高考理科数学一轮计数原理.doc

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1、第十篇 计数原理A第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方法，完成第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 Nm1m2mn

2、种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成辨 析 感 悟1两个计数原理的理解(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()2两个计数原理的

3、应用(5)(教材习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 5 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 10 种()(6)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 14个()感悟提升1两点区别一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成” ，如(1)、(2)二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成” ，如(3)、(4)2两点提醒一是分类时，标准要明确，应做到不

4、重不漏；可借助几何直观，探索规律，如(5)二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如(6)中2,3 可重复但至少各出现一次.学生用书第 172 页考点一 分类加法计数原理【例 1】 (2013福建卷改编)满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A14 B13 C12 D9解析 由于 a，b1,0,1,2(1)当 a0 时，有 x 为实根，则 b1,0,1,2 有 4 种可能；b2(2)当 a0 时，则方程有实根，44ab0，所以 ab1.(*)当 a1 时，满足(*)式的 b1,0,1,2 有 4 种当 a1

5、 时，b1,0,1，有 3 种可能当 a2 时，b1,0，有 2 种可能由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有 443213(个)答案 B规律方法 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类【训练 1】 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种 C18 种 D20 种解析 赠送一本画册，3 本集邮册，需从 4 人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有

6、C 种方法1 4赠送 2 本画册，2 本集邮册，只需从 4 人中选出 2 人送画册，其余 2 人送邮册，有 C 种方法2 4由分类加法计数原理，不同的赠送方法有 C C 10(种)1 42 4答案 B考点二 分步乘法计数原理【例 2】 将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 A 种不同排法再3 3排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有 1 种排法因此共有 A 2112(种)不同

7、的排列方法3 3答案 A规律方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成【训练 2】 将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有( )A1 种 B3 种 C6 种 D9 种解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有 3216 种涂色方案答案 C考点三 两个计数原理的综合应用【例 3

8、】 (2014济南质检)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_.12345审题路线 由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域 1 和区域 3 是否同色分类求解解析 按区域 1 与 3 是否同色分类；(1)区域 1 与 3 同色；先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A 种方法3 3区域 1 与 3 涂同色，共有 4A 24 种方法3 3(2)区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3 有 A

9、 种方法，第二步涂区域 2 有 2 种2 4涂色方法，第三步涂区域 4 只有一种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法这时共有 A 21372 种方法，2 4故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为 247296.答案 96规律方法 (1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色【训练 3】 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )A240 B204 C729 D920解析 若 a22，则“凸数”为 120 与 121，共

10、122 个若 a23，则“凸数”有 236 个若 a24，满足条件的“凸数”有 3412 个，若a29，满足条件的“凸数”有 8972 个所有凸数有26122030425672240(个)答案 A1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成” 2(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行(2)分类的关键在于要做到“不重不漏” ，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步3若综合利用

11、两个计数原理，一般先分类再分步 学生用书第 173 页创新突破 9与计数原理有关的新定义问题【典例】 (2012湖北卷)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99.3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999.(*)则：(1)4 位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个(*)突破：由(*)式，理解“特殊”背景回文数的含义，借助计数原理计算结合(*)，可从 2 位回文数，3 位回文数，4 位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规律解析 (1)4 位回文数相当于

12、填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法；中间两位一样，有 10 种填法共计 91090(种)填法，即 4 位回文数有 90 个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，共有 910n种填空答案 (1)90 (2)910n反思感悟 (1)一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决(2)从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确【自主体验】1(201

13、4扬州调研)从 8 名女生 4 名男生中，选出 3 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_种解析 从男生中抽取 1 人有 4 种方法从女生中抽取两人，有 C 28 种方法2 8由分步乘法计数原理，共有 284112 种方法答案 1122(2013山东卷改编)用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D648解析 0,1,2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有 998648(个)，有重复数字的三位数有 900648252(个)答案 B对应学生用书 P357基础巩固题组(建议用时：4

14、0 分钟)一、选择题 1某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D 中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择，其他号码只想在1,3,6,9 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A180 种 B360 种 C720 种 D960 种解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5 种选法，第二位号码有 3 种选法，其余三位号码各有 4 种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)答案 D2(2012新课标全国卷)将 2 名教师，4 名学生分成 2

15、 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A12 种 B10 种 C9 种 D8 种解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C 2 种1 2选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C 6 种选派方法2 4由分步乘法计数原理，不同选派方案共有 2612(种)答案 A36 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A240 种 B360 种 C480 种 D720 种解析 第一步先排甲，共有 A 种不同的排法；第二步再排其他人，共有 A 种1 4

16、5 5不同的排法因此不同的演讲次序共有 A A 480(种)1 45 5答案 C4从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8解析 以 1 为首项的等比数列为 1,2,4；1,3,9；以 2 为首项的等比数列为 2,4,8；以 4 为首项的等比数列为 4,6,9；把这四个数列顺序颠倒，又得到 4 个数列，所求的数列共有 2(211)8(个)答案 D5集合 Px,1，Qy,1,2，其中 x，y1,2,3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A9 B14 C15 D

17、21解析 当 x2 时，xy，点的个数为 177(个)当 x2 时，由 PQ，xy.x 可从 3,4,5,6,7,8,9 中取，有 7 种方法因此满足条件的点共有 7714(个)答案 B二、填空题6从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析 第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的 3 人中选 1 人当文娱委员，有 3 种选法第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选

18、法共有 34336(种)答案 37如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 8432 个；第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个由分类加法计数原理知，共有 32840(个)答案 4088 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各 4 人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第 3,4 名，大师赛共有_场比赛解析 小组赛共有 2C 场比赛；半决赛和决赛共有 224 场比赛；根据分类2 4加法计数原理共

19、有 2C 416(场)比赛2 4答案 16三、解答题9电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解 (1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30292017 400 种(2)幸运之星在乙箱中抽取，有 20193011 400 种共有不同结果 17 40011 40028 800(种)10 “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，

20、求第 30 个“渐升数” 解 渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有 65432121(个)形如的渐升数共有 5 个形如的渐升数共有 4 个故此时共有 215430(个)因此从小到大的渐升数的第 30 个必为 1 359.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为( )A96 B84 C60 D48解析 可依次种 A，B，C，D 四块，当 C 与 A 种同一种花时，有12134135431336 种种法；当 C 与 A 所种花不同时，有 43224

21、8 种种法由分类加法计数原理，不同的种法种数为 364884.答案 B2在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A10 B11 C12 D15解析 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1；若恰有 3 个位置的数字不同的信息个数为 C ；若恰有 2 个位置上的数字不同的信息个数为 C .3 42 4由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为 1C C 11.3 42 4答案 B二、填空题3如图所示，在 A、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可

22、能导致电路不通，今发现 A、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种解析 四个焊点共有 24种情况，其中使线路通的情况有：1、4 都通，2 和 3 至少有一个通时线路才通共有 3 种可能故不通的情况有 24313(种)可能答案 13三、解答题4用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在 A，B，C，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色(1)若 n6，为着色时共有多少种不同的方法？(2)若为着色时共有 120 种不同的方法，求 n.解 (1)分四步：第 1 步涂 A 有 6 种不同的方法，第 2 步涂 B 有 5 种不同的方法，第 3 步涂 C 有 4 种不同

23、的方法，第 4 步涂 D 有 4 种不同的方法根据分步乘法计数原理，共有 6544480 种不同的方法(2)由题意，得 n(n1)(n2)(n3)120，注意到 nN*，可得 n5.学生用书第 173 页第 2 讲 排列与组合最新考纲1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数(2)从 n 个不

24、同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)(n2)(nm1)m nn！nm！(2)C (n，mN*，且 mn)特别地 C 1.m nAm nAm mnn1n2nm1m！n！m！nm！0 n性质(1)0！1；A n！.n n(2)C C；CC C.m nnmnmn1m nm1n辨 析 感 悟1排列与组合的基本概念、性质(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式 C C ，则 xm 成立()x nm n2排列与组合的应用(

25、4)5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 A A A 72 种()5 52 2 4 4(5)(教材习题改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 343A 168(个)()3 4(6)(2013北京卷改编)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是4A 96 种()4 4感悟提升1一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序2求解排列、组合问题的思路：“

26、排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 ”学生用书第 174 页考点一 排列应用题【例 1】 4 个男同学，3 个女同学站成一排(1)3 个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解 (1)3 个女同学是特殊元素，共有 A 种排法；由于 3 个女同学必须排在一3 3起，视排好的女同学为一整体，再与 4 个男同学排队，应有 A 种排法5 5由分步乘法计数原理，有 A A 720 种不同排法3 3 5 5(2)先将男生排好，共有 A 种排法，再在这 4 个男生的中间及两

27、头的 5 个空档4 4中插入 3 个女生有 A 种方法3 5故符合条件的排法共有 A A 1 440 种不同排法4 4 3 5(3)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有 A 种排法；由于甲、乙要相邻，4 4故先把甲、乙排好，有 A 种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插2 2入原先排好的 4 人的空档及两边有 A 种排法2 5总共有 A A A 960 种不同排法4 4 2 2 2 5规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(

28、2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法【训练 1】 (1)(2014济南质检)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!(2)(2013四川卷)从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是( )A9 B10 C18 D20解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以有(3！)4种(2)由于 lg alg blg (a0，b0)，ablg 有多少个不同的值，只需看

29、 不同值的个数abab从 1,3,5,7,9 中任取两个作为 有 A 种，又 与 相同， 与 相同，lg alg b 的ab2 513393193不同值的个数有 A 218.2 5答案 (1)C (2)C考点二 组合应用题【例 2】 某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解 (1)一名女生，四名男生故共有 C C 350(种)1 54 8(2)将两队长作为一类，其他 11

30、 人作为一类，故共有 C C165(种)2 23 11(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：C CC C825(种)或采用排除法：CC825(种)1 24 112 23 115 135 11(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：C C C C C 966(种)2 53 81 54 85 8(5)分两类：第一类女队长当选：C；第二类女队长不当选：4 12C C C C C C C .1 43 72 42 73 41 74 4故选法共有：CC C C C C C C 790(种)4 121 43 72 42 73 41 74 4规律方法 组

31、合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解【训练 2】 若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种 C65 种 D66 种解析 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在 5 个奇数 1,3,5,7,9 中，任意取 4 个，有 C 5(种)；二是两个奇数和两个偶数，在 5 个奇数中任取 2 个，4 5再在

32、4 个偶数 2,4,6,8 中任取 2 个，有 C C 60(种)；三是取 4 个偶数的取法2 52 4有 1 种所以满足条件的取法共有 560166(种)答案 D学生用书第 175 页考点三 排列、组合的综合应用【例 3】 (1)(2013浙江卷)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B均在 C 的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为( )AA C B. A C CA A D2A2 6 2 412 2 6 2 42 6 2 42 6审题路线 (1

33、)选出 3 个位置排特殊元素 A、B、C，并把元素 A、B 作为元素集团进行排列；(2)可将 4 名同学分成两组(每组 2 人)，再分配到两个班级解析 (1)先将 A，B 视为元素集团，与 C 先排在 6 个位置的三个位置上，有C A C 种排法；3 6 2 21 2第二步，排其余的 3 个元素有 A 种方法3 3由分步乘法计数原理，共有 C A C A 480 种排法3 6 2 2 1 23 3(2)法一 将 4 人平均分成两组有 C 种方法，将此两组分配到 6 个班级中的 2122 4个班有 A 种2 6所以不同的安排方法有 C A 种12 2 42 6法二 先从 6 个班级中选 2 个班

34、级有 C 种不同方法，然后安排学生有 C C 种，2 62 42 2故有 C C A C 种2 6 2 412 2 62 4答案 (1)480 (2)B规律方法 (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法【训练 3】 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数

35、，其中奇数的个数为( )A24 B18 C12 D6解析 根据所选偶数为 0 和 2 分类讨论求解当选数字 0 时，再从 1,3,5 中取出 2 个数字排在个位与百位排成的三位数的奇数有 C A 6 个2 3 2 2当取出数字 2 时，再从 1,3,5 中取 2 个数字有 C 种方法然后将选中的两个2 3奇数数字选一个排在个位，其余 2 个数字全排列排成的三位数的奇数有 C A A 12 个2 3 1 2 2 2由分类加法计数原理，共有 18 个三位数的奇数答案 B1熟练掌握：(1)排列数公式 A ；(2)组合数公式 C m nn！nm！m n，这是正确计算的关键n！m！nm！ 2解受条件限制

36、的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏解组合应用题时，应注意“至少” 、“至多” 、 “恰好”等词的含义3排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏、易错辨析 9实际意义理解不清导致计数错误【典例】 (2012山东卷改编)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为( )A232 B256 C472 D

37、484错解 第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡片有 C 种方法，再从黄、蓝、1 4绿三色中选出两色并各取一张卡片有 C C C 种方法2 3 1 41 4因此满足条件的取法有 C C C C 192 种1 42 3 1 4 1 4第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有 C C C 64 种取1 4 1 4 1 4法由分类加法计数原理，不同的取法共有 19264256 种答案 B错因 错解的原因是没有理解“3 张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同” 正解 第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法 C C264(种)1 42 12第二类，不含有红色卡片，不同的取

38、法 C3C 22012208(种)3 123 4由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264208472(种)答案 C防范措施 (1)准确理解题意，抓住关键字词的含义， “3 张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求(2)选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用【自主体验】1(2013大纲全国卷改编)有 5 人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)解析 先把除甲、乙外的 3 人全排列，有 A 种，再把甲、乙两人插入这 3 人3 3形成的四个空位中的两个，共 A 种不同的方法2 4所有不同的排法共有 A

39、 A 72(种)2 43 3答案 722如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数” ，那么在由1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有_个解析 第一类：恰有三个相同的数字为 1，选 2,3,4 中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有 C A 种方法，四1 31 3位“好数”有 9 个第二类：相同的三个数字为 2,3,4 中的一个，这样的四位“好数”为2221,3331,4441 共 3 个由分类加法计数原理，共有“好数”9312 个答案 12对应学生用书 P359基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1一个平面内的 8 个点，若只有

40、4 个点共圆，其余任何 4 点不共圆，那么这 8个点最多确定的圆的个数为( )AC C BC C3 44 43 83 4C2C C C DC C 11 42 43 43 83 4解析 从 8 个点中任选 3 个点有选法 C 种，因为有 4 点共圆所以减去 C 种再3 83 4加 1 种，即有圆 C C 1 个3 83 4答案 D2若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A120 个 B80 个 C40 个 D20 个解析 分类讨论：若十位数为 6 时，有 A 20 个；

41、若十位数为 5 时，有2 5A 12 个；若十位数为 4 时，有 A 6 个；若十位数为 3 时，有 A 2 个，2 42 32 2因此一共有 40 个答案 C3将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A18 B24 C30 D36解析 四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有 C A 种分法，而甲、乙2 43 3被分在同一个班的有 A 种，所以不同的分法种数是 C A A 30.3 32 4 3 33 3答案 C4某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则

42、该外商不同的投资方案有( )A16 种 B36 种 C42 种 D60 种解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 A 种3 4方法；若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两项共 C A 种方法由分类加法计数原理知共 A C A 60(种)方法2 32 43 42 3 2 4答案 D5一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为( )A8 B12 C16 D24解析 两名女生站一起有 A 种站法，她们与两个男生站一起共有 A A 种站2 22 23 3法，老师站在他们的

43、中间则共有 A A C 24(种)站法，故应选 D.2 2 3 3 1 2答案 D二、填空题6(2013大纲全国卷)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)解析 依题意，所有的决赛结果有 C C C 6160(种)1 6 2 5 3 35 42答案 607(2014杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_种解析 分两步：先将四名优等生分成 2,1,1 三组，共有 C 种；而后，对三组学2 4生全排三所学校，即进行全排列，有 A 种依分步乘法计数原理，共有 NC3 3A 36(种)2 4

44、 3 3答案 368在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有_个解析 在 1,2,3,4,5 这五个数字中有 3 个奇数，2 个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有C C A 36(个)2 31 23 3答案 36三、解答题9四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？解 先在后三位中选两个位置填写数字“0”有 C 种方法，再排另两张卡片有 A2 3种方法2 2又数字“9”可作“6”用，四张卡片组成不同的四位数有 2C A 12 个

45、2 3 2 210四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？解 (1)每个盒子放一球，共有 A 24 种不同的放法；4 4(2)法一 先选后排，分三步完成第一步：四个盒子中选一只为空盒，有 4 种选法；第二步：选两球为一个元素，有 C 种选法；2 4第三步：三个元素放入三个盒中，有 A 种放法3 3故共有 4C A 144 种放法2 4 3 3法二 先分组后排列，看作分配问题第一步：在四个盒子中选三个，有 C 种选法；3 4第二步：将四个球分成 2,1,1 三组，有 C (即)种分法；2 4C2 4C

46、1 2C1 1A2 2第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有 A 种分法3 3故共有 C C A 144 种分法3 4 2 4 3 3能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A34 种 B48 种 C96 种 D144 种解析 程序 A 有 A 2 种结果，将程序 B 和 C 看作元素集团与除 A 外的元素1 2排列有 A A 48 种，由分步加法计数原理，实验编排共有 24896 种方2 2 4 4法答案 C2(2014济南调研)已知集合 A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A33 B34 C35 D36解析 (1)若