AH第八讲 函数与方程.doc

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1、高考数学一轮第八讲 第 1 页共 13 页 第八讲 函数与方程考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、函数的零点1一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个( )yf xa( )0f a a函数的零点函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与轴的交( )yf x( )0f x ( )yf xx点的横坐标2函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不间断的曲线，并且，( )yf x , a b( )( )0f af b那么，函数在区间内有零点，即存在，使，这个( )yf x( , )a b0( , )xa b0()0f x也就是方程的根0x( )0f x 二、二次函数的零点对于

2、二次函数()，其零点的情况如下：2yaxbxc0a (1)当时，方程有两个不等实根，二次函数的图象与轴有两个0 20axbxcx交点，二次函数有两个零点(2)当时，方程有两个相等实根（二重根） ，二次函数的图象与0 20axbxc轴有一个交点，二次函数有一个零点（不变号零点） x(3)当时，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函0 20axbxcx数无零点三、二分法1对于在区间上连续，且满足的函数，通过不断地把 , a b( )( )0f af b( )yf x函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点( )f x近似值的方法，叫做二分法2给定精确度，用二分

3、法求函数零点的近似值的步骤：高考数学一轮第八讲 第 2 页共 13 页 第一步：确定区间，验证，给定精确度 , a b( )( )0f af b第二步：求区间的中点( , )a b1x第三步：计算1()f x若，则就是函数的零点；若，则令；若1()0f x1x1( )()0f af x1bx，则令.1()( )0f xf b1ax第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值（或） ，否|abab则重复第二、三、四步【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、函数的零点函数零点的求法：(1)代数法：求方程的实数根；(2)几何法：对于不能用求( )0f x 根公式的方程，可以将它与函数的图象

4、联系起来，并利用函数的性质找出零点( )yf x【提示】(1)并不是所有的函数都有零点(2)一个函数在区间内有零点必须同时满足：函数在区间上的图象是连续( , )a b , a b不断的一条曲线；这两个条件缺一不可( )( )0f af b(3)对于任意的一个函数，如果它的图象是连续不断的，当它通过零点且穿过轴时，x函数值变号；在相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号二、二次函数的零点1三个“二次”之间的关系24bac 0 0 0 2yaxbxc的图象()0a xyx2x1OxyOx0xyO方程2axbx的解0c 2124,2bbacx xa 02bxa 无解高考数学一轮第八讲 第 3 页共

5、13 页 20axbxc的解或1xx2xx0xxxR20axbxc的解12xxx2-元二次方程根的分布根的分布12xxk12kxx12xkx图象xykOx1x2xyk Ox1 x2xyk Ox1x2充要条件( )02 0f k bka ( )02 0f k bka ( )0 0f k 根的分布1212,( ,)x xk k11223kxkxk在内有且仅有一个12( ,)k k根图象 xyk2k1x2x1Oxyk3k2 k1x2x1OxyOk1k2充要条件1212( )0()02 0f kf kbkka 123( )0()0()0f kf kf k 或12( )()0f kf k0 且12( ,

6、)2bk ka或112 1( )022f kkkbka 或212 2()022f kkkbka 考点分类精讲考点考点 1 函数的零点函数的零点高考数学一轮第八讲 第 4 页共 13 页 1函数零点的存在性判定2求函数的零点【例 1】(1)设，则函数的零点所在的区间为( )( )ln2f xxx( )f xA(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)(2)函数的零点个数是_2ln2,0( )41,0xxxf xxx(3) 函数的零点个数为_2( )4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx【解析】(1)函数的零点所在的区间可转化为函数，图象交( )f x( )lng x

7、x( )2h xx 点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知的零点所在的区间为(1,2)( )f x(2)当时，作函数和的图象，0x lnyx22yxx由图知，当时，有 2 个零点；0x ( )f x当时，由得，综上，有 3 个零点0x( )=0f xx1 4( )f x(3)2( )4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx2(1 cos )sin2sin|ln(1)|xxxx2sin cos|ln(1)|xxxsin2x|ln(1)|x由，得.( )0f x sin2|ln(1)|xx设，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所1sin2yx2|ln(1)|yx示高考数学

8、一轮第八讲 第 5 页共 13 页 由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数有两个零点( )f x【例 2】(1)方程的解可视为函数的图象与函数的图象交2210xx 2yx1yx点的横坐标，若方程的各个实根，()所对应的点440xax1x2xkx4k （）均在直线的同侧，则实数的取值范围是 4( ,)i ixx1,2,ikyxa(2)已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取( )f x3231axx( )f x0x0xa值范围为A （2，+） B （1，+） C （，2） D （，1）【解析】(1)由于直线过点，所以由幂函数的图象知直线与4yax (0,4)4yax 有且只有两个交点所以方程

9、有两个根且一正一负4yx440xax设，若这两根对应点()均在直线上方，则，10x 20x 4( ,)i ixx1,2i yx4i ixx则，；当()均在直线的下方时，102x22x 4( ,)i ixx1,2i yx4i ixx则，将方程化为，12x 220x 440xax34axx 作出图象如图所示34( )f xxxxy- 22 2-2O高考数学一轮第八讲 第 6 页共 13 页 由图象可知当或时满足条件，所以或即为所( 2)af ( 2)af 6a 6a 求(2)当时，有两个零点，不符合题意，0a 2( )31f xx 故，令，得或，0a 2( )363 (2)fxaxxx ax( )

10、0fx0x 2xa当时，在上单调递增，在上单调递减，0a ( )f x2(,0),(,)a2(0,)a又，在上存在零点，不满足题意；(0)10f ( )f x(,0)当时，在上单调递减，在上单调递增，要使0a ( )f x2(,),(0,)a2(,0)a存在唯一的零点，且，则需，解得，选 C( )f x0x00x 2( )0fa2a 【例 3】(1)已知以为周期的函数，其中，若方4T 21,( 1,1( )12 ,(1,3mxxf xxx 0m 程恰有 5 个实数解，则的取值范围为（ ）3 ( )f xxmABCD15 8(, )3315(, 7)34 8( , )3 34( , 7)3(2)

11、已知函数=（，且）在上单调递减，( )f x2(4,0, log (1) 13 ,03)axaxa xxx0a 1a R且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）x|( )| 2f xxaA （0， B， C， D，）2 32 33 41 32 33 41 32 33 4【解析】(1)因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半( 1,1x 2 2 21(0)yxym椭圆，其图像如图所示高考数学一轮第八讲 第 7 页共 13 页 同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由(1,3x图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆3xy 2 2 2(4)1(0)yx

12、ym无公共点时，方程恰有 5 个实数解2 2 2(4)1(0)yxym将代入得3xy 2 2 2(4)1(0)yxym2222(91)721350,mxm xm令，则29(0)tm t2(1)8150txtxt由，得，由，且得，2(8 )4 15 (1)0tt t 15t 2915m 0m 15 3m 同样由与第二个椭圆由可计算得，3xy 2 2 2(8)1(0)yxym0 7m 综上知15(, 7)3m(2)当时，单调递减，必须满足，故，0x ( )f x4302a 304a此时函数在上单调递减，( )f x0,)若在上单调递减，还需，即，所以( )f xR31a1 3a13 34a当时，函

13、数的图象和直线只有一个公共点，即当时，0x|( )|yf x2yx0x方程只有一个实数解因此，只需当时，方程只|( )| 2f xx0x |( )| 2f xx有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，0x 2(43)32xaxax即在上恰有唯一的实数解22(21)320xaxa(,0)判别式，24(21)4(32)4(1)(43)aaaa 当时，此时满足题意；3 4a 0 1 2x 令，由题意得，即，即时，2( )2(21)32h xxaxa(0)0h320a 2 3a 方程有一个正根、一个负根，满足要求；22(21)320xaxa高考数学一轮第八讲 第 8 页共 13 页 当，即时，方程

14、有一个为 0、一个根为(0)0h2 3a 22(21)320xaxa，满足要求；当，即，即时对称轴，2 3(0)0h320a 23 34a(21)0a此时方程有两个负根，不满足要求；22(21)320xaxa综上实数的取值范围是a1 23 , 3 34点拨：函数的零点实质上是方程的实数解，利用函数与方程的美系、( )f x( )0f x 数形结合的思想方法，可使有些问题得到简捷的解法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断考点考点 2 二次函数与一元二次

15、方程二次函数与一元二次方程1已知一元二次方程的分布，求有关参数的值2利用一元二次方程根的分布解决有关问题【例 4】已知是实数，函数，如果函数在区间a2( )223f xaxxa ( )yf x上有零点，求的取值范围 1,1a【解析】当时，函数为，其零点，在区间上无零点0a ( )23f xx3 2x 1,1当时，函数在区间分为三种情况：0a ( )f x 1,1方程在区间上有重根此时，( )0f x 1,124(261)0aa 解得37 2a 当时，的重根；37 2a ( )0f x 37 2x 1,1 当时，的重根；37 2a ( )0f x 37 2x 1,1 故当方程在区间上有重根时(

16、)0f x 1,137 2a 在区间上只有一个零点，且不是的重根，( )f x 1,1( )0f x 高考数学一轮第八讲 第 9 页共 13 页 此时必有( 1) (1)0ff因为，所以，解得( 1)5fa(1)1fa(5)(1)0aa15a因为当时，方程在区间上只有两个相异实根5a ( )0f x 1,1故当方程在区间上只有一个实根，且不是重根时，( )0f x 1,115a 方程在区间上有两个相异的实根( )0f x 1,1因为函数，其图象的对称轴方程为，应211( )2 ()322f xa xaaa1 2xa a满足：（）或（），解不等式组（）得解不等式组01| 12 (1)0( 1)0

17、0aa ff 0 1| 12 (1)0 ( 1)0 0aa f f 5a（）得37 2a 故当方程在区间上有两个相异的实根时，( )0f x 1,137(,)5,)2a 注意到当时，方程在区间上有实根；15a ( 1) (1)0ff( )0f x 1,1当时，37(,)5,)2a 由于，且，方程在区间上有实根1() (1)02ffa1| 12a( )0f x 1,1当时，方程在区间上有实根37 2a ( )0f x 1,1综上所述，若函数在区间上有零点，( )yf x 1,1则的取值范围是a37(,)1,)2 高考数学一轮第八讲 第 10 页共 13 页 点拨：本题可以转化为方程在上有解，因而

18、也可以分离参22230axxa 1,1数；，显然时，原方程无解，故转化为求函数2(21)32axx21 2x 232 21xax在上的值域232 21xyx 1,1x 【例 5】设为实数，函数a2( )2()|f xxxaxa(1)若，求的取值范围； (0)1fa(2)求的最小值；( )f x(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )( )h xf x( ,)xa的解集.( )1h x 【解析】 （1）若，则(0)1f20| 111aa aaa （2）当时，xa22( )32f xxaxa22min( ),02,0 ( )2( ),0,033f a aaa f xaafaa当时，x

19、a22( )2f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aaaf xf a aaa综上22min2,0 ( )2,03aa f xaa （3）时，得（*） ，( ,)xa( )1h x 223210xaxa 222412(1)128aaa 当时，；不等式的解集为66 22aa或0( )1h x ( ,)xa当时，此时不等式（*）的解集为66 22a0 223232()()033aaaaxxxa 高考数学一轮第八讲 第 11 页共 13 页 aaa a+ 3-2a23a- 3-2a23当，解得或，由图可知232 3aaa2 2a 2 2a 当时，解集为；26(,)22a(

20、 ,)a 当时，解集为；62(,)22a 223232( ,)33aaaaa当时，解集为22,22a 232,)3aa考点考点 3 二分法二分法1用二分法求函数零点近似解2二分法在实际问题中的应用【例 6】用二分法求函数在区间内的一个零点（精确度 0.1） 3( )1f xxx1,1.5【解析】由于，所以(1)1 1 110f (1.5)3.375 1.5 10.8750f 在区间内存在零点，取区间作为计算的初始区间，( )f x1,1.51,1.5用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间|nnab1,1.50.51.25(1.25)0f1.25,1.50.251.3

21、75(1.375)0f1.25,1.3750.1251.3125(1.3125)0f1.3125,1.3750.062511.3751.31251=0.06250.1,函数的零点落在区间长度小于 0.1 的区间内，故函数零点的近似值1.3125,1.375高考数学一轮第八讲 第 12 页共 13 页 为 1.3125点拨：(1)求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度占，当区间长度小于精确度占时，运算即结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值(2)精确度与精确到是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足

22、条件即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解考点考点 4 函数与方程综合问题函数与方程综合问题【例 7】已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在( )yg x2yx( )yg x处取得极小值设1x 1(0)mm( )( )g xf xx（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；( )yf xP(0,2)Q2m（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点()k kR( )yf xkx【解析】 （1）依题可设 ()，则1) 1()(2mxaxg0a；aaxxaxg22) 1(2)( 又的图像与直线平行，即 gx2yx22a1a ， ，mxxmxxg21) 1()(22 2g x

23、mf xxxx设，则,ooP xy2002 02 02 02)()2(|xmxxyxPQ2 22 02 0222 222 2 | 2mxmmmmmx当且仅当时，取得最小值，即取得最小值2 02 2 02xmx 2| PQ| PQ2当时， 解得 0m2)222(m12 m当时， 解得0m2)222(m12 m（2）由()， 120myf xkxk xx0x高考数学一轮第八讲 第 13 页共 13 页 得 2120k xxm *当时，方程有一解，函数有一零点；1k *2mx yf xkx2mx 当时，方程有二解1k *4410mk 若，0m 11km 函数有两个零点，即；( )yf xkx)1 (2)1 (442 kkmx1)1 (11 kkmx若，函数有两个零点，0m 11km yf xkx)1 (2)1 (442 kkmx即；1)1 (11 kkmx当时，方程有一解，1k *4410mk 11km 函数有一零点 yf xkxmkx11综上，当时, 函数有一零点；1k yf xkx2mx 当()，或（）时，11km 0m 11km 0m 函数有两个零点； yf xkx1)1 (11 kkmx当时，函数有一零点.11km yf xkxmkx11本专题试题训练详见试题精练