AF第六讲 指数函数与对数函数.doc

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1、高考数学一轮第六讲 第 1 页共 10 页 第六讲 指数函数与对数函数考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、指数1幂的有关概念正整数指数幂： (nN*)； 零指数幂：()；nnaa aaA A A 01a 0a 负整数指数幂：(，pN*)；1p paa0a 正分数指数幂：(，m、n N*，且)；m nmnaa0a 1n 负分数指数幂：(，m、nN*且)11m n mnm na aa0a 1n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义2根式(1)根式的概念如果一个数的次方等于 (且，nN*)，那么这个数叫做的次方根也就na1n an是，若，则叫做的次方根，其中且N*式

2、子叫做根式，这里nxaxan1n nna叫做根指数，叫做被开方数na(2)根式的性质当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这时，nnn的次方根用符号表示anna当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的次nnn方根用符号表示，负的次方根用符号表示正负两个次方根可以合写为nannan(0)naa()nnaa当为奇数时，；当为偶数时，nnnaan,1|,0nna aaaa a负数没有偶次方根3有理数指数幂的性质(，r、sQ)；(，r、sQ)rsr sa aa0a ()rsrsaa0a (，b0，rQ)()rrraba b0a 高考数学一轮第六讲 第 2

3、页共 10 页 二、对数1对数的定义如果(且)，那么数叫做以为底的对数，记作，baN0a 1a baNlogabN其中叫做对数的底数，叫做真数aN2几种常见对数对数形式特点记法 一般对数底数为(且)a0a 1a logaN常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln N3对数的性质与运算法则(1)对数的性质：；(且)logaNaNlogN aaN0a 1a (2)对数的重要公式：换底公式：(a，b 均大于零且不等于 1)；loglogloga b aNNb，推广.1logloga bbaloglogloglogabcabcdd(3)对数的运算法则：如果且，那么0a 1a 0M 0N ；l

4、ogloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN(nR)；.loglogn aaMnMloglogmn aanMMm三、指数函数的图象与性质xya1a 01a图象定义域R值域(0,)性质过定点(0,1)时，0x 1y 时，.0x 01y当时，；0x 01y当时，；0x 1y 在上是减函数(,) 在上是增函数(,) 高考数学一轮第六讲 第 3 页共 10 页 四、对数函数的图象与性质logayx1a 01a图象定义域：(0,)值域：R过点(1,0)当时，1x 0y 当时，01x0y 当时，1x 0y 当时，01x0y 性质是上的增函数(0,)是上的减函数(0,)【培优性方法技巧综合

5、培优性方法技巧综合】一、指数1分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算2运用公式进行式子的变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误3式子的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视4在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值【提示】(1)对于根式记号，要深刻理解以下几点：na，且*nN1n 当为大于 1 的奇数时，对任意都有意义，它表示在实数范围内有nnaaRa唯一的一个次方根，n()nnaa若一个数的次方等于，那么怎么用来表示呢？仅用这个回答是xnaxanxa

6、不完整的，应该是这样的：高考数学一轮第六讲 第 4 页共 10 页 ()(0) (0) 0(0)nnananax na a 为奇数为偶数， 不存在为偶数，(2)分数指数幂可以看做是根式的另一种写法，这样可以更便于根式的运算二、指数函数1指数函数是中学数学中三类基本初等函数之一，是高考必考内容，主要考查定义域、值域、图象以及指数函数的主要性质（单调性） ，比较两个数值的大小，以及解指数不等式，并能解决某些实际问题2在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式” ，像，2 3xy 1 2xy ，等函数均不符合形式（且） ，因此，它们都不是23xy21xy xya0a 1a 指数函数3画指数函数的图象

7、，应抓住三个关键点：，熟记指xya(1, )a(0,1)1( 1,)a数函数，在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌10xy 2xy 1()10xy 1( )2xy 握指数函数图象的位置与底数大小的关系，三、对数1指数式与对数式的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则baNlogaNb的关键2在运算性质时，要特别注意条件，在无的条件下应为loglogn aaMnM0M loglog |n aaMnM3注意对数恒等式、对数换底公式及等式，在解loglogmn aanbbm1logloga bba题中的灵活运用【提示】(1)零和负数没有对数；l 的对数等于 0，底数的对数等于 1，即，log 10a

8、log1aa (2)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立高考数学一轮第六讲 第 5 页共 10 页 的四、对数函数底数变化与图象变化的规律：xy1O由于对数函数的图象与直线交于点（，1） ，所以对数函数logayx1y a的图象在轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；由于函数logayxx的图象与直线交于点，因此函数的图象在轴下方，logayx1y 1(, 1)alogayxx从左到右对应的底数由大到小依次递减考点分类精讲考点考点 1 指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质1指数函数的图象2指数函数的性质3利用指数函数的图象分析解决一些简单的问题【例

9、 1】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是( )( )x bf xaabA，1a 0b B，1a 0b C，01a0b D，01a0b 【解析】由的图象可以观察出，函数在定义域上单调递减，所以( )x bf xa( )x bf xa，函数的图象是在的基础上向左平移得到的，所01a( )x bf xaxya以选 D0b 点拨：抓住指数函数的图象，不仅可以直观准确把握指数函数的性质，而且利用指数函数的图象的形象直观，还可以使有些问题得到简捷的解法，因此我们必须熟练掌握指数高考数学一轮第六讲 第 6 页共 10 页 函数或指数型的复合函数的图象【例 2】如果函数（且）在区间上的最大值是

10、14，求221xxyaa0a 1a 1,1的值a【解析】设，则=.xta2( )21yf ttt2(1)2t 当时，1a 1, taa2 max2114yaa 解得，或（舍去） ；3a 5a 当时，01a1 ,ta a1 21 max()2114yaa 解得，或 （舍去） 1 3a 1 5a 故所求的值为 3 或a1 3点拨：解答本题时容易忽视对进行分类讨论，漏解了时情况在解决指数函a1 3a 数与对数函数问题时，如果底数含有不确定的参数，则应对底数进行讨论，以确定其单调性、最值等【例 3】已知函数| |1( )22x xf x （1）若，求的值；( )2f x x（2）若对于恒成立，求实数的

11、取值范围2(2 )( )0tftmf t1,2tm【解析】 （1）当时，；当时，0x ( )0f x 0x1( )22x xf x 由条件可知，即1222x x222 210xx 解得 212x 因为，所以20x2log (12)x （2）当时，1,2t2 2112 (2)(2)022ttt ttm即，24(21)(21)ttm2210t 2(21)tm，1,2t2(21) 17, 5t 故的取值范围是m 5,)考点考点 2 对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质高考数学一轮第六讲 第 7 页共 10 页 1对数式与指数式的互化2对数函数的图象与性质3利用对数函数的图象和性质分析解决有关问题

12、【例 4】设，且，则等于( )25abm112abmA B10 C20 D10010【解析】，25abm2logam5logbm，251111log 2log 5log 102loglogmmmabmm10m 【例 5】已知函数的图象如图所示，则满足的( )log (21)(01)x af xbaa，ab，关系是（ ）xyO-1AB101ab101baCD101ba1101ab【解析】首先由于函数单调递增，；又，( )21xxb1a 1(0)0f 即，所以，故故选 A1log0ab 11ab101ab点拨：指数函数与对数函数的图象是分析、解决与指数函数和对数函数有关的问题，及理解和记忆指数函数

13、和对数函数性质的关键，因此我们必须熟练地掌握它们首先，要抓住底数对它们的图象的制约作用，把握它们图象的特征：(1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降，即时，图象上升；时，图象下降；(2)底数的大小决定了图象1a 01a的高低，即在轴右边，指数函数的图象“底大图高” ；在轴上方，对数函数yxyax的图象“底大图低” ，其次，要熟练掌握函数图象的作法，特别是变换作图法logayx高考数学一轮第六讲 第 8 页共 10 页 【例 6】若函数=，若，则实数的取值范围是( )f x21 2log,0,log (),0x xx x( )()f afaaA B( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) C

14、 D( 1,0)(1,)(, 1)(0,1) 【解析】 2112 2200 ( )()logloglog ()log ()aa f afaaaaa或故选 C00 11011 2aa aaaaa 或或【例 7】已知函数（且） ，设，当1( )log1axf xx0a 1a ( )1 logah xx , m n 时，在上的值域是，求的取值范围(1,)()mn( )f xmn ( ), ( )h n h ma【解析】当时，在内是减函数，01a( )f x(1,)( )( ) ( )( )f mh m f nh n 由，得，即，1log1 log1aaxxx 1=+1xaxx2(1)10axax 可

15、知方程的两个根均大于 1，即，解得；0(1)0112fa a 032 2a当时，在内是增函数，1a ( )f x(1,)，得，即（舍去） ，( )( )( )( )f mh nf nh m 1 1mamnan namnam 1a 综上得：；032 2a点拨：本题考查了对数函数的综合应用，尤其是对数函数的单调性在研究复合函数的单调性时，一定要注意其规则是同增异减，含有参数时，应注意分类讨论另外本例还提供了求已知函数图象关于某一直线（或点）对称的图象所对应函数的解析式的一般方法，即在欲求解析式的图象上任取一点，求出它关于已知直线（或点）对称的点的坐标( , )x y高考数学一轮第六讲 第 9 页共

16、 10 页 ，根据所在的图象对应的解析式，代入找到与的关系式，即求得欲求( ,)x y( ,)x yxy的函数解析式考点考点 3 指、对函数的综合应用指、对函数的综合应用1灵活运用各函数的图象和性质2利用图象和性质解决大小比较问题【例 8】若，则( )0ab01cA BloglogabccloglogccabC Dccababcc【解析】，当时，A 项错误；01c1abloglogabcc，在上单调递减，又 ab0，01clogcyx(0,)，B 项正确；loglogccab，函数在上单调递增，01ccyx(0,)又，C 项错误；0abccab，ycx在上单调递减，01c(0,)又，D 项错误

17、0ababcc【例 9】已知且，若，则( ),0a b 1a 1b log1ab A B(1)(1)0ab(1)()0aabCD(1)()0bba(1)()0bba【解析】法一：，log1ab logaa当时，；1a 1ba当时，只有 D 正确01a01ba法二：取2，3，排除 A，B，C，故选 D.ab【例 10】设，均为正数，且，则abc1 22logaa1 21log2b b21log2c cAB C Dabccbacabbac【解析】依题意，故，0a 0b 0c 21a10( )12b10( )12c所以，即，1 2log1a 1 20log1b20log1c102a112b，选 A1

18、2cabc高考数学一轮第六讲 第 10 页共 10 页 【例 11】设函数（，为自然对数的底数） 若存在使( )xf xexaaRe0,1b成立，则的取值范围是（ ）( ( )f f bbaA B C D1, e1,1 e ,1ee0,1【解析】法一 显然是增函数，且，所以当时，只能( )f x( )0f x 0,1x有从而问题转化为方程在上有实数解，即方程( )f xx( )f xx0,1在上有实数解，分离参数（） ，由2xexax0,12( )xag xexx0,1x于在上恒为正，则函数在上单调递增，即有( )1 2xg xex 0,1( )g x0,1，即的取值范围是1(0)( )(1)

19、gg xgea1, e法二 若在上恒成立，则，( )f xx0,1( ( )( )f f xf xx则在上无解；( ( )f f xx0,1同理若在上恒成立，则( )f xx0,1( ( )( )f f xf xx所以在上有解等价于在上有解， ( ( )f f xx0,1( )f xx0,1即，2,0,1xxxexaaexx x令，所以，2( ),0,1xg xexx x( )210,0,1xg xexx 所以1, ae【例 12】已知函数( )f x=22 ,0ln(1),0xx xxx，若，则a的取值范围是|( )|f xaxA(,0 B(,1 C2,1 D2,0【解析】当时，所以化简为x022( )2(1)10f xxxx |( )|f xax，即，所以恒成立；22xxax2(2)xax0x2ax 2a当时，化简为恒成立，由函0x ( )ln(1)0f xx|( )|f xaxln(1)xax数图象可知，综上，当时，不等式恒成立，选 D0a20a |( )|f xax本专题试题训练详见试题精练