高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的计算教师用书理.doc

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1、- 1 -第十节第十节 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数。2016，全国卷，16,5 分(导数的几何意义)2016，全国卷，15,5 分(切线方程)2015，全国卷，21(1)，5 分(切线问题)2015，全国卷，12,5 分(切线问题)2014，全国卷，8,5 分(利用导数几何意义、求参数)1.有关导数的计算较少直接考查，一般出现在解答题中的某一个环节

2、上，作为解题工具；2.导数的几何意义考查较多，有时以客观题形式出现，有时在大题的某一问中出现。微知识 小题练自|主|排|查- 2 -1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作limx0y xlimx0fx0xfx0 xf(x0)或yError!xx0，即f(x0) 。limx0y xlimx0fx0xfx0 x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为yy0f(x0)(

3、xx0)。(3)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数。limx0fxxfx x2导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ Q)f(x)nxn1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1 xlnaf(x)lnxf(x)1 x(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)。fx gxfxgxfxgx gx2(3)复合函数的导数复合函数yf(

4、g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。- 3 -微点提醒 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 11P73例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_，加速度a_。【解析】 vh(t)9.8t6.

5、5，av(t)9.8。【答案】 9.8t6.5 9.82(选修 11P85习题 3.2A 组 T7改编)f(x)cosx在点处的切线的倾斜角为( 2，0)_。【解析】 f(x)sinx，切线的斜率kf1，故切线的倾斜角为 。( 2)3 4【答案】 3 4二、双基查验1f(x)是函数f(x)x32x1 的导函数，则f(1)的值为( )1 3A0 B3C4 D7 3【解析】 f(x)x32x1，f(x)x22。1 3f(1)3。故选 B。【答案】 B2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是( )- 4 -【解析】 由yf(x)的图象知yf(x)在

6、(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C。又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B。故选 D。【答案】 D3(2017盘锦模拟)已知曲线y12 与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积1 x为 3，则x0的值为( )A2 B2 C. D11 2【解析】 由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分1 x2别为，3x2x02，所以3，解得x01。故选 D。1 x2 02 03x2 02x02 x2 0【答案】 D- 5 -4已知函数f(x)

7、axlnx，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_。【解析】 因为f(x)a(1lnx)，所以f(1)a3。【答案】 35已知曲线yxlnx在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1 相切，则a_。【解析】 y1 ，则曲线yxlnx在点(1,1)处的切线斜率为1 xky112，故切线方程为y2x1。因为y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切，联立Error!得ax2ax20，显然a0，所以由 a28a0a8。【答案】 8微考点 大课堂考点一 导数的计算多维探究角度一：由函数的解析式求导数【典例 1】 (1)若yx，则y_。(x21 x1 x3

8、)(2)若yxsin cos ，则y_。x 2x 2(3)若y(1)，则y_。x(1x1)(4)若yln(12x)，则y_。【解析】 (1)yxx31x2，(x21 x1 x3)y3x22x33x2。2 x3(2)yxsin cos x sinx，x 2x 21 2y1 cosx。1 2(3)y(1)1xx 1xx ，x(1x1)1 21 21 21 2yx x 。1 21 21 23 212x(11 x)(4)设u12x，ylnu，则yln(12x)是由ylnu与u12x复合而成，- 6 -所以yxyuux(lnu)(12x) (2)。1 u2 12x2 2x1【答案】 (1)3x2 (2)

9、1 cosx2 x31 2(3) (4)12x(11 x)2 2x1角度二：含有导数值的抽象函数求导问题【典例 2】 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)_。(2)已知函数f(x)fsinxcosx，则f_。( 6)( 6)【解析】 (1)f(x)x23xf(2)lnx，f(x)2x3f(2) ，1 xf(2)43f(2) 3f(2) ，1 29 2f(2) 。9 4(2)f(x)fsinxcosx，( 6)f(x)fcosxsinx，( 6)ff ，( 6)32( 6)1 2f(2)，( 6)3f(x)(2)sinxcosx，3f(

10、2) 1。( 6)31 232【答案】 (1) (2)19 4反思归纳 含有导数值的抽象函数的求导方法对于含有导数值的抽象函数，求导时将导数值视为常数，利用基本初等函数的导数公式和运算法则求导即可。【变式训练】 (1)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_。(2)已知函数f(x)fcosxsinx，则f的值为_。( 4)( 4)- 7 -【解析】 (1)令 ext，则xlnt，f(t)lntt。f(t) 1，f(1)2。1 t(2)f(x)fsinxcosx，( 4)所以ff，( 4)( 4)2222解得f1，( 4)2故ffcossin1。( 4)( 4) 4 4【

11、答案】 (1)2 (2)1考点二 导数的几何意义多维探究角度一：已知切点的切线方程问题【典例 3】 (2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_。【解析】 当x0 时，x0)，显然k1k21 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项，f(x)1 x1 x11 x2ex0，显然k1k2ex1ex21 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，f(x)3x20，显然k1k23x3x1 无解，故该函数不具有 T 性质。故选 A。2 12 2答案 A- 10 -4设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y (x0)上点P处的切线垂直，则P的坐1 x标为_。解析 因为yex，所以yex，所以曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1yError!x0e01，设P的坐标为(x0，y0)(x00)，则y0，因为y ，所以1 x01 xy，所以曲线y 在点P处的切线的斜率k2yError!xx0，因为1 x21 x1 x2 0k1k21，所以1，即x1，解得x01，因为x00，所以x01，所以1 x2 02 0y01，即P的坐标是(1,1)。答案 (1,1)5如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_。解析 x5，f(5)583。又f(5)1，f(5)f(5)312。答案 2