AS第十八讲 数列的概念与简单表示法.doc

《AS第十八讲 数列的概念与简单表示法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《AS第十八讲 数列的概念与简单表示法.doc（10页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 高考数学一轮第十八讲 第 1 页共 10 页 第十八讲 数列的概念与简单表示法考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、数列的概念1数列概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件有穷数列项数有限 项数 无穷数列项数无限递增数列1nnaa递减数列1nnaa常数列1nnaa=其中N*n单调性摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和公式法4数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫nann做这个数列的

2、通项公式二、数列的递推公式和与的关系nanS1数列的递推公式如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前na一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递1na推公式2与的关系nanS若数列的前 n 项和为，通项公式为，则nanSnana11,(1) ,(2)nnSn SSn 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、数列的概念高考数学一轮第十八讲 第 2 页共 10 页 1数列是按一定次序排成的一列数，一个数列不仅与组成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序也有关因此，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的

3、数列2数列与数集的区别与联系：数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的；同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的3并不是每一个数列一定有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一个，数列的通项公式是研究个数列的关键，应切实掌握求通项公式的各种方法【提示】数列是一类特殊的函数，定义域是正整数集或者其有限子集，值域是由通项公式来确定的函数二、数列的性质1因为数列可以看做是一类特殊的函数，因而数列也具有一般函数应具有的性质2求数列的最大（小）项，一般可以先研究数列的单调性，可以用或11nnnnaa aa ，也可以转化为函

4、数的最值问题或利用数形结合来求解11nnnnaa aa 三、求通项公式的基本方法1观察法：观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的关系，从而确定出数列的通项公式n2构造法：构造法就是根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解3猜归法：猜归法就是由已知条件先求出数列的前项，一般是，等，n1a2a3a4a由此归纳猜想出，然后用数学归纳法证明na【提示】(1)观察法是求数列通项公式的一个最基础的方法，它一般适用于给出了数列的前项，n根据这些项来写出该数列的通项公式的情况，

5、一般来说，所给数列的前项规律性特别强n并且规律也比较明显，要么能直接看出，要么需略作变形即可高考数学一轮第十八讲 第 3 页共 10 页 (2)待定系数法求通项公式同函数中用待定系数法求函数解析式类似，它要求必须已知或者能够由条件判断出通项公式（解析式）的结构类型(3)数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法观察法和猜想法一般适合于选择题和填空题；如果在解答题中用猜想法，则一定要用数学归纳法加以证明而待定系数法一般适合于已知数列的类型的题目考点分类精讲考点考点 1 数列的概念数列的概念1根据数列的前几项写出一个数列的通项公式2数列与函数关系的把握3观察、归纳、猜想【例 1】根据下

6、面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)，；2 34 156 358 6310 99(2)5，55，555，5 555，；(3)2，0，2，0，2，0，2，0，；(4)，3 72 55 133 87 194 11【解析】根据数列的前几项写出数列的通项公式时，关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系，通过合理的联想、转化而达到问题的解决(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数列，而分母可分解为l3，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的通项公式为2 (21)(21)nnann(2)数列 9，99，999，9 999，可以写成 101，1，l，1，而210310

7、410数列 5，55,555，5 555，可以写成，故599599959999599999所求数列的通项公式为5(101)9n na (3)数列的各项具有周期性，联想基本数列 1，0，1，0，故所求数列的通项公式为2sin2nna高考数学一轮第十八讲 第 4 页共 10 页 (4)这是一个与有关的数列，可将数列写成，( 1)n3 7， ，可知分母为以 3 为公差的等差数列，分子为4 105 136 167 198 22以 1 为公差的等差数列，故所求数列的通项公式为2( 1)34n nnan 点拨：根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征

8、；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征，若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来【例 2】(1)根据如图的 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_个n点 (2)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球，第 2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则nn( )f nn=_；= （答

9、案用表示） (3)f( )f nn【解析】(1)图中点的个数为；图中点的个数为；图中点的个数为210221；图中点的个数为；图中点的个数为，故第个图中点232243254n的个数为，=（个） 故填2(1)nn21nn21nn(2)，观察图形，不难发现第堆最底层（第一层）的兵兵球数(3)63 110f n高考数学一轮第十八讲 第 5 页共 10 页 ，第堆的兵兵球总数相当于堆兵兵球的底层数之(1)1232nn nan nn和，即=222 1211(1)( )(12)222nn nf naaan(1)(2) 6n nn故填 10，(1)(2) 6n nn【例 3】若数列满足：对任意的，只有有限个正

10、整数使得成立，记 naNnmman这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是m()na()na na，则数列是已知对任意的，1,2,3, n,()na0,1,2,1,n ,Nn，则 ， 2 nan5()a() na 【解析】当时，所以=1，2，所以25n 25mamm5()a，1()0a2()1a3()1a4()1a5()2a6()2a7()2a，8()2a9()2a10()3a11()3a12()3a13()3a，14()3a15()3a16()3a所以1, 4，9，16，1() a 2() a 3() a 4() a 猜想2() nan 点拨：由给出数列的前项对应的图形，要写出第个图形

11、对应的通项公式，基本方nn法是观察法，也就是由前面特殊图形观察、归纳出一般的规律特别要注意相邻项之间的关系考点考点 2 由由与与的关系求通项公式的关系求通项公式nanS1利用函数思想方法解决数列问题2利用公式解决数列问题11(1) (2)n nnSnaSSn【例 4】已知下面数列的前项和，求的通项公式：nannSna(1)；nS223nn(2)nS3nb高考数学一轮第十八讲 第 6 页共 10 页 【解析】(1)，11231aS 当时，2n1nnnaSS22(23 )2(1)3(1)45nnnnn由于也适合此等式，1a45nan(2)，113aSb当时，2n1nnnaSS11(3)(3)2 3

12、nnnbb当时，适合此等式1b 1a当时，不适合此等式1b 1a当时，；1b 12 3nna当时，1b 13,1 2 3,2nnbnan点拨：给出数列的前项和的公式求其通项公式，关键在于利用公式nnS但应注意的是必须验证“”的情况1(2)nnnaSSn1n 【例 5】已知数列的前项和（其中） ，且的最大值为nan21 2nSnkn kNnS8(1)确定常数，并求；kna(2)求数列的前项和922n nannT【解析】(1)当时，取最大值，nkN21 2nSnkn 即，故，因此22211822kkk 216k 4k 从而又，所以19(2)2nnnaSSn n117 2aS9 2nan(2)，19

13、2 22n nnnanb=12nnTbbb21231222nn21111222 142222nnnnnnnnTTT 【例 6】为数列的前项和，已知，nSnan0na 2243nnnaaS(1)求的通项公式：na(2)设，求数列的前项和11n nnba a nbn高考数学一轮第十八讲 第 7 页共 10 页 【解析】(1)当时，因为，所以=3，1n 2 11112434+3aaSa0na 1a当时，即2n 22 11143434 nnnnnnnaaaaSSa，因为，所以=2，111()()2()nnnnnnaaaaaa0na 1nnaa所以数列是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以=；nan

14、a21n(2)由(1)知，=，nb1111()(21)(23)2 2123nnnn所以数列前项和为nbn=12nbbb1111111()()()235572123nn=.11 6463(23)n nn【例 7】在数列中，（） na22992 91nnnan*nN(1)求这个数列的第 10 项；(2)是不是该数列中的项？98 101(3)求证：数列中的各项都在区间内；(0,1)(4)在内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由1 2( , )3 3【解析】=22992 91nnnan(31)(32)32 (31)(31)31nnn nnn(1)103 10228 3 10 131a(2)令

15、，即，解得，此方程无正整数解，所以不是98 101na 3298 31101n n100 3n 98 101该数列中的项(3)，3231 331313131nnnannn *nN，30131n01na所以数列中的各项都在区间内(0,1)高考数学一轮第十八讲 第 8 页共 10 页 (4)令，即，解得12 33na1322 2313n n78 63n所以当时，不等式成立故在区间内有数列中的项，且只有一2n 1 2( , )3 3项24 7a 点拨：本例的求解体现了函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式即为函数的解析式，要用函数观点认识和解决有关数列通项公式的问题【例 8】已知数列的通项公式

16、，则数列前 30 项中的最大项和na*98()99nnanNn最小项分别为 【解析】，999998999819999nnann 所以当时，随着的最大，越来越小且小于 1，9n9998199nan nna即；12910aaa当时，随着的最大，越来越小且大于 1，1030n9998199nan nna即1011301aaa综上有：98130101aaaaa 所以前 30 项中最大项为，最小项为故选 A10a9a点拨：数列的单调性的判定很大程度等同于函数单调性的判定，但特殊函数数列也可用自身的特征，直接比较与来确定单调性1nana考点考点 3 由递推公式求数列的通项公式由递推公式求数列的通项公式1由

17、递推公式写出数列的前几项，再猜想其通项公式2用递推方法来解决有关实际问题和综合问题【例 9】(1)在数列中，则= na12a 11ln(1)nnaanna(2)已知数列中，求= na11a 121(2)nnaanna【解析】(1)由，得，11ln(1)nnaan11ln(1)1nnaan高考数学一轮第十八讲 第 9 页共 10 页 即，1lnlnln(1)1nnnaannn12ln(1)ln(2)nnaann23ln(2)ln(3)nnaann21ln2ln1aa把上述个式子分别相加得，1n1lnnaan，即1lnnaan2lnnan(2)解法一 ,设，则数列是公比121nnaa112(1)n

18、naa 1nnba nb为 2 的等比数列，因此1 1n nbb q，1 11(1)2nn naaq 所以21n na 解法二（叠加法），121nnaa*()nN121nnaa，2 12222nnaa212 21222nnnaa将上列各式相加得122 12(1222)21nnn naa【例10】如图，互不相同的点1212,nnA AAB BB,和分别在角的两条边上，O所有nnA B相互平行，且所有梯形11nnnnA B BA的面积均相等设.nnOAa若，11a ，则数列 na的通项公式是_22a OB3B2B1A3A2A1【解析】设的面积为，梯形的面积为，由比例的性质得11ABO0S11nnnnA B BAS高考数学一轮第十八讲 第 10 页共 10 页 ，所以，201021()4Sa SSa03SS20102()(1)nnSnSa SnSa2121 3()43nnan na得到，由累加法可得2132()31nnan na，222223121234111 47321()()()()()4 7 103131nnnaaaaan aaaaann所以，即，且，则，2111()31na an131nan11a 32nan*nN点拨：递推公式求通项高考要求不高，不要轻易加深，高考只要求到归纳的层面本专题试题训练详见试题精练