sincosab22sin()ab用、降幂与升幂、和差与积的互化、角的变换、万能代换等高考数学一轮第十四讲 第 4 页共 10 页 考点分类精讲考点考点 1 公式的运用公式的运用1直接运用公式解题2灵活运用公式解题【例 1】已知，1tan3 5cos,5,(0, ) (1)求的值；tan()(2)求函数的最大值( )2sin()cos()f xxx【解析】(1)由，得，5cos,5(0, )tan22 5sin5即=. tan()12tantan312

7、1tantan13 (2)因为，所以1tan,(0, )3 13sin,cos1010 ，3 5552 5( )sincoscossin5555f xxxxx 5sin x 的最大值为( )f x5点拨：运用两角和、差与倍角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的结构特征，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似的结构特征，联想相应的公式，从而找到解题的切入点【例 2】化简：(1)；tan25tan353tan25tan35(2)2345coscoscoscosc

8、os1111111111【解析】(1)原式=tan(2535 )(1tan25 tan35 )3tan25tan353高考数学一轮第十四讲 第 5 页共 10 页 (2)原式=246810sinsinsinsinsin1111111111 23452sin2sin2sin2sin2sin1111111111=53sin()sin()sin()1111111 3532sinsinsin111111 1 32点拨：在本例(1)中使用了公式的变形公式tantantan()1tantan，快速地得到结果，而在(2)中使用了公式tantantan()(1tantan)的变形公式，简化了计算过程sin22

9、sincossin2cos2sin对于一个三角公式，我们不但要掌握这个公式的正用、逆用，还要掌握变形使用例如：，这个公式成立的条件是是任意角，是的两倍于是sin22sincos2下面公式都成立：,sin42sin2cos2sin82sin4cos4,sin2sincos22，倍角公式的精髓体现在角的倍数关系上sin2sincos244考点考点 2 三角函数式的求值三角函数式的求值1给角求值问题2给值求值问题3给值求角问题【例 3】的值为 sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 【解析】原式=sin(158 )cos15 sin8 cos(158 )sin15 sin8 =s

10、in15 cos8cos15 sin8cos15 sin8 cos15 cos8sin15 sin8sin15 sin8 =2sin15 cos8 2cos15 cos8sin15 cos152sin15 sin15 2cos15 sin15 高考数学一轮第十四讲 第 6 页共 10 页 =2312sin 151 cos3022311sin30 22点拨：解决这类给角求值问题的关键是进行角的变换和式子结构的变换，角的变换要注意发现式子中各角之间哪些具有和差关系，哪些具有倍半关系，从而选择相应的公式进行转化；结构的变换则要在熟悉各公式结构、符号特征的基础上与已知条件相联系，进行合理地变换【例 4

11、】设，其中，1cos()29 2sin()23(, )2(0,)2求的值cos()【解析】由条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：，()()222因此可以先求出，再利用倍角公式求出的值cos2cos()，(, )2(0,)2，(, )24(,)24 2 214 5sin()1 cos ()122819，245cos()1 sin ()12293coscos()()222=cos()cos()sin()sin()2222=154 527 5 939327=cos()227 52392cos12 ()1227729 点拨：对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值

12、，关键在于“变角” ，使“所求角”变为“已知角” ，若角所在象限没有确，则应分类讨论应注意公式的灵活运用，还要会拆角、拼角等技巧【例 5】已知函数1( )2sin(),.36f xxxR高考数学一轮第十四讲 第 7 页共 10 页 (1)求的值；5()4f(2)设求的值106,0,(3),(32 ),22135faf cos()【解析】(1)；515()2sin()4346f2sin24 (2)101(3)2sin(3)2sin,132326f61(32 )2sin(32 )2sin()2cos,5362f53sin,cos,1352 2512cos1sin1,13132 234sin1cos

13、1,55故3125456cos()coscossinsin.51313565【例 6】已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数x3cossin0xxm(0,2 )解，求的值【解析】构造关于，的方程，借助角的变换解决，是方程在区间上的两个不相等的实数根，3cossin0xxm(0,2 ) ，3cossin0m，3cossin0m得，3(coscos)sinsin3cos()cos()2222=,sin()sin()2222两边展开整理得，2 3sinsin2cossin2222 3tan23高考数学一轮第十四讲 第 8 页共 10 页 又，或，故或(0,2 )2267 6 37 3点拨： (1)

14、如果三角函数条件式本身就是方程的形式，那么在进行三角变换时要重视方程思想与方法并会灵活运用值得一提的是，凡是求某角，基本上是先求出其三角函数值，再求角(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，可遵照下列原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(0,)2若角的范围是选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(0, )(,)2 2 考点考点 3 三角函数式的化简三角函数式的化简1利用公式化简三角函数式2利用公式解决有关三角函数的综合问题【例 7】化简222cos12tan()sin ()44 【解析】原式=cos2sin(2 )21

15、 cos(2 )21 cos(2 )2 cos21cos2(1 sin2 )1 sin2 点拨：(1)三角函数式的化简方法：一般从减少角的个数、减少三角函数的种类、改变函数式的运算结构入手，采用转化运算形式，合理运用所学公式(2)三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应求出其值(3)在三角函数式的化简过程中，应注意辅助角公式“=sincosab”的灵活运用运用时应注意以下几点：一是运用公式时最好多写一22sin()ab步，即=sincosab222222(sincos)abab abab （其他公式类

16、似） ，这样就清楚地知道，22sin()ab 22sinbab 高考数学一轮第十四讲 第 9 页共 10 页 ，二是辅助角及角的取值范围，注意其对三角函数范围的影响； 22cosaab 三是辅助角能用特殊角表示时，就不要用字母来表示考点考点 4 三角函数的综合问题三角函数的综合问题1三角形中有关问题2利用换元法将代数问题转化为三角函数问题，或将三角问题转化为代数问题3先利用三角恒等变换化简其函数解析式，再研究性质【例 8】在中，ABCcos cosACB ABC(1)证明；BC(2)若=，求的值cos A1 3sin(4)3B【解析】(1)在中，由正弦定理及已知得=.ABCsin sinB C

17、cos cosB C于是，即sincoscossin0BCBCsin()0BC因为，从而.所以.BC0BCBC(2)由和(1)得，ABC2AB故.1cos2cos(2 )cos3BBA 又,于是=.02Bsin2B21 cos 2B2 2 3从而=，=.sin42sin2 cos2BBB4 2 9cos4B227cos 2sin 29BB 所以4 27 3sin(4)sin4 coscos4 sin33318BBB【例 9】已知函数( )tan(2),4f xx(1)求的定义域与最小正周期；( )f x(2)设，若求的大小(0,)4()2cos2 ,2f【解析】(1)由，得.2,42xkkZ,

18、82kxkZ所以的定义域为，的最小正周期为( )f x|,82kxR xkZ( )f x.2高考数学一轮第十四讲 第 10 页共 10 页 (2)由得( )2cos2 ,2afatan()2cos2 ,4aa22sin()42(cossin), cos()4a aa a 整理得sincos2(cossin )(cossin ).cossinaaaaaaaa因为，所以(0,)4asincos0.aa因此，即21(cossin )2aa1sin22a 由，得.(0,)4a2(0,)2a所以，即26a12a点拨：先化简三角函数式，再研究其性质是高考的热点问题，化简三角函数式的一般解题思路为“六遇六想” ，即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降幂；遇特角，想求值；遇和式，想收缩， “六遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效，其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促转化） ，两种数学思想（转化思想和方程思想） ，五种变换方法（切割化弦、降幂、常值代换等） 本专题试题训练详见试题精练