BK第三十五讲抛物线.doc-得力文库

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1、高考数学一轮第三十五讲第 1 页共 14 页第三十五讲抛物线考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、抛物线的定义1平面内与一个定点（点不在直线上）和一条定直线的距离相等的点的轨迹FFll叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线F2满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线在平面内；动点到定点的距离与到定直线的距离相等；Fl定点不在定直线上二、抛物线的标准方程和几何性质标准方程22ypx(0)p 22ypx (0)p 22xpy(0)p 22xpy (0)p 图形xyFOP(x0,y0)lxy l P(x0,y0)F OxyP(x0,y0)F Olxy lO F

2、 P(x0,y0)对称轴xxyy顶点坐标(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)O焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0,)2pF离心率1e 1e 1e 1e 准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0|2pPFx0|2pPFx 0|2pPFy0|2pPFy 范围0x0x0yy0高考数学一轮第三十五讲第 2 页共 14 页【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、抛物线的定义1抛物线定义中的“转化”法抛物线的定义在解决点到焦点的距离及点到准线的距离时常用到，要学会转化（互化），“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线” ，许多抛物线问题可根据定义获得简捷、直观

3、的求解这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径2与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度将抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行转化，从而构造出“两点间线段最短” ，使问题获解3利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用【提示】注意一定要验证定点是否在定直线上4抛物线定义的集合表示：，即|1MFPMd|PMMFd5圆锥曲线的统一定义为当时，曲线为椭

4、圆；当|MFPMed01e时，曲线为双曲线；当时，曲线为抛物线1e 1e 【提示】(1)在抛物线的定义中，定点不能在定直线上；若定点在定直线上，则可得动FlFl点的轨迹为过点且垂直于的直线Fl(2)根据抛物线的定义可将抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化二、抛物线的标准方程与几何性质1抛物线的标准方程的求法定义法根据抛物线的定义，确定的值（系数是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，pp求出抛物线方程，标准方程有四种形式，要注意选择待定系数法高考数学一轮第三十五讲第 3 页共 14 页 a注意要对抛物线的四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在轴上的抛物线，为x避免开口方向不确

5、定而分为和两种情况求解22ypx(0)p 22ypx (0)p b设成，若，开口向右；若，开口向左有两个解，2ymx(0)m 0m 0m m则抛物线的标准方程有两个同理，焦点在轴上的抛物线方程可以设成y2xmy(0)m 【提示】如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程2求抛物线的方程常与椭圆、双曲线综合考查，此时要充分关注椭圆、双曲线的特征量的求解，进而求出抛物线的特征量，从而求出抛物线的方程p3求抛物线的标准方程的方法及流程方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有，所以只需一个条p件确定值即可p流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先“定位” ，

6、再“定量” 4确定及应用抛物线性质的关键与技巧关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解5求抛物线的标准方程的几点注意：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方p程若条件涉及准线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，到准线的距离可以转化为到焦点的距离焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一写成()；焦点在轴上的抛x2yax0a y物线的标准方程可统一写成()2xay0a 当坐标系已建立时，应根据条件确

7、定抛物线方程属于四种类型中的哪一种要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系6注意抛物线的标准方程及其性质的应用高考数学一轮第三十五讲第 4 页共 14 页由抛物线的方程可求、的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求xy值，确定焦点坐标等p【提示】抛物线方程中的参数，其几何意义是焦点到准线的距离0p 7与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点、一条准线、一个顶点、一条对称轴，且离心率为常数 18抛物线标准方程中参数的几何意义是焦点到准线的距离焦点的非零坐标是一p次项系数的1 4【提示】(1)抛物线标准方程中只含有一个参数，故只需一个条件就可以确定方程

8、，但必须注p意抛物线的开口方向，若方程为非标准方程，还需有一个确定位置的条件(2)二次函数的图象就是抛物线，因此对于方程如（O）的抛物线，有时也2yaxa用函数的知识来求解三、抛物线的焦点弦设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、22ypx(0)p Fl11( ,)A x y，直线与的斜率分别为、，直线的倾斜角为，则有22(,)B xyOAOB1k2kl，2 12y yp 2124px x 124k k ，1222|sinpABxxp|1 cospFA|1 cospFB四、直线与抛物线的综合问题1直线与抛物线的位置关系的判断方法当直线斜率存在时，设直线与抛物线相交于，ykxm22ypx(0)p

9、 11( ,)A x y两点，将代入，消去并化简，得22(,)B xyykxm22ypxy222()k xmkp x20m a当时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个0k 公共点；b当时，直线与抛物线相交（即直线与抛物线有两个公共点）（方程0k 0 有两个不同的实数解）；直线与抛物线相切（直线与抛物线有一个公共点）（方0 高考数学一轮第三十五讲第 5 页共 14 页程有两个相等的实数解）；直线与抛物线相离（直线与抛物线没有公共点）（方0 程无实数解）当直线斜率不存在时，利用数形结合的方法可确定直线与抛物线的位置关系2求抛物线的弦长问题的一般思路是：将直线方程

10、代入抛物线方程，消去（或）yx后，得到关于（或）的一元二次方程（或），再由弦xy20axbxc20aybyc长公式求出其弦长在求时，可直接2 121221|1|1|ABkxxyyk12|xx利用公式求得12|xxa考点分类精讲考点考点 1 抛物线的定义抛物线的定义1利用定义判定其轨迹为抛物线2将抛物线的定义作为性质考查【例 1】(1)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，交其准22ypx(0)p FlAB线于点若，则直线的斜率为_C3CBBF l(2)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛P22yxP(0,2)P物线准线的距离之和的最小值为【解析】(1)过点向抛物线的准线

11、作垂线，垂足为，由抛物线的定义知，B1B1| |BFBB又因为，所以在中，3CBBF 1CBB1|1sin|3BFBCBBC，12 2cos3BCB而直线的倾斜角等于或，l12BCB12BCB所以直线的斜率为l11cos2 2sinBCBkBCB (2)由抛物线的定义知，点到该抛物线的准线的距离等于点到其焦点的距离，因此PP点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和即为点到点的距离P(0,2)PP(0,2)高考数学一轮第三十五讲第 6 页共 14 页与点到焦点的距离之和，显然当，三点共线时，距离之和取得最小值，PPF(0,2)最小值等于22117(0)(20)22点拨：与抛物线有关的最值

12、问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度将抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行转化，使问题获解【例 2】(1)已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线C28yxFlPlQ与的一个焦点，若，则=PFC4FPFQ |QFA B C3 D27 25 2(2)O为坐标原点，F为抛物线2:4 2C yx的焦点，P为C上一点，若| 4 2PF ，则POF的面积为（）A2 B2 2 C2 3 D4【解析】(1)过点作交于点，因为，所以，QQQl lQ4PFFQ |:| 3:4PQPF 又焦点到准线的距离为 4，所以故

13、选 CFl| | 3QFQQ(2)，由抛物线的定义可得点的坐标，2OF P3 2, 2 6POF的面积为1122 62 322POF y考点考点 2 抛物线的方程抛物线的方程1求抛物线的方程2由抛物线方程解决相关问题【例 3】(1)设抛物线2:20C ypx p的焦点为F，点M在C上，5MF ，若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为A24yx或28yx B22yx或28yxC24yx或216yx D22yx或216yx(2)抛物线2 11:2Cyxp0p 的焦点与双曲线2 2 2:13xCy的右焦点的连线交高考数学一轮第三十五讲第 7 页共 14 页 1C于第一象限的点M若1C在点M处的

14、切线平行于2C的一条渐近线，则p=A3 16B3 8C2 3 3D4 3 3【解析】(1)由题意知,02pF，5,2MpMy，MF的中点5,22my ，以MF为直径的圆的方程22525 224Myxy，该圆过0,2，代入圆的方程可得4My，即5,42pM，代入22ypx中得16252pp，解得2p 或8p ，选 C(2)经过第一象限的双曲线的渐近线为3 3yx抛物线的焦点为(0,)2pF，双曲线的右焦点为2(2,0)F.1 yxp，所以在2 0 0(,)2xM xp处的切线斜率为3 3，即013 3xp，所以03 3xp，即三点(0,)2pF，2(2,0)F，3(,)36pMp共线，所以062

15、2 023 3pppp ，即4 3 3p ，选 D【例 4】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于ypx ()p 和两点，且( ,)A x y(,)B xy()xxAB (1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值OCOCOAOBuuu ruuruu u r 【解析】(1)直线的方程是，AB2 2()2pyx与联立，从而有22ypx22450,xpxp所以：125 4pxx高考数学一轮第三十五讲第 8 页共 14 页由抛物线定义得：12|9,ABxxp所以，从而抛物线方程是4p 28 .yx(2)由，可简化为4p 22450xpxp，从而2540xx121,4,

16、xx，12 2y 24 2,y 从而(1, 2 2), (4,4 2)AB设33(,)(1 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)OCxy又，即，2 338yx22 2(21)8(41)即，2(21)41解得，或02点拨：求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意的是：(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数的几何意义，并利用它的几何p意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要注意利用参数的几何意义，以及焦点p到顶点的距离和顶点到准线的距离均为来求其方程，这里易犯的

17、错误就是缺少对开口方2p向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解反过来，也要注意由抛物线方程读出有关信息，如参数及顶点坐标，进而求出有关几何性质p考点考点 3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质1给出抛物线方程，探求其几何性质2解决与抛物线的几何性质有关的综合问题【例 5】(1)在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于xOyl24yxF两点，其中点在轴上方若直线的倾斜角为 60，则的面积为 AB、AxlOAF(2)设为抛物线 C：的焦点，过且倾斜角为 30的直线交于两点，F23yxFC,A B为坐标原点，则的面积为（）OOABA B C D3 3 49 3 863

18、 329 4高考数学一轮第三十五讲第 9 页共 14 页【解析】(1)直线的方程为，即，l3(1)yx313xy与抛物线联立解得（舍去），24 3403yy2 3Ay 0By 故的面积为OAF3(2)易知抛物线中，焦点，直线的斜率，3 2p 3( ,0)4FAB3 3k 故直线的方程为，代入抛物线方程，AB33()34yx23yx整理得设，则，22190216xx1122( ,), (,)A x yB xy1221 2xx由物线的定义可得弦长，12|12ABxxp结合图象可得到直线的距离，OAB3sin3028pd 所以的面积OAB19|24SAB d【例 6】如图，倾斜角为的直线经过

19、抛物线的焦点，且与抛物线交于、xy82FA两点B(1)求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；Fl(2)若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明ABmxP为定值，并求此定值|cos2FPFP【解析】(1)设抛物线的标准方程为，则，从而pxy2282p. 4p因此焦点的坐标为)0 ,2(pF(2,0)又准线方程的一般式为从而所求准线 l 的方程为2px2x高考数学一轮第三十五讲第 10 页共 14 页 (2)解法一：如图作，垂足为、，则由抛物线的定义知AClBDlCD，| |FAAC| |FBBD记、的横坐标分别为、，则ABAxBx，解得，| |FAAC4cos|22cos|2aFAppaFAp

21、点在抛物线 C：上，为抛物线的焦点，点为ABP24xyFCM的中点，AB3PFFM (1)若，求点的坐标；| 3PF M(2)求面积的最大值ABP高考数学一轮第三十五讲第 11 页共 14 页【解析】(1)由题意知，焦点为，准线方程为，设，) 1 , 0(F1y),(00yxP由抛物线的定义知，得到，代入求得1|0 yPF20y24xy或220x220x所以或，由得或)2 ,22(P)2 ,22(FMPF3)32,322(M)32,322(M(2)设直线的方程为，ABmkxy),(11yxA),(22yxB),(00yxP由得，于是， yxmkxy420442mkxx016162mk所以，

22、kxx421mxx421所以的中点的坐标，ABM)2 ,2(2mkk由，所以，3PFFM ) 12 ,2(3)4 ,(2 00mkkyx所以，因为， mkykx36462 00 02 04yx 所以，由，所以，154 312mk00k34 31m又因为，mkkAB2214|点到直线的距离为，) 1 , 0(FAB 21| 1|km所以，1531516| 1|64232mmmkmSSABFABP记，令，153)(23mmmmf)34 31(m01109)(2mmmf解得，911m12m高考数学一轮第三十五讲第 12 页共 14 页所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，)(mf)91,

23、31() 1 ,91()34, 1 (又，)34(243256)91(ff所以当时，取得最大值，此时，91m)(mf243256 1555k所以的面积的最大值为.ABP1355256【例 8】过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于22(0)ypx p,00A aa 、两点，自、向直线作垂线，垂足分别为、MNMN: l xa 1M1N(1)当时，求证：；2pa 1AM1AN(2)记、、的面积分别为、，是否存在，使得1AMM11AM N1ANN1S2S3S对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理0a 2 212SS S由【解析】依题意，可设直线的方程为，则有MNxmya112

24、2( ,),(,)M x yN xy12(,),(,)Ma yNa y由消去可得 22xmyaypx x2220ympyap从而有 121222yympy yap 于是 2 1212()22()xxm yyam pa又由，可得 2 112ypx2 122ypx22 212 1222()( 2) 44y yapx xapp(1)如图 1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线2pa (,0)2pAl2px 此时可得1112(,),(,),22PPMyNy并由2 12y yp 证法 1：,11(,)AMp y uuuu r Q12(,)ANp y uuur,即222 11120AMANpy ypp

25、uuuu r uuur11AMAN高考数学一轮第三十五讲第 13 页共 14 页证法 2：， 11 AMyKp 12 ANyKp ，即 112 12 221AMANy ypKKpp 11AMANxy图 1NMAN1OA1M1lxyl M1A1ON1AMN图 2(2)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：40a 2 2134SS S证法 1：记直线与轴的交点为，则于是有lx1A1OAOAa，11111111)22SMMAMxa y（，2111121 2SM NAAa yy，31112211)22SNNANxa y（22 2131211224()()()SS Sa yyxa yxa y22

26、2 1212121212()4()ayyy yx xa xxay y将、代入上式化简可得2222222(48)2(24)4(2 )am papapam paa p m pa上式恒成立，即对任意成立2 2130,4aSS S证法 2：如图 2，连接，则由，可得1MN1NM122y yap 2 112ypx，所以直线经过原点， 112221112222 2OMONypypyypKKxyy yapa1MNO同理可证直线也经过原点1NMO又，设则1OAOAa1111121112,M AhN AhMMdNNd高考数学一轮第三十五讲第 14 页共 14 页，11 12121211,2 ()()22Sd h Sa hha hh3221 2Sd h本专题试题训练详见试题精练

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