BG第三十一讲 直线的方程.doc

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1、 高考数学一轮第三十一讲 第 1 页共 11 页 第三十一讲 直线的方程考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、直线的倾斜角和斜率及直线方程1直线的倾斜角与斜率(1)定义：当直线 与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线 向上方向之间所lxxxl成的角叫做直线 的倾斜角当直线 与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.llx(2)范围：直线 倾斜角的取值范围是l0, )2斜率公式(1)直线 的倾斜角为，则斜率l90tank(2)，在直线 上，且，则 的斜率111( ,)P x y222(,)P xyl12xxl2121yykxx3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式00()yyk

2、xx不含直线0xx斜截式ykxb不含垂直于轴的直线x两点式112121yyxx yyxx不含直线()和1xx12xx直线()1yy12yy截距式1xy ab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式，0AxByC220AB平面内所有直线都适用二、两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有1l2l1k2k12ll12kk当直线，不重合且斜率都不存在时，1l2l12ll(2)两条直线垂直如果两条直线，的斜率存在，设为，则有1l2l1k2k12ll121k k 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，12ll2两条直线的交点的求

3、法高考数学一轮第三十一讲 第 2 页共 11 页 直线：，： (，1l1110AxB yC2l2220A xB yC1A1B1C2A2B为常数)，则与的交点坐标就是方程组的解2C1l2l1112220 0AxB yC A xB yC 3距离，两点之间的距离111( ,)P x y222(,)P xy12|PP22 2121()()dxxyy点到直线 ：的00(,)P xyl0AxByC距离0022|AxByCd AB 平行线与10AxByC间的距离20AxByC1222|CCd AB 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、直线的倾斜角与斜率1理解倾斜角的概念要注意三点：(1)直线向上的方

4、向； (2)与轴的正方向；(3)所x成的最小正角2直线都有倾斜角，但不一定有斜率（当直线与轴垂直时，即倾斜角为时，斜x2率不存在） 它们的关系是，时，为增函数tank0,)(, )22k二、直线方程求直线方程的一般方法：1直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程2待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程，【提示】(1)在求直线方程时，要注意不同形式方程表示直线的局限性，例如用斜截式方程，必须要斜率和截距都存在ykxbkb(2)截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与轴的交点的纵坐标，横y截距是直线与轴的交点的横坐标，而距离是

5、一个非负数x(3)在设直线的斜率为时，就是默认了直线的斜率存在倘若符合题意的直线的斜率k可以不存在，我们的解题便有明显的漏洞，补救的办法是检验当斜率不存在时是否符合题意但我们也看到，有时候又不需要做这样的补救，那么，如何判断该不该“补救”呢？高考数学一轮第三十一讲 第 3 页共 11 页 看图！在很多情况下，图会“提醒”我们三、两条直线的位置关系斜截式一般式方程，11yk xb22yk xb，1110AxB yC2220A xB yC相交12kk12210ABA B垂直121k k 12120A AB B平行且12kk12bb或122121120 0ABA B B CBC 122112210

6、0ABA B ACA C 重合且12kk12bb12212112ABA BB CBC12210ACA C【提示】用直线的一般式判断两条直线的位置关系，表中给出了判断两条直线相交、平行、重合的等价条件，当时，一般用来判断两条直线相交；用2220A B C 1122AB AB来判断两条直线平行；用来判断两条直线重合上述比例关111222ABC ABC111222ABC ABC系不是判断两条直线相交、平行、重合的等价条件四、距离1求解点到直线的距离问题时，直线方程要化成一般式2两条平行线，间的距离也可利用点到直线的距10AxByC20AxByC离来求，1222|CCd AB 【提示】两条平行直线间的

7、距离公式，要注意对应的，项的系数必须相同xy五、对称1点关于点的对称问题点关于点的对称点为00(,)P xy( , )A a b00(2,2)Paxby2点关于直线的对称问题高考数学一轮第三十一讲 第 4 页共 11 页 设点关于直线的对称点为，00(,)P xyykxb( ,)P x y则有，可求出、0000122yykxxyyxxkb xy特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直00(,)P xyxa00(2,)Paxy00(,)P xy线的对称点为yb00(,2)P xby考点分类精讲考点考点 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1求直线的倾斜角与斜率2直线的倾斜角与斜率相互转化3直线

8、的倾斜角与斜率的应用【例 1】若圆上至少有三个不同的点到直线 ：的距2244100xyxyl0axby离为，则直线 的倾斜角的取值范围是( )2 2lA B C D ,12 45,12 12,6 3 0,2【解析】圆整理为，圆心坐标为2244100xyxy222(1)(2)(3 2)xy(2，2)，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线 ：的距离为3 2l0axby，则圆心到直线的距离应小于等于，2 22 22|22 |2abab，2( )4( ) 10aa bb 2323a b ，直线 的倾斜角的取值范围是，选akb 2323kl5,12 12B【例 2】在直角坐标系中，点与点关于原点对称

9、，点在抛物xOyB( 1,0)A O00(,)P xy线上，且直线与的斜率之积等于 2，则= 24yxAPBP0x高考数学一轮第三十一讲 第 5 页共 11 页 【解析】易知点，则，得(1,0)B0000211PAPByykkxx22 0022yx又点在抛物线上，所以00(,)P xy24yx2 004yx联立，得，解得（舍去）或2 00224xx012x 012x 点拨：当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角范围时，应先求斜率的范围，再利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值范围问题本题关键在于将条件“圆上至少有三个不同的点到直线 ：的距离为”转化为弦心距，可借助数形l0axby2 22d

10、结合的思想方法来理解当直线的倾斜角从 0 开始逐步增大时，斜率也在逐步增大，当倾斜角无限靠近时，2斜率是无穷大；当倾斜角等于时，斜率不存在；当倾斜角再逐步增大时，斜率将从负无2穷大逐渐增大，直至为 0这是倾斜角与斜率之间的变化关系，在求解涉及倾斜角与斜率的问题时，一般都要应用这个关系，因此它们之间的这种变化，我们必须熟悉考点考点 2 直线的方程直线的方程1求直线的方程2已知直线方程求直线斜率与直线在坐标轴上的截距3与直线方程有关的综合问题【例 3】过点作圆2211xy的两条切线，切点分别为，则直线的方(3,1)ABAB程为A230xyB230xyC430xyD430xy【解析】根据平面几何知识

11、，直线一定与点，的连线垂直，这两点连线的AB(3,1)(1,0)斜率为，故直线的斜率一定是，只有选项 A 中直线的斜率为1 2AB22【例 4】直线 经过点且与、轴的正半轴交于、两点，的面积为l(3,2)PxyABOAB12，求直线的方程，【解析】解法一：设直线 的方程为，所以，l1xy ab(0,0)ab( ,0)A a(0, )Bb高考数学一轮第三十一讲 第 6 页共 11 页 由题意得，解得，24 321abab64ab 所以，所求直线的方程为：，即164xy23120xy解法二：设直线 的方程为：l2(3)yk x令，得直线 在轴上的截距，0y lx23ak令，得直线 在轴上的截距0x

12、 ly23bk所以，解得2(3)(23 )24kk2 3k 所求直线的方程为，即22(3)3yx 23120xy点拨：求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线的方程的某种形式；(2)由条件建立所求参数的方程（组） ；(3)解这个方程（组）求出参数；(4)把参数的值代入所设的方程即设方程，求系数，代入得方程，在设方程时，一定要注意直线方程的点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线；直线方程的两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式不能表示平行于坐标轴及过原点的直线忽略此点，很容易出错考点考点 3 两条直线的位置关

13、系两条直线的位置关系1判定两条直线的位置关系2将两条直线平行或垂直作为已知条件给出【例 5】已知两条直线：和：，求满足下列条件的1l40axby2l(1)0axyb，的值ab(1)，且过点；12ll1l( 3, 1)(2)，且坐标原点到这两条直线的距离相等12ll【解析】(1)由已知可得的斜率必存在，2l21ka 若，则，直线的斜率必不存在，即20k 10a1a 12ll1l1k0b 又过点，即（与上述结论矛盾） 此种1l( 3, 1)340ab34ba情况不存在，即20k 高考数学一轮第三十一讲 第 7 页共 11 页 若，即、都存在，20k 1k2k21ka 1akb12ll，即 121k

14、 k (1)1aab 又过点， 1l( 3, 1)340ab由联立，解得，2a 2b (2)的斜率存在，直线的斜率存在，2l12ll1l，即 12kk1aab 又坐标原点到这两条直线的距离相等，12ll、在轴上的截距互为相反数，即， 1l2ly4bb联立解得或，2 2a b 2 3 2ab ,或，2a 2b 2 3a 2b 【例 6】已知点若为直角三角形则必有30,0 ,0,.OAbB a aOABA3ba B31baa C3310babaaD3310babaa【解析】若以为直角顶点，则在轴上，则必为 0，此时重合，不符合题意；OBxa,O B若，则若，根据斜率关系可知，所以2A30ba2B3

15、 21abaa ，即310baa以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件3()1a ab 点拨：在运用直线的斜截式对，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情ykxb况运用直线的一般式时，要特别注意、为零时的特殊情况0AxByCAB求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数” 若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究高考数学一轮第三十一讲 第 8 页共 11 页 考点考点 4 距离公式距离公式1求两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离2与距离有关的综合问题【例 7】已知点1,0A ，1,0B，0,1C，直线yaxb

16、(0)a 将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是A(0,1) B2 11,22 C2 11,23D1 1,3 2【解析】(1)当yaxb过1,0A 与BC的中点D时，符合要求，此1 3b ，(2)当yaxb位于位置时1,0bAa,11,11b abDaa，令 111 2A BDS得21 2bab,0a ,1 2b (3)当yaxb位于位置时21, 11bbaAaa,21,11b abDaa，令 221 2A CDS,即111112112bbbaa，化简得22241abb,0a ,22410bb ，解得221122b yxA1D2D1A2y=ax+bDOABC综上：21122b，选 B

17、【例 8】定义：曲线上的点到直线 的距离的最小值称为曲线到直线 的距离已知曲ClCl线：到直线 ：的距离等于曲线：到直线 ：1C2yxalyx2C22(4)2xyl的距离，则实数 yxa 高考数学一轮第三十一讲 第 9 页共 11 页 【解析】曲线：到直线 ：的距离为圆心到直线2C22(4)2xylyx(0, 4)的距离减去半径，即。依题意可得，且知曲线：yx42220a 1C到直线 ：的距离等于曲线上切线斜率为 1 的切线与的距2yxalyx1Cyx离令，可得，所以切线斜率为 1 的切线方程为，21yx1 2x 11 24yxa即，所以，解得或（舍） 1 4yxa1|422a 9 4a 7

18、4a 点拨：点到直线的距离公式是高考的重点考查对象、命题的热点，解决这类问题的关键在于熟练掌握公式，准确把握公式的特征，并灵活地运用它考点考点 5 对称问题对称问题1求点关于点的对称点的坐标、直线关于点对称的直线方程2求点关于直线的对称点坐标，直线关于直线对称的直线方程3点对称或轴对称的应用问题【例 9】(1)在直线 ：上求一点，使得到和的距离之差l310xy PP(4,1)A(0,4)B最大；(2)在直线 ：上求一点，使得到和的距离之和最l310xy QQ(4,1)A(3,4)C小【解析】(1)如图(1)所示，设点关于 的对称点的坐标为，直线 的斜率为，BlB( , )a bl1k则，即.

19、11BBkk 431b a 3120ab又由于线段的中点坐标为，且在直线 上，BB4(,)22a bl即 431022ab 360ab解得，3a 3b (3,3)B于是的方程为，即AB14 3 134yx290xy解，得即 与的交点坐标为.310 290xy xy 25xy lAB(2,5)P高考数学一轮第三十一讲 第 10 页共 11 页 xy(1)lPABBOxyCCOQAl(2)(2)如图(2)所示，设关于 的对称点为，求出的坐标为ClCC3 24( ,)45所在直线的方程为,和 交点坐标为，故点AC1917930xyACl11 26(,)77Q坐标为11 26(,)77点拨：已知两点，

20、在直线 的异侧，可在 上找一点使为最ABllM|MAMB大方法是可先求出点(或)关于直线 的对称点(或)，连接（或） ，设ABlABA BAB它与 的交点为，则为所求lMM在直线 上找一点到两定点，距离之和最小，则必在线段上，故将 同lPABPABl侧的点利用对称转化为异侧的点；若到两定点，的距离之差最大，则必定在的ABPAB延长线上，或的延长线上，故将 异侧的点利用对称性变为同侧的点BAl对称是数学学科的一个重要专题，巧用对称思想解题往往使问题能得到快速、简捷的解答【例 10】在等腰直角三角形ABC中，=4AB AC ，点P是边AB上异于,A B的一点，光线从点P出发，经,BC CA反射后又回到点P（如图）若光线QR经过ABC的重心，则AP等A2 B1 C8 3D4 3【解析】以、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，ABACxy高考数学一轮第三十一讲 第 11 页共 11 页 xyCB(A)P2P1 QRPO则，得的重心(，)，设=，从而(0,0)A(4,0)B(0,4)CABCD4 34 3APx，(0，4)，由光的几何性质可知点关于直线、的对称点( ,0)P xxPBCAC、与的重心(，)共线，所以，1(4,4)Px2(,0)PxABCD4 34 344433 44433xx 求得4 3x 本专题试题训练详见试题精练