BA第二十六讲 推理与证明.doc

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1、 高考数学一轮第二十六讲 第 1 页共 15 页 第二十六讲 推理与证明考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、合情推理与演绎推理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”“若，而，则”是演绎推理的一般模式，包括：bcabac大前提已知的一

2、般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断二、直接证明与间接证明1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因高考数学一轮第二十六讲 第 2 页共 15 页 框图表示书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2间接证明反证法：一般地，将证明转向证明pqqrt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定，为假，推出为真的方法，tqpq叫做反证法反证法适用范围a一些基本命题、基

3、本定理；b.易导出与已知矛盾的命题；c “否定性”命题；d “唯一性”命题；e “必然性”命题；f “至多” “至少”类命题；g涉及“无限”结论的命题等【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、推理推理的定义：根据几个或一个已知的事实（或假设）得出一个判断的思维方式叫做推理，它由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设） ，这叫做前提，一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论，推理可以写成“如果，那么，因为，所以，根据，可知”等等二、归纳推理1定义：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简而言之，归纳推

4、理是由部分到整体、由个别到一般的推理2归纳推理的一般步骤为：(1)通过观察个别事物发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，就越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠；(3)对所得出的一般性命题进行检验，在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明三、类比推理高考数学一轮第二十六讲 第 3 页共 15 页 1定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性；(2)用一类事物的

5、性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的推理过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理，【提示】(1)合情推理是指“合乎情理”的推理，在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方法合情推理的过程概括为：(2)一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明四、演绎推理演绎推理主要的形式是三段论，其一般模式

6、为：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断，形式可以表示为：大前提：是，小前提：是，结论：是，也可以用“如果MPSMSP，则” 它的本质是利用一般性原理推出相应的结论，再用结论之abbcac间的联系推导出结论成立【提示】(1)合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理的形式，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确(2)在应用三段论

7、推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提，在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的五、直接证明1综合法是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知高考数学一轮第二十六讲 第 4 页共 15 页 条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性2分析法是一种执果索因的证明方法，这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，用分析法证“若则”这个命题的模式是：PQ为了证明命题为真，Q这只需证明命题为真，从而有1P这只需证明命题为真，从而有2P这只需证明命题为真P而已知为真，故必为真，PQ可见分析法是“执

8、果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法六、反证法1反证法：先假设原命题的结论的反面成立，经过推理得出矛盾，从而判断假设错误，肯定原命题正确2反证法推证问题模式框图、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、3反证法根据命题否定的结论的情况多少，可分为下面两种(1)归谬法：如果命题否定的结论只有一种情况，那么只需把这种情况否定，就能肯定原命题的结论成立(2)穷举法：如果命题否定的结论不止一种情况，那么就必须把它的所有可能情况一

9、一否定，才能肯定原命题的结论成立4可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题高考数学一轮第二十六讲 第 5 页共 15 页 (2)结论是以至多、至少、唯一等形式给出的命题(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题(4)用直接法证明困难的命题，考点分类精讲考点考点 1 合情推理合情推理1由部分到整体、由个别到一般归纳出一般性命题2从特殊到特殊进行类比推理【例 1】以下是拉面师一个工作环节的数学模型：如图所示，11 20在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标 l 所对应的点与原点重合）再0,1均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标

10、、变成，原来的坐标变成 1，等等） 那么原闭区间上（除1 43 41 21 20,1两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 l 重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后（1） ，恰好被拉0,1nn到与 1 重合的点所对应的坐标为 【解析】为中的所有奇数依题意得在第一次操作完成后，原来的坐标、变j1,2 n1 43 4成，接着进行第二次操作，操作完成后刚才的坐标为的点的坐标又变成 1，因此1 21 2原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 l 重合0,1的点所对应的坐标是、；再进行第三次操作，不难发现待第三次操作完成后，恰1

11、 43 4好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标为、，由此不难归纳得出原闭区间1 83 85 87 8上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后(1)，恰好被拉到与 1 重合的0,1nn点所对应的坐标为，其中为中的所有奇教，故分别填、；2njj1,2 n1 43 42nj点拨：归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、试验、对有限的资料作归纳整理、提出带规律性的说法是研究科学的最基本的方法高考数学一轮第二十六讲 第 6 页共 15 页 【例 2】如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足AB

12、C2 2BC ABC为；过点 作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；，1A1AAC2A2A1AC3A以此类推，设，则_1BAa12AAa123A Aa567A Aa7a ABCA1A2A3A4【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形中，斜边，所以ABC2 2BC ，1122,2ABACaAAa1231A Aa6 567121()24A Aaa解法二 演绎推理：等腰直角三角形中，斜边，ABC2 2BC 所以，1122,2ABACaAAa，故=1122sin2 ()422n nnnnnAAaaa6 722 ()2a 1 4【例 3】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时，ABC甲说：我

13、去过的城市比乙多，但没去过城市；B乙说：我没去过城市；C丙说：我们三人去过同一个城市由此可判断乙去过的城市为 【解析】由题意可推断，甲没去过城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城B市” ，说明甲去过，城市，而乙“没去过城市” ，说明乙去过城市，由此可ACCA知，乙去过的城市为A【例 4】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第高考数学一轮第二十六讲 第 7 页共 15 页 四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长

14、的乘积的一半【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：(1)平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；(2)三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；(3)三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；(4)三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；(5)三角形的面积公式中的“二分之一”类比三棱锥的体积公式中的“三分之一” 由以上分析可知：、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、故第三行空格应填：三棱锥的

15、体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略【例 5】设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边、ABCaPABCPABBC的距离分别为、，则有为定值；由以上平面图形的CA1d2d3d123ddd3 2a特殊性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任ABCDaPABCD意一点，且到四个面、的距离分别为、PABCABDACDBCD1d2d3d，则有为定值 4d1234dddd【解析】根据体积相等，12341111 3333ABCDABCABDACDBCDVdSdSdSdS即，123411()33BCDBCDhSdd

16、ddS=，正四面体棱长为，高，1234ddddha22326()233haaa=1234dddd6 3a高考数学一轮第二十六讲 第 8 页共 15 页 点拨：类比推理的关键是找到合适的类比对象一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如所示：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段类比在数学中应用广泛数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的考点考点 2 演绎推理演绎推理1用演绎推理证明一个命题是真命题2判定

17、演绎推理运用的正确性【例 6】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数22sin 13cos 17sin13 cos1722sin 15cos 15sin15 cos1522sin 18cos 12sin18 cos1222sin ( 18 )cos 48sin( 18 )cos4822sin ( 25 )cos 55sin( 25 )cos55(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】(1)选择式，计算如下：高考数学一轮第二十六讲 第 9 页共 15 页 =22sin 15cos 1

18、5sin15 cos1511sin3023 4(2)三角恒等式为223sincos (30)sincos(30)422sincos (30)sincos(30)=22sin(cos30 cossin30 sin)sin(cos30 cossin30 sin)=22333sincos444【例 7】已知函数且，( )xaf xaa (0a 1)a (1)证明：函数的图象关于点对称；( )yf x11( ,)22(2)求的值( 2)( 1)(0)(1)(2)(3)ffffff【解析】证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数的图象上任一点关于对( )yf x称中心对称的点仍在图象上小前提是且的图象

19、关于( )xaf xaa (0a 1)a 点对称11( ,)22(1)证明：函数的定义域为全体实数，任取一点()，它关于点对称的( )f x, x y11( ,)22点的坐标为（，） 1x1y 由已知得，则，xayaa 11xxxaayaaaa ，1(1)xxxxxxaaa aafxaaaaaaaaaa 1(1)yfx 即函数的图象关于点对称( )yf x11( ,)22(2)由(1)有，即.1(1)yfx ( )(1)1f xfx ，( 2)(3)1ff ( 1)(2)1ff (0)(1)1ff 则.( 2)( 1)(0)(1)(2)(3)3ffffff 高考数学一轮第二十六讲 第 10 页

20、共 15 页 考点考点 3 直接证明与间接证明的应用直接证明与间接证明的应用1用综合法证明命题为真命题2用分析法证明命题为真命题【例 8】(1)已知，求证：0a 2 21122aaaa(2)（）设证明，1,1,xy;111xyyxxyyx（），证明.cba1loglogloglogloglogabcbcabcaabc【证明】(1)要证2 21122aaaa只要证2 21122aaaa，故只要证0a 222 211(2)2)aaaa(即，222 22211114422 2()2aaaaaaaa从而只要证，2 21122()aaaa只要证22 22114(2(2)aaaa)即，而上述不等式显然成立

21、，2 212aa故原不等式成立(2) 证明：（）由于，所以要证明：1,1xy，111xyxyxyxy只要证明：2() 1()xy xyyxxy只要证明：，2()1)()()0xyxy xyxy只要证明：，(1)(1)()(1)0xyxyxy xy高考数学一轮第二十六讲 第 11 页共 15 页 只要证明：(1)(1)(1)0xyxy由于，上式显然成立，所以原命题成立1x1y（）设由对数的换底公式得,log,logycxbbalog1111loglogloglogloglog 1log loga c bbababaaaccccbxy a b11log,log,logbcaabcxyxy所要证明的

22、不等式即为,111xyyxxyyx，1cba log1axblog1byc故由（）知所要证明的不等式成立点拨：分析法是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证【例 9】已知函数，的导函数是，对任意两个不22( )ln (0)f xxax xx( )f x( )fx相等的正数，证明：当时，1x2x0a1212()()()22f xf xxxf【证明】由得22( )ln (0)f xxax xx=12()() 2f

23、 xf x22 1212 12111()()(lnln)22axxxxxx=，2212 1212 121()()ln2xxxxax xx x=12()2xxf21212124()ln()22xxxxaxx而=，22 121()2xx222222 1212121211()(2)44xxxxxxx x212()2xx高考数学一轮第二十六讲 第 12 页共 15 页 ，222 12121212()24xxxxx xx x 1212124xx x xxx,12 122xxx x12 12lnln2xxx x又， 0a12 12lnln2xxax xa由得，2212 1212 121()()ln2xxx

24、xax xx x21212124()ln()22xxxxaxx即1212()()()22f xf xxxf点拨：综合法证明要注意“，”的运用考点考点 4 反证法反证法1用反证法证明一个命题为真命题2选择恰当的方法证明一个命题为真命题【例 10】已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第nannA项之后各项，2na的最小值记为，n1nanBnnndAB(1)若为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意na，4nnaa)，写出，的值；n*N1d2d3d4d(2)设为非负整数，证明：=(=1,2,3)的充分必要条件为为公差为的dnddnnad等差数列；(3

25、)证明：若=2，=1(=1,2,3)，则的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为1andnna1【解析】(1)，1112 11dAB 2222 11dAB 3334 13dAB 4444 13dAB (2)(充分性)因为是公差为的等差数列，则因为是非负整nad1(1)naandd数，所以是常数列或递增数列所以，na1(1)nnAaand高考数学一轮第二十六讲 第 13 页共 15 页 ，11nnBaand所以(1,2,3，)nnndABd n(必要性)因为(1,2,3，)，ndd n所以nnnnABdB又因为，所以nnaA1nnaB1nnaa于是，nnAa1nnBa因此，即1nnnnndABaa

26、d 1nnaad即是公差为 d 的等差数列na(3)中的项不能是 0，否则，与已知矛盾na1102da中的项不能超过 2，用反证法证明如下：na若中有超过 2 的项，设是第一个大于 2 的项，naka中一定存在项为 1，否则与矛盾na1nd 当时，否则与矛盾因此存在最大的 在 2 到之间，nk2na 1nd i1k 使得，此时，矛盾1ia 2220iiiidABB综上，中的项只能是 1 或 2na下面证明 1 有无数个，用反证法证明如下：若是最后一个 1，ka则，矛盾因此 1 有无数个220kkkdAB【例 11】正实数数列中,且成等差数列.na121,5aa2na(1)证明数列中有无穷多项为

27、无理数；na(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.nna200na 【解析】 （1）由已知有：，从而，2124(1)nan 124(1)nan方法一：取，则（）21124kn 2124k na *kN高考数学一轮第二十六讲 第 14 页共 15 页 用反证法证明这些都是无理数.na假设为有理数，则必为正整数，且，2124k na na24kna 故，与矛盾，241k na 241k na (24 )(24 )1kk nnaa所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数；2124k na *kNna方法二：因为，当的末位数字是时，的末2 1124 , ()nannN n3,4,8

28、,9124n位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时37不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多1124nann1na(2)要使为整数，由可知：na(1)(1)24(1)nnaan同为偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有或1,1nnaa16nam 16nam 当时，有（）61nam22361211 12 (31)nammmm mN又必为偶数，所以（）满足(31)mm61nammN2124(1)nan 即（）时，为整数；(31)12mmnmNna同理有（）*61()nammN22361211 12 (31)nammmm *mN也满足，即（）时，为整数；2124(1

29、)nan (31)12mmn*mNna显然和（）是数列中的不同项；*61()nammN61nammN所以当（）和（）时，为整数；(31)12mmnmN(31)12mmn*mNna由（）有，61200nam mN033m由（）有.61200nam *mN133m设中满足的所有整数项的和为，则na200na S(5 11197)(17199)S 5 1971 1993334673322点拨：反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以高考数学一轮第二十六讲 第 15 页共 15 页 在假设时，应该假设问题的直接对立面成立，然后再推出矛盾一般来说，出现“至多” “至少”字样的题目宜用反证法，反证法证明题目的关键是先假设后推出矛盾，矛盾有三种可能：与原命题的条件矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与已知结论的反面矛盾本专题试题训练详见试题精练