专题05 不等式与线性规划（教学案）-2018年高考理数二轮复习精品资料（解析版）.doc

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1、与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点2018 高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力1.熟记比较实数大小的依据与基本方法作差(商)法；利用函数的单调性2特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：ab，c0acbc；ab，cb，cdacbd；(3)同向可乘性：ab0，cd0acbd；(4)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；3熟练应用基本不等式证明不等式与求

2、函数的最值4牢记常见类型不等式的解法(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解5简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解考点一考点一 不等式性质及解不等式不等式性质及解不等式例 1、(1)不等式组Error!的解集为( )Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析：基本法：由 x(x2)0 得 x

3、0 或 x2；由|x|1 得1x1，所以不等式组的解集为x|0x1，故选 C.答案：C(2)设函数 f(x)ln(1|x|)，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是( )11x2A. B.(1，)(13，1)(，13)C. D.(13，13)(，13) (13，)速解法：令 x0，f(x)f(0)10.f(2x1)f(1)ln 2 ln 2ln 0.12e不适合 f(x)f(2x1)，排除 C.令 x2，f(x)f(2)ln 3 ，15f(2x1)f(3)，由于 f(x)ln(1|x|)在(0，)上为增函数11x2f(2)f(3)，不适合排除 B、D，故选 A.答案：A考点二考点

4、二 基本不等式及应用基本不等式及应用例 2、 【2017 山东，理 7】若0ab，且1ab ，则下列不等式成立的是（A）21log2abaabb （B）21log2ababab（C）21log2abaabb （D）21log2ababab【答案】B【解析】因为，且，所以0ab1ab 221,01,1,loglog 21,2abababab ，所以选 B. 学科*网12112logabaabaabbb【变式探究】(1)若直线 1(a0，b0)过点(1,1)，则 ab 的最小值等于( )xaybA2 B3C4 D5答案：C(2)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当 x0，y0 时，xy(2y)

5、x 的最小值为x2y2xy_解析：基本法：xy(2y)x ，x2y2xy4y2x22yx2x22y24y2x22xyx22y22xyx2yyxx0，y0， 2，x2yyx122当且仅当 ，即 xy 时等号成立，故所求最小值为.x2yyx22答案：2考点三考点三 求线性规划中线性目标函数的最值求线性规划中线性目标函数的最值例 3、 【2017 课标 II，理 5】设，满足约束条件，则的最小值是（ xy2330233030xyxyy 2zxy）A B C D15919【答案】A【解析】x、y 满足约束条件的可行域如图：2 +3302330 30xyxyy【变式探究】(1)若 x，y 满足约束条件E

6、rror!则 zxy 的最大值为_解析：基本法：作出可行域，如图：由 zxy 得 yxz，当直线 yxz 过点A时，z 取得最大值，zmax1 .(1，12)1232速解法：由Error!得点(2，1)，则 z3由Error!得点(0,1)，则 z1由Error!得点则 z .(1，12)32答案：32(2)设 x，y 满足约束条件Error!且 zxay 的最小值为 7，则 a( )A5 B3C5 或 3 D5 或3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中 A.平移直线(a12，a12)xay0，可知在点 A处，z 取得最小值，(a12，a12)答案：B考点四考点四 线性规

7、划的非线性目标函数的最值线性规划的非线性目标函数的最值例 4、(1)设 x，y 满足约束条件Error!则的取值范围是( )x2y3x1A1,5 B2,6C3,11 D3,10答案：C(2)(2016高考山东卷)若变量 x，y 满足Error!则 x2y2的最大值是( )A4 B9C10 D12解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由Error!得 A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选 C.答案：C1.【2017 北京，理 4】若 x，y 满足

8、 则 x + 2y 的最大值为32xxyyx ，（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2.【2017 浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是xy03020xxyxy yxz2A0，6B0，4C6，D4，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值 4，无最大值，选 D(2,1)xoy2xy02 yx03 yx3.【2017 山东，理 7】若0ab，且1ab ，则下列不等式成立的是（A）21log2abaabb （B）21log2ababab（C）21log2abaabb （D）21log2ababab【答案】B4.【2017 课标

9、II，理 5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）xy2330233030xyxyy 2zxyA B C D15919【答案】A【解析】x、y 满足约束条件的可行域如图：2 +3302330 30xyxyyz=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A(6,3)，32330y xy 则 z=2x+y 的最小值是：15.故选：A.5.【2017 山东，理 4】已知 x,y 满足xy3x y 30+5030x，则 z=x+2y 的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】由xy3x y 30+5030x画出可行域及直线20xy如图所示，平移20xy发

10、现，当其经过直线3x + y 50+与x-3的交点( 3,4)时，2zxy最大为32 45z ，选 C.6.【2017 天津，理 2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为, x y20,220,0,3,xyxyxy zxy（A） （B）1（C） （D）32 33 2【答案】D 1. 【2016 高考新课标 1 卷】若101abc，,则( )（A）ccab （B）ccabba （C）loglogbaacbc （D）loglogabcc【答案】C【解析】用特殊值法，令3a ，2b ，1 2c 得11 2232，选项 A 错误，11 223 22 3，选项 B错误，2313log2log 22，选

11、项 C 正确，3211loglog22，选项 D 错误，故选 C学科*网2.【2016 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件20, 2360, 3290.xy xy xy 则目标函数25zxy的最小值为（ ）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中(0,2), (3,0),(1,3)ABC，直线z25xy过点 B 时取最小值 6，选 B.3.【2016 高考山东理数】若变量 x，y 满足2,239,0,xyxyx+- 则22xy+的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C4.【2016 高考浙江理数】在平面

12、上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域20 0 340x xy xy 中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则AB=（ ）A22 B4 C32 D6【答案】C【解析】如图PQR为线性区域，区域内的点在直线20xy上的投影构成了线段 R Q，即AB，而 R QPQ，由340 0 xy xy得( 1,1)Q，由20 xxy得(2, 2)R，22( 1 2)(12)3 2 ABQR故选 C5.【2016 年高考北京理数】若x，y满足20 3 0xy xy x ，则2xy的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5来源:学科网 ZXXK【

13、答案】CxyOP6.【2016 年高考四川理数】设 p：实数 x，y 满足22(1)(1)2xy，q：实数 x，y 满足1,1,1,yxyxy 则 p 是 q 的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示） ，可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC在命题p中不等式表示的圆盘内，故选 A.7.【2016 高考新课标 3 理数】若, x y满足约束条件10 20 220xy xy xy 则zxy的最大值为_.【答案】3 28.【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种

14、新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy 目标函数2100900zxy.二元一次不等式组等价于3300,103900,

15、53600,0,0.xyxyxyxy 3作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.9.【2016 高考江苏卷】 已知实数, x y满足240220330xyxyxy ，则22xy的取值范围是 .【答案】4 ,1351.【2015 高考北京，理 2】若x，y满足010xyxyx ，则2zxy的最大值为（ ）A0B1C3 2D2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2zxy，则11 22yxz ，令0Z，作直线1 2yx ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值 2.2 【2015 高考广东，理 6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A B.

16、6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式组对应的平面区域如图：由 z=3x+2y 得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，则由图象可知当直线 y= x+ ，经过点 A 时直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小，由，解得，即 A（1， ） ，此时 z=31+2 =，故选：B学科*网3.【2015 高考天津，理 2】设变量, x y 满足约束条件20 30 230x xy xy ，则目标函数6zxy的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C864224681510551015AB4.【2015 高考陕西，理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原

17、料已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元甲乙原料限额A（吨）3212（吨）128【答案】D当直线340xyz过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max3 24 318z ，故选 D5.【2015 高考福建，理 5】若变量, x y 满足约束条件20, 0, 220,xy xy xy 则2zxy 的最小值等于 ( )A5 2 B2 C3 2 D2【答案】AxyB OA6.【2015 高考山东，理 6】已知, x y满足约束条

18、件0 2 0xy xy y ，若zaxy的最大值为 4，则a （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组0 2 0xy xy y 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若zaxy的最大值为 4，则最优解可能为1,1xy 或2,0xy ，经检验，2,0xy是最优解，此时2a ；1,1xy不是最优解.故选 B.7.【2015 高考新课标 1，理 15】若, x y满足约束条件10040xxyxy ，则y x的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原

19、点连线的斜率最大，故y x的最大值为 3.8.【2015 高考浙江，理 14】若实数, x y满足221xy，则2263xyxy的最小值是 【答案】3.9 【2015 高考新课标 2，理 14】若 x，y 满足约束条件10 20, 220,xy xy xy ，则zxy的最大值为_【答案】3 2【考点定位】线性规划xy1234123412341234DCBO10.【2015 高考湖南，理 4】若变量x，y满足约束条件1 21 1xy xy y ，则3zxy的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：30xy，

20、平移l，从而可知当2x，1y时，min3 ( 2) 17z 的最小值是7，故选 A.11.【2015 高考四川，理 9】如果函数 21281002f xmxnxmn，在区间122 ，上单调递减，则 mn 的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）81 2【答案】B12.【2015 高考陕西，理 9】设( )ln ,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1( ( )( )2rf af b，则下列关系式中正确的是（ ）Aqrp Bqrp Cprq Dprq【答案】C【解析】()lnpfabab，()ln22ababqf，11( ( )( )lnln22rf af baba

21、b，函数( )lnf xx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qpr，故选 C1. 【2014 高考安徽卷理第 5 题】yx,满足约束条件 02202202yxyxyx，若axyz取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A,121或 B.212或 C.2 或 1 D.12或【答案】D【考点定位】线性规划2. 【2014 高考北京版理第 6 题】若x、y满足20 20 0xy kxy y ，且zyx的最小值为4，则k的值为（ ）A2 B2 C1 2D1 2【答案】D【解析】若0k，xyz没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小

22、值3. 【2014 高考福建卷第 11 题】若变量yx,满足约束条件 008201xyxyx则yxz 3的最小值为_.A(0,1)Oxy【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点 A 时截距最大.即min1z.学科*网【考点定位】线性规划.4. 【2014 高考福建卷第 13 题】要制作一个容器为 43m，高为m1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）.【答案】88 【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, 4 x. 则该容器的最低总造价是808020160yxx.当且仅当2x 的时区到最小值.【考点定位】

23、函数的最值.5. 【2014 高考广东卷理第 3 题】若变量x、y满足约束条件11yxxyy ，且2zxy的最大值和最小值分别为M和m，则Mm（ ）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】作出不等式组1 1yx xy y 所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，Bl:z=2x+yOyxAy=-1x+y=1y=x【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6. 【2014 高考湖南卷第 14 题】若变量yx,满足约束条件 kyyxxy 4，且yxz 2的最小值为6，则_k.【答案】2【考点定位】线性规划7. 【2014 辽宁高考理第 16 题】对于0c ，当非零实数 a，b 满足224240

24、aabbc，且使|2|ab最大时，345 abc的最小值为 .【答案】2【解析】法一：判别式法：令2abt，则2bta ，代入到224240aabbc中，得22422420aa tatac，即22241840atatc因为关于a的二次方程有实根，所以222184 24 40ttc ，可得28 5ct ，2ab取最大值时，3 21010cacb 或3 21010cacb ，当3 21010cacb 时，223452 104 10510552222abccccccc ，当3 21010cacb 时，3452 104 1052 1050abcccccc ，综上可知当531,242cab时，min34

25、52abc 【考点定位】柯西不等式. 8. 【2014 全国 1 高考理第 9 题】不等式组1,24,xyxy 的解集为 D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y2p ， 2: (x,y)D,x 2y2p，3:(x,y)D,x 2y3p 4: (x,y)D,x 2y1p ，其中的真命题是（ ）A23,pp B12,p p C13,p p D14,p p【答案】Bxy12341234 12341234OA【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词10. 【2014 山东高考理第 5题】已知实数yx,满足) 10(aaayx，则下面关系是恒成立的是（ ）A.11 1122yxB.) 1ln()

26、 1(ln22yxC.yxsinsin D.33yx 【答案】D【解析】由(01)xyaaa及指数函数的性质得，,xy所以，33xy，选D.【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11. 【2014 山东高考理第 9 题】 已知, x y满足约束条件10 230xy xy ，当目标函数(0,0)zaxby ab在该约束条件下取到最小值2 5时，22ab的最小值为（ ）A.5 B.4 C.5 D.2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示） ，由于0,0ab，所以，axbyz经过直线230xy与直【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质. 学科*网12. 【2014 四川高考理第 4

27、 题】若0ab，0xd，则一定有（ ）Aab cd Bab cd Cab dc Dab dc4若0ab，0cd，则一定有（ ）Aab cd Bab cd Cab dc Dab dc【答案】D【解析】110,0,0cdcddc ，又0,0,abababdcdc .选 D【考点定位】不等式的基本性质.13. 【2014 四川高考理第 5 题】执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的, x yR，则输出的S的最大值为（ ）A0 B1 C2 D3 【答案】Cxy123412123412O【考点定位】程序框图与线性规划.14. 【2014 浙江高考理第 13 题】当实数x，y满足240, 10, 1,x

28、y xy x 时，14axy恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】31,2 【解析】作出不等式组240 10 1xy xy x 所表示的区域，由14axy得，由图可知，0a ，且在1,0点取得最小值在2,1取得最大值，故1a ，214a ，故a取值范围为31,2 【考点定位】线性规划.15. 【2014 天津高考理第 2 题】设变量x，y满足约束条件0, 20,12,y xyyx 则目标函数2zxy的最小值为 （ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B8642246855101520yxBCO【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题16. 【2014 大

29、纲高考理第 14 题】设, x y满足约束条件0 23 21xy xy xy ，则4zxy的最大值为 .【答案】5.43211234108642246810yBCAOx【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算17. 【2014 高考上海理科】若实数 x,y 满足 xy=1,则2x+22y的最小值为_.【答案】2 2【解析】22222222 22 2xyxyxy，当且仅当222xy时等号成立.【考点定位】基本不等式.18.【2014 高考安徽卷第 21 题】设实数0c，整数1p，*Nn.（1）证明：当1x且0x时，pxxp1)1 (；（2）数列 na满足pca11，p

30、 nnnapcappa 1 11，证明：p nncaa11.【答案】 （1）证明：当1x且0x时，pxxp1)1 (；（2）p nncaa11.【解析】（1）证明：用数学归纳法证明当2p 时，22(1)1212xxxx ，原不等式成立.假设(2,*)pk kkN时，不等式(1)1kxkx 成立.当1pk时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)kkxxxxkxkxkxkx 所以1pk时，原不等式也成立.综合可得，当1x且0x时，对一切整数1p ，不等式pxxp1)1 (均成立.再由111(1)n p nnac ap a 可得11nna a，即1nnaa.综上所述，11,*p nna

31、acnN.证法 2：设1 11( ),pppcf xxxxcpp，则pxc，并且111( )(1)(1)0,pp ppcpcfxp xxcpppx.由此可得，( )f x在1 ,)pc上单调递增，因而，当1 pxc时，11 ( )()ppf xf cc.当1n 时，由110pac，即1pac可知1 21111 1111(1)p ppccaaaaappp a，并且121()paf ac，从而112paac.故当1n 时，不等式11p nnaac成立.假设(1,*)nk kkN时，不等式11p kkaac成立，则当1nk时，11()()()p kkf af af c，即有112p kkaac.所以

32、当1nk时，原不等式也成立.综合可得，对一切正整数n，不等式11p nnaac均成立.【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.1若点 A(a，b)在第一象限且在直线 x2y4 上移动，则 log2alog2b( )A有最大值 2 B有最小值 1C有最大值 1 D没有最大值和最小值解析：基本法：由题意，知 a2b4(a0，b0)，则有 4a2b2，当且仅当 a2b，即2aba2，b1 时等号成立，所以 0ab2，所以 log2alog2blog2ablog221，故选 C.答案：C2若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( )A0,2 B2,0C2，) D(，2答案：D3设实数

33、x，y 满足不等式组Error!，则 x2y2的取值范围是( )A1,2 B1,4C，2 D2,42解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 内部(含边界)，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为 1；最远的距离为AO，其值为 2，故 x2y2的取值范围是1,4，故选 B.答案：B4设 x，y 满足约束条件Error!，则目标函数 z的取值范围为( )yx2A3,3 B3，2C2,2 D2,3解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部yx2分所示表示点(x，y)与点(2

34、,0)连线的斜率yx2y0x2答案：C5设函数 f(x)Error!则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_解析：结合题意分段求解，再取并集当 x0)令 y1y2，x24xx，x0 或 x5.作 y1f(x)及 y2x 的图象，则 A(5,5)，由于 y1f(x)及 y2x 都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则 B(5，5)，由图象可看出当 f(x)x 时，x(5，)及(5,0)答案：(5,0)(5，)7若 x，y 满足约束条件Error!则 z3xy 的最大值为_解析：基本法：画出可行域，并分析 z 的几何意义，平移直线 y3x 求解画出可行域如图所示z3xy，y3xz.直线 y3xz 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时，z 取得最大值答案：4