AJ第十讲 导数的应用(一).doc

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1、 高考数学一轮第十讲 第 1 页共 13 页 第十讲 导数的应用（一）考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、函数的单调性与导数1设函数在区间内可导，如果，则在此区间上( )yf x( , )a b( )0fx( )f x( , )a b是单调递增函数；如果，则在此区间上是单调递减函数( )0fx( )f x( , )a b2如果在某个区间内恒有，则为常数函数，( )0fx( )f x3函数单调性的应用若函数在区间上单调，则在该区间上不变号( )yf x( , )a b( )yfx4根据函数的单调性与其导数的正、负之间的关系来判断，观察导函数图象，的图象在轴的上方（或下方） ，则函

2、数在该区间内满足（或） ，( )fxx( )0fx( )0fx也就是说在相应的区间内是增函数（或减函数） 二、导数与函数的极值和最值1导数与函数的极值极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有( )f x0x0x，就说是函数的一个极大值，记作，是极大( )f x0()f x0()f x( )f x0()yf x极大值0x值点极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都有( )f x0x0x，就说是函数的一个极小值，记作，是极小( )f x0()f x0()f x( )f x0()yf x极小值0x值点，极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为

3、极值点极值点是自变量的值，极值指的是函数值当函数在点处连续时，判别是极值的方法：( )f x0x0()f xa如果对附近的左侧，右侧，那么是极大值；0x( )0fx( )0fx0()f xb如果对附近的左侧，右侧，那么是极小值0x( )0fx( )0fx0()f x高考数学一轮第十讲 第 2 页共 13 页 2函数的最值一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值 , a b( )f x , a b特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值,为函数的( )f x , a b( )f a( )f b最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小( )f x , a b( )f

4、 a( )f b值【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、导函数的单调性1用导数的方法研究函数的单调性是非常简便的，它可以避免用定义确定单调性所带来的繁琐运算求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数的定义域；( )f x(2)求导数；( )fx(3)由解出相应的的范围，当时，在相应的区( )0fx( )0fxx( )0fx( )f x间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数( )0fx( )f x还可以通过列表，写出函数的单调区间2在利用导数研究函数的单调性时，我们往往运用以下的充分条件：设函数在( )f x内可导，若，则函数在区间内为增函数（减函数） ；( , )a b( )0fx(

5、)0fx( )f x( , )a b若函数在闭区间上连续，则单调区间可扩大到闭区间上 , a b , a b【提示】(1)在某区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分条( )0fx( )0fx( )f x件，而不是必要条件，如果出现个别点使，不会影响函数在包含该点的某( )0fx( )f x个区间上的单调性(2)一般地，可导函数在上是增（减）函数的充要条件是：对任意的( )f x( , )a b，都有，且在的任何子区间内都不恒等于( , )xa b( )0fx( )0fx( )fx( , )a b零特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到二、函数的极值与最值高考数学

6、一轮第十讲 第 3 页共 13 页 1可导函数的极值设函数在处连续且若在点附近左侧，右侧( )f x0xx0()0fx0x( )0fx，则为函数的极大值；若在点附近左侧，右侧，( )0fx0()f x0x( )0fx( )0fx则为函数的极小值0()f x【提示】极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小2函数的最值(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出

7、来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值【提示】根据考试大纲的规定，有关函数的最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，就可以知道这一点就是最大（小）值点三、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系( )yf x2求函数的导数，解方程( )fx( )0fx3比较函数在区间端点和使的点的数值的大小，

8、最大（小）者为最大（小）( )0fx值【提示】(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函( )0fx数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值考点分类精讲高考数学一轮第十讲 第 4 页共 13 页 考点考点 1 导数与函数的单调性导数与函数的单调性1求函数的单调区间2已知函数单调区间，求有关参数的取值范围3利用导数与函数单调性的关系定性解决有关函数与导函数图象问题【例 1】(1) 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得( )(21)xf xexaxa1a 0x

9、，则的取值范围是0()0f xaA B C D3,1)2e33, )24e33, )24e3,1)2e(2)如图,一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星t露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图象大致为( )S t(0)0S( )yS tA B C D(3)设，讨论函数的单调性0a 2( )ln(1)2(1)f xxaa xa x【解析】(1)由题意可知存在唯一的整数，使得，0x0 00(21)xexaxa设，由，知在( )(21)xg xex( ) h xaxa( )(21)xg xex=+( )g x1(,)2 上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图

10、所示，1(,)2( )g x( )h xxyg(x)=ex(2x-1)h(x)=ax-a321121123O高考数学一轮第十讲 第 5 页共 13 页 故，即，所以故选 D(0)(0)( 1)( 1) hghg1 32aae312ae0(故可排除 B)；当五角星薄片全部露出水面后，的值不再变化，故( )S t( )S t其导数值最终应等于 0，符合上述特征的只有选项 A( )S t(3)函数的定义域为( )f x(0,).22 (1)2(1)1( ),aa xa xfxx当时，方程的判别式1a 222(1)10aa xa x (1- )112(1).3aa 当有两个零点，10,0,( )3af

11、x 时12(1)(31)(1)(31)110,22 (1)22 (1)aaaaxxaaaaaa且当内为增函数；12120,( )0,( )(0,)(,)xxxxfxf xxx或时在与当内为减函数；1212,( )0,( )(,)xxxfxf xx x时在当内为增函数；11,0,( )0,( )(0,)3afxf x 时所以在当内为增函数；11,( )0(0),( )(0,)afxxf xx时在高考数学一轮第十讲 第 6 页共 13 页 当1(1)(31)11,0,0,22 (1)aaaxaaa 时在定义域内有唯一零点，2(1)(31)10,( )22 (1)aaxfxaaa所以1x且当内为增函

12、数；110,( )0,( )(0,)xxfxf xx时在当时，内为减函数1xx1( )0,( )(,)fxf xx在的单调区间如下表：( )f x103a113a1a 1(0,)x12(,)x x2(,)x (0,)1(0,)x1(,)x AAAAAA（其中）12(1)(31)(1)(31)11,22 (1)22 (1)aaaaxxaaaaaa点拨：用导数的方法研究函数的单调性是非常简便的，它可以避免用定义法确定函数的单调性所带来的繁琐运算【例 2】已知函数2( )()x kf xxke(1)求的单调区间；( )f x(2)若对于任意的，都有，求的取值范围(0,)x( )f x1 ek【解析】

13、(1)221( )().x kfxxkek令，得. 00 fkx当时，的情况如下0k )()(xfxf与x(,)k k(, )k kk),(k)(xf +00+)(xfA124ekA0A高考数学一轮第十讲 第 7 页共 13 页 所以，的单调递减区间是（）和；单调递增区间是)(xfk,),(k当0 时，因为，所以不会有keekfk1) 1(11 .1)(), 0(exfx当若，则当时，；0m ( )0fx高考数学一轮第十讲 第 8 页共 13 页 所以，在单调递减，在单调递增( )f x(,0)-(0,)+(2)由(1)知，对任意的，在单调递减，在单调递增m( )f x 1,0-0,1故在处取

14、得最小值( )f x0x =所以对于任意，的充要条件是：1x2x 1,1 12|()()|1f xf xe，即 (1)(0)1 ( 1)(0)1ffe ffe- 11mmemeeme-+-设函数，则( )1tg tete=-+( )1tg te=-当时，；当时0t ( )0g t故在单调递减，在 单调递增( )g t(,0)-(0,)+又，故当时，(1)0g=1( 1)20gee-=+ -( )g t( )0g m 1meme- -当时，即1m 1meme-+ -综上，的取值范围是m 1,1-考点考点 2 函数的极值与最值函数的极值与最值1利用导数求函数的极大值和极小值2利用导数求函数的最值【

15、例 4】已知函数2( )xf xx e(1)求( )f x的极小值和极大值； (2)当曲线( )yf x的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围【解析】(1)的定义域为， f x, 2xfxe x x 当或时，；当时，,0x 2,x 0fx0,2x 0fx所以在，单调递减，在单调递增 f x,02,0,2高考数学一轮第十讲 第 9 页共 13 页 故当时，取得极小值，极小值为；0x f x 00f当时，取得极大值，极大值为2x f x 224fe(2)设切点为，则 的方程为 , t f tl yftxtf t所以 在轴上的截距为lx 22322f ttm ttttfttt 由已知和得

16、 ,02,t 令，则当时，的取值范围为； 20h xxxx0,x h x2 2,)当时，的取值范围是, 2x h x, 3 所以当时，的取值范围是 ,02,t m t,02 23,)综上， 在x轴上截距的取值范围l,02 23,)【例 5】设的导数为，若函数( )yfx的图像关于直线3.2( )21f xxaxbx( )fx1 2x 对称，且(1)0f (1)求实数, a b的值；(2)求函数( )f x的极值【解析】(1)因，故32( )21f xxaxbx2( )62fxxaxb从而2 2( )6(),66aafxxb即关于直线对称，从而由题设条件知，解得( )yfx6ax 1 62a 3

17、a 又由于，即，解得(1)0f 620ab12b (2)由(1)知32( )23121,f xxxx2( )6612fxxx6(1)(2).xx令，即解得( )0fx6(1)(2)0xx122,1xx 当时，故在上为增函数；(, 2)x ( )0fx( )f x(, 2) 高考数学一轮第十讲 第 10 页共 13 页 当时，故在上为减函数；( 2,1)x ( )0fx( )f x( 2,1)当时，故在上为增函数；(1,)x( )0fx( )f x(1,)从而函数在处取得极大值，( )f x12x ( 2)21f 在处取得极小值21x (1)6.f 点拨：对于可导函数来说，函数在某点处的导数为

18、0 是函数在该点处取得极值的必0x要不充分条件，即在处取得极值必有，但反过来不成立如( )yf x0x0()0fx，则，但不是的极值点，事实上3( )f xx2( )3fxx(0)0f 0x 3( )f xx在 R 上单调递增，另一方面，对于可导函数，若在的两侧异号，3( )f xx( )f x( )fx0x则必是的一个极值点0xx( )f x【例 6】设函数（为常数，是自然对数的底数）22( )(ln )xef xkxxxk2.71828e (1)当时，求函数的单调区间；0k ( )f x(2)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围( )f x0,2k【解析】(1)函数的定义域为 yf x(

19、0,)242221( )()xxexxefxkxxx3(2)()(0)xxekxxx由可得0k 0xekx所以当时，函数单调递减，(0,2)x( )0fx( )yf x所以当时，函数单调递增，(2,)x( )0fx( )yf x所以 的单调递减区间为，的单调递增区间为( )f x(0,2)( )f x(2,)(2)由(1)知，时，在内单调递减，0k ( )f x(0,2)故在内不存在极值点；( )f x(0,2)当时，设函数，0k xg xekx0,)x高考数学一轮第十讲 第 11 页共 13 页 因此ln( )xxkg xekee当时，时，函数单调递增01k(0,2)x( )0xg xek

20、yg x故在内不存在两个极值点；( )f x(0,2)当时，1k x(0,ln )klnk(ln ,)k gx0( )g xAA函数在内存在两个极值点(0,2)当且仅当，解得(0)0(ln )0(2)00ln2ggkgk 22eek综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为 f x0,2k2 ( ,)2ee【例 7】设( )f xxxax (1)若在上存在单调递增区间，求的取值范围；( )f x( ,）a(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值a ( )f x , ( )f x【解析】(1)由2211( )2()224fxxxaxa 当时，的最大值为；令，得2 ,)3x( )fx22(

21、 )239fa2209a1 9a 所以，当时，在上存在单调递增区间1 9a ( )f x2( ,)3(2)令，得两根( )0fx1211 811 8,.22aaxx所以上单调递减，在上单调递增12( )(,),(,)f xxx在12(,)x x当时，有，所以在上的最大值为，02a1214xx ( )f x1,42()f x又27(4)(1)60,(4)(1)2ffaff 即高考数学一轮第十讲 第 12 页共 13 页 所以在上的最小值为，( )f x1,44016(4)833fa 得，从而在上的最大值为21,2ax( )f x1,410(2).3f点拨：连续函数在闭区间上的最大（小）值，是由开

22、区间内所有局( )f x , a b( , )a b部极大（小）值与、比较选出采的( )f a( )f b【例 8】设函数2( )f xxaxb(1)讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(sin )fx2 2 (-,)(2)记，求函数在上的最大值 D；2 000( )fxxa xb0(sin )(sin )fxfx2 2 (-,)(3)在(2)中，取，求满足时的最大值000ab24azb1D【解析】 （1），2(sin )sinsinsin (sin)fxxaxbxxab22x， (sin )(2sin)cosfxxax22x因为，所以22xcos0, 22sin2xx 当时

23、，函数单调递增，无极值2,abR(sin )fx当时，函数单调递减，无极值2,abR(sin )fx当，在内存在唯一的，使得22a (,)2 2 0x02sin xa时，函数单调递减；时，函数单调递增02xx(sin )fx02xx(sin )fx因此，时，22a bR函数在处有极小值(sin )fx0x20(sin)( )24aafxfb（2）时，22x，00000|(sin )(sin )| |()sin| |fxfxaaxbbaabb当时，取，等号成立，00()()0aa bb 2x当时，取，等号成立，00()()0aa bb2x 高考数学一轮第十讲 第 13 页共 13 页 由此可知，函数在上的最大值0(sin )(sin )fxfx2 2 ,为00|Daabb（3），即，此时，从而D1|1ab 201, 11ab2 14azb取，则，并且0,1ab| 1ab2 14azb由此可知，满足条件的最大值为 124azb1D本专题试题训练详见试题精练