高考理科数学一轮矩阵与变换.doc

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1、选修 42 矩阵与变换A最新考纲1了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11 a12与列矩阵的乘法规则：b11b21a11 a12a11b11a12b21b11b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：a11a21 a12a22x0y0.a11a21 a12a22x0y0 a11 x0a12 y0a21

2、 x0a22 y0设 A 是一个二阶矩阵，、 是平面上的任意两个向量，、1、2是任意三个实数，则A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a21 a12a22b11b21 b12b22 a11 b11a12 b21a21 b11a22 b21 a11 b12a12 b22a21 b12a22 b22性质：一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵 A，B，若有 ABBAE，则称 A 是可逆的，B 称为 A

3、的逆矩阵若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是唯一的，通常记 A 的逆矩阵为 A1，A1B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵 A(detAadbc0)，它a b c d的逆矩阵为A1.dadbc badbc cadbc aadbc(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量 x，y 的二元一次方程组Error!的系数矩阵 A可逆，那么该方程组有唯一解1，a b c dx y a b c d m n其中 A1.dadbc badbc cadbc aadbc3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得 A，那

4、么 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设 是二阶矩阵 A的一个特征值，它的一个特征向量为 ，则a b c dx yA，x yx y即满足二元一次方程组Error!x y故Error!(*)a b c dx y 0 0则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记 f()为矩阵 A的特征多项式；方程|a b c d|a b c d|a b c d0，即 f()0 称为矩阵 A的特征方程|a b c d|a b c d(3)特征值与特征向量的计算如果 是二阶矩阵 A 的特征值，则 是特征方程 f()2(ad)|a b c d|

5、adbc0 的一个根解这个关于 的二元一次方程，得 1、2，将 1、2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解Error!Error!记 1，2.x1 y1x2 y2则 A111、A222，因此 1、2是矩阵 A的特征值，a b c d1，2为矩阵 A 的分别属于特征值 1、2的一个特征向量x1 y1x2 y2诊 断 自 测1. _.1 0 0 1 5 7解析 .1 0 0 15 71 50 7 0 51 75 7答案 5 72若 A，B，则 AB_.12 12 12 1212 1212 12解析 AB12 12 12 1212 1212 12121212(12) 12(12)1212

6、121212(12) 12(12)1212.0 0 0 0答案 0 0 0 03设 A，B，则 AB 的逆矩阵为_1 0 0 10 1 1 0解析 A1，B11 0 0 10 1 1 0(AB)1B1A1 .0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0答案 0 1 1 04函数 yx2在矩阵 M变换作用下的结果为_1 00 14解析 xx，y4y，1 00 14x yx 14yx y代入 yx2，得 y x2，即 y x2.1414答案 y x2145若 A，则 A 的特征值为_1 5 6 2解析 A 的特征多项式 f()|1 5 6 2|(1)(2)302328(7)(4)，A 的特征值为

7、 17，24.答案 7 和4考点一 矩阵与变换【例 1】 (2014苏州市自主学习调查)已知 a，b 是实数，如果矩阵 M所2 a b 1对应的变换将直线 xy1 变换成 x2y1，求 a，b 的值解 设点(x，y)是直线 xy1 上任意一点，在矩阵 M 的作用下变成点(x，y)，则 ，2 a b 1 x y x y所以Error!因为点(x，y)，在直线 x2y1 上，所以(22b)x(a2)y1，即Error!所以Error!规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键【训练 1】 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2

8、,1)分别变换为点 A(0,3)，B(1，1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.解 设 T，则 T： ，解得Error!a c b d3 0 x y a c b d 3 0 3a 3b 0 3T： ，2 1 x y a c b d 2 1 2ac 2bd 1 1解得Error!综上可知 T.0 1 1 3考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例 2】 已知矩阵 M所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A(13,5)，2 3 1 1试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标解 依题意得由 M，得|M|1，2 3 1 1故 M1.1 3 1 2从而由得，故2 3 1 1x y135x y11 321351

9、 133 5 1 132 5 2 3Error!A(2，3)为所求规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1性质的应用【训练 2】 已知矩阵 A，21 32(1)求矩阵 A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组Error!解 (1)法一 设逆矩阵为 A1，ac bd则由，得Error!21 32ac bd 10 01解得 Error!A1.21 32法二 由公式知若 A，ac bd 21 32(2)已知方程组Error!可转化为Error!即 AXB，其中 A，X，B，且由(1)，21 32xy13得 A1.21 32因此，由

10、AXB，同时左乘 A1，有A1AXA1B.21 3213 75即原方程组的解为Error!考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例 3】 已知 aR，矩阵 A对应的线性变换把点 P(1,1)变成点 P(3,3)，1a 21求矩阵 A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量解 由题意 ，1a 2111 3a1 33得 a13，即 a2，矩阵 A 的特征多项式为f()(1)24(1)(3)，|1221|令 f()0，所以矩阵 A 的特征值为 11，23.对于特征值 11，解相应的线性方程组Error!得一个非零解Error!因此，是矩阵 A 的属于特征值 11 的一个特征向量；11对于特征值 23，解相

11、应的线性方程组Error!得一个非零解Error!因此，是矩阵 A 的属于特征值 23 的一个特征向量11规律方法 已知 A，求特征值和特征向量，其步骤为：ac bd(1)令 f()(a)(d)bc0，求出特征值 ；|acbd|(2)列方程组Error!(3)赋值法求特征向量，一般取 x1 或者 y1，写出相应的向量【训练 3】 (2014扬州质检)已知矩阵 M，求 M 的特征值及属于各31 13特征值的一个特征向量解 由矩阵 M 的特征多项式 f()|3113|(3)210，解得 12，24，即为矩阵 M 的特征值设矩阵 M 的特征向量为，x y当 12 时，由 M2，x yx y可得Err

12、or!可令 x1，得 y1，1是 M 的属于 12 的特征向量1 1当 24 时，由 M4，x yx y可得Error!取 x1，得 y1，2是 M 的属于 24 的特征向量1 1用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程审题视点 (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m，求原直线，可用坐标转移法解 (1)设 M，则，a b c da

13、b c d1 1 1 1，a b c d2 1 0 2 所以Error!且Error!解得Error!所以 M.1 2 3 4(2)因为且 m：xy4，x y 1 2 3 4x y x2y 3x4y所以(x2y)(3x4y)4，即 xy20，直线 l 的方程是 xy20.反思感悟 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误【自主体验】(2014南京金陵中学月考)求曲线 2x22xy10 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中

14、M，N.10 0211 01解 MN.10 0211 01 12 02设 P(x，y)是曲线 2x22xy10 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P(x，y)，则，xy 12 02xyx 2x2y于是 xx，yx ，y2代入 2x22xy10，得 xy1.所以曲线 2x22xy10 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy1.一、填空题1已知变换 T：，则该变换矩阵为_x y x y 3x4y 5x6y解析 Error!可写成.3 4 5 6x y x y答案 3 4 5 62计算等于_3 7 5 82 1解析 .3 7 5 82 1 3 27 5 28 1 2答案

15、 1 23矩阵的逆矩阵为_5 0 0 1解析 5，的逆矩阵为.5 0 0 15 0 0 115 0 0 1答案 15 0 0 14若矩阵 A把直线 l：2xy70 变换成另一直线3 a b 13l：9xy910，则 a_，b_.解析 取 l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则，.3 a b 130 7 7a 91 3 a b 133.5 0 10.5 3.5b由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在 l上，代入得 a0，b1.答案 0 15矩阵 M的特征值为_6 3 6 3解析 f()(6)(3)180.|6 3 6 3|0 或 3.答案 0 或 36已知矩阵 M，则 M(24)_.1

16、 2 3 41 20 3解析 24，M(24).2 4 0 12 2 81 2 3 42 8 14 26答案 14 267曲线 C1：x22y21 在矩阵 M的作用下变换为曲线 C2，则 C2的方10 21程为_解析 设 P(x，y)为曲线 C2上任意一点，P(x，y)为曲线 x22y21 上与 P对应的点，则，即Error!Error!10 21xy xy因为 P是曲线 C1上的点，所以 C2的方程为(x2y)2y21.答案 (x2y)2y218已知矩阵 A，B，则满足 AXB 的二阶矩阵 X 为2 1 4 34 1 3 1_解析 由题意，得 A1 AXB，XA1B. 答案 92 1 5 1

17、9已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值 3 的一个特征向量是，11则矩阵 A 为_解析 设 A，由，得Error!ac bdac bd10 23由3，得Error!所以Error!ac bd1111 33所以 A.23 10答案 23 10二、解答题10(2012江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A1Error!，求矩阵 A 的特征值解 因为 AA1E，所以 A(A1)1.因为 A1Error!，所以 A(A1)1，22 31于是矩阵 A 的特征多项式为f()234.|2231|令 f()0，解得 A 的特征值 11，24.11已知矩阵 A，A 的一个特征值 2，其对应的特

18、征向量是 11 a 1 b.2 1(1)求矩阵 A；(2)若向量 ，计算 A5 的值7 4解 (1)A.1 2 1 4(2)矩阵 A 的特征多项式为 f()2560，得 12，23，|1 2 1 4|当 12 时，1，当 23 时，得 2.2 11 1由 m1n2，得Error!解得 m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523( 1) 232535.5 15 22 11 1 435 33912(2012福建卷)设曲线 2x22xyy21 在矩阵 A(a0)对应的变换作a 0 b 1用下得到的曲线为 x2y21.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 A2的逆矩阵解 (1)设曲线 2x22xyy21 上任意点 P(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P(x，y)由，得Error!x y a 0 b 1x y ax bxy又点 P(x，y)在 x2y21 上，所以 x2y21，即 a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21，依题意得Error!解得Error!或Error!因为 a0，所以Error!(2)由(1)知，A，A2.1 0 1 11 0 1 11 0 1 1 1 0 2 1所以|A2|1，(A2)1.1 0 2 1