高考理科数学一轮几何证明选讲.doc

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1、选修 41 几何证明选讲A第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质最新考纲了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(2

2、)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在 RtABC 中，CD 是斜边上的高，则有 CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.诊 断 自 测1. 如图，已知 abc，直线 m，n 分别与 a，b，c 交于点 A，B，C 和A，B，C，如果 ABBC1，AB ，则 BC_.32解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案答案 322.如图，ABCAFE，EF8

3、，且ABC 与AFE 的相似比是 32，则 BC等于_解析 ABCAFE， .BCEF32又 EF8，BC12.答案 123. (2014揭阳模拟)如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，则EC_.解析 在 RtADB 中，DB，AB2AD27依题意得，ADBACE，可得 EC2.DBECADACDBACAD7答案 274.如图，C90，A30，E 是 AB 中点，DEAB 于 E，则ADE 与ABC 的相似比是_解析 E 为 AB 中点， ，即 AE AB，在 RtABC 中，A30，AEAB1212ACAB，32又RtAEDRtACB，相似比为.AEAC13故ADE 与ABC 的相

4、似比为 1.3答案 135. (2014湛江模拟)如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE交于 BC 于 F，则_.BFFC解析 如图，过点 D 作 DGAF，交 BC 于点 G，易得 FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF 为BDG 的中位线，故 BFFG，因此 .BFFC12答案 12考点一 平行截割定理的应用【例 1】 如图，在ABC 中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则 AB 的长为_解析 由Error! ，又 DF1，AEACAFADDEBC23故可解得 AF2，AD3，又 ，AB .ADAB2392答案 92规律方法 利用平行截割定理解

5、决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果【训练 1】 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2.E，F 分别为AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_解析 如图，延长 AD，BC 交于一点 O，作 OHAB 于点 H. ，得 x2h1， ，得 h1h2. xxh123xh1xh1h234S梯形 ABFE (34)h2 h2， 1272S梯形 EFCD (23)h1 h1，1252S梯形 ABFES梯形 EFCD75.答案 75考点二 相似三角形的判定及性质【例

6、 2】 如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，E 为 AC 的中点，ED、CB 延长线交于一点 F.求证：FD2FBFC.证明 E 是 RtACD 斜边中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC，F 是公共角，FBDFDC，FD2FBFC.FBFDFDFC规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等【训练 2】 (2013陕西卷)如图，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作

7、 BC 的平行线与AD 的延长线交于点 P，已知AC，PD2DA2，则 PE_.解析 PEBC，CPED，又CA，则有APED，又为公共角，所以PDEPEA，即 PE2PDPA236，故 PE.PDPEPEPA6答案 6考点三 直角三角形射影定理及其应用【例 3】 如图所示，AD、BE 是ABC 的两条高，DFAB，垂足为 F，直线FD 交 BE 于点 G，交 AC 的延长线于 H，求证：DF2GFHF.证明 HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB.，HFBFAFGFAFBFGFHF.因为在 RtABD 中，FDAB，DF2AFBF，所以 DF2GFHF.规律

8、方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式” (2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法【训练 3】 如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D， AD4，sinACD ，则 CD_，BC_.45解析 在 RtADC 中，AD4，sinACD ，得 AC5，CDADAC453，AC2AD2又由射影定理 AC2ADAB，得 AB.AC2AD254BDABAD4 ，25494由射影定理 BC2BDAB ，BC.94254154答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，O 和O相交于 A，B 两

9、点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交O 于点 E，证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.审题视点 (1)根据待证等式可将各边回归到ACB，DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明EADABD，再结合第(1)问结论得证证明 (1)由 AC 与O相切于 A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，ACADABBD即 ACBDADAB.(2)由 AD 与O 相切于 A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即 AEBDADAB.AEABADBD综合(1)的结论知，ACAE.反思感悟 1.易失分点：(1)证明本题第(

10、2)问时，想不到证明EADABD，从而无法解答(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立2防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用【自主体验】(2013江苏卷)如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆心 O，且 BC2OC.求证：AC2AD证明 连接 OD，因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以 RtA

11、DO RtACB.所以.ADACODBC又 BC2OC2OD，故 AC2AD.一、填空题1如图，BD，CE 是ABC 的高，BD，CE 交于 F，写出图中所有与ACE 相似的三角形为_解析 由 RtACE 与 RtFCD 和 RtABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知BFEA，故 RtACERtFBE.答案 FCD、FBE、ABD2.(2014西安模拟)如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB，BC 的中点，AN，CM交于点 O，那么MON 与AOC 面积的比是_解析 M，N 分别是 AB、BC 中点，故 MN 綉 AC，12MONCOA，2 .S MONS AOC(MNAC)14答案

12、143.(2014渭南模拟)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则 AE_.解析 由于ACDAEB90，BD，ABEADC，.ABADAEAC又 AC4，AD12，AB6，AE2.ABACAD6 412答案 24.(2014佛山质检)如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，CD ，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中a2点，则 EF_.解析 连接 DE 和 BD，依题知，EBDC，EBDC ，CBAB，EBCD 为a2矩形，DEAB，又 E 是 AB 的中点，所以ABD 为等腰三角形故ADDBa，E，F 分别是 AD，AB 的中点，EF D

13、B a.1212答案 a25已知圆的直径 AB13，C 为圆上一点，过 C 作 CDAB 于 D(ADBD)，若CD6，则 AD_.解析 如图，连接 AC，CB，AB 是O 的直径，ACB90.设 ADx，CDAB 于 D，由射影定理得 CD2ADDB，即 62x(13x)，x213x360，解得 x14，x29.ADBD，AD9.答案 96(2013广东卷)如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC3，BEAC，垂足为3E，则 ED_.解析 在 RtABC 中，BC3，AB，所以BAC60.因为3BEAC，AB，所以 AE，在EAD 中，EAD30，AD3，由余332弦定理知，ED2AE2AD2

14、2AEADcosEAD 923，343232214故 ED.212答案 2127.(2014茂名模拟)如图，已知 ABEFCD，若 AB4，CD12，则EF_.解析 ABCDEF，ABEFBCCFBCBFCDEF，4EFBCBCBFBCBF12EF4(BCBF)12BF，BC4BF，4，EF3.BCBF12EF答案 38.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BD 与 AC 相交于 O，过 O 的直线分别交AB、CD 于 E、F，且 EFBC，若 AD12，BC20，则 EF_.解析 EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF22015.

15、1232答案 159(2012广东卷)如图，圆 O 的半径为 1，A，B，C 是圆周上的三点，满足ABC30，过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则PA_.解析 连接 AO，AC，因为ABC30，所以CAP30，AOC60，AOC 为等边三角形，则ACP120，APC30，ACP 为等腰三角形，且 ACCP1，PA21sin 60.3答案 3二、解答题10.如图，已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，ACBD证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明 (1)因为，所以ABCBCD.ACBD又因为 EC 与圆相切于点 C，故ACEABC，

16、所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，BCBECDBC即 BC2BECD.11(2013辽宁卷)如图，AB 为O 的直径，直线 CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明 (1)由直线 CD 与O 相切，得CEBEAB.由 AB 为O 的直径，得 AEEB，从而EABEBF ；2又 EFAB，得FEBEBF .2从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由 BCCE，EFAB，FEBCEB，BE 是公共边，得 RtBCERtBF

17、E，所以 BCBF.同理可证 RtADERtAFE，得 ADAF.又在 RtAEB 中，EFAB，故 EF2AFBF，所以 EF2ADBC.12.如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，过点 D 作 AC 的平行线DE，交 BA 的延长线于点 E，求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.证明 (1)四边形 ABCD 是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.DACDBC，EADDCB.EDAC，EDADAC.EDADBC，ADECBD.DEBDAECD.DEDCAEBD.第

18、 2 讲 直线与圆最新考纲1理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知 识 梳 理1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：(i)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(ii)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理

19、(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PAPBPCPD(2)ACPBDP(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD 是O 的割线(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC、PD(2)应用相似求 AC、BD切割线定理PA 切O 于 A，PBC 是O的割线(1)PA2PBPC(2)PABPCA(1)已知 PA、PB、PC 知二

20、可求一(2)求解 AB、AC切线长定理PA、PB 是O 的切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知 PA 求PB(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理 1：圆内接四边形的对角互补定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆诊 断 自 测1.如图，ABC 中，C90，AB10，AC6，以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P，则 BP 长为_解析 连接 CP.由推论 2 知C

21、PA90，即 CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.答案 6.42.如图，AB、AC 是O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是优弧上的点，已知BAC80， 那么BDC_.解析 连接 OB、OC，则 OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDC BOC50.12答案 503.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交 于点 P.若PB1，PD3，则的值为_BCAD解析 ABCD 为圆内接四边形，PBCADP，又PP，BCPDAP， .BCADPBPD13答案 134. (2014广州调研)如图，四边形 ABCD 内接于

22、O，BC 是直径，MN 与O 相切，切点为 A，MAB35，则D_.解析 连接 BD，由题意知，ADBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.答案 1255如图所示，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若PA1，AB2，PO3，则O 的半径 r_.解析 设O 的半径为 r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长 PO 交O 于点 C，则 PCPOr3r.设 PO 交O 于点 D，则 PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，则 r.6答案 6考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题【例 1】 如图所示，O 的直径为 6，AB 为O 的直径，C 为圆

23、周上一点，BC3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于D、E.(1)求DAC 的度数；(2)求线段 AE 的长解 (1)由已知ADC 是直角三角形，易知CAB30，由于直线 l 与O 相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在 RtADC 中，DAC30.(1)(2)法一 连接 BE，如图(1)所示，EAB60CBA，则 RtABERtBAC，所以 AEBC3.法二 连接 EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30，(2)又因为CAB30，故ECACA

24、B，从而 ECAO，由 OCl，ADl，可得 OCAE，故四边形 AOCE 是平行四边形，又因为 OAOC，故四边形 AOCE 是菱形，故 AEAO3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练 1】 如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC 的面积 S ADAE，求BAC 的大小12(1)证明 由已知条件，可得BAECAD.因为AEB 与A

25、CD 是同弧所对的圆周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)解 因为ABEADC，所以，即 ABACADAEABADAEAC又 S ABACsinBAC，且 S ADAE，1212故 ABACsinBACADAE，则 sinBAC1.又BAC 为ABC 的内角，所以BAC90.考点二 与圆有关的比例线段【例 2】 如图，PA 切O 于点 A，割线 PBC 交O 于点 B，C，APC 的角平分线分别与 AB、AC 相交于点 D、E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.证明 (1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因 PE 是APC 的角平分线，故EPCAPD.又 PA 是O 的切线

26、，故CPAB.所以AEDADE.故 ADAE.(2)Error!PCEPAD；ECADPCPAError!PAEPBD.AEDBPAPB又 PA 是切线，PBC 是割线PA2PBPC.PAPBPCPA故，又 ADAE，故 AD2DBEC.ECADAEDB规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【训练 2】 (2013天津卷)如图，ABC 为圆的内接三角形，B

27、D 为圆的弦，且BDAC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F.若ABAC，AE6，BD5，则线段 CF 的长为_解析 由切割线定理得 AE2EBED，解得 EB4.因为 ABAC，所以ABCACBADB.由弦切角定理得EABEDA，所以EABABC，则 AEBC，因为 ACBD，所以四边形 AEBC 是平行四边形所以 AEBC6，ACEB4，又由题意可得CAFCBA，所以，CF .CACBCFCACA2CB83答案 83考点三 圆内接四边形的判定及应用【例 3】 (2014银川一中月考)如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与

28、O 交于 B、C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点(1)证明：A、P、O、M 四点共圆；(2)求OAMAPM 的大小(1)证明 连接 OP，OM，因为 AP 与O 相切于点 P，所以 OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC，于是OPAOMA180.由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A、P、O、M 四点共圆(2)解 由(1)得 A、P、O、M 四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得 OPAP，因为圆心 O 在PAC 的内部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么

29、这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练 3】 如图，已知ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于点H，ABC60，F 在 AC 上，且 AEAF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE 平分DEF.证明 (1)在ABC 中，ABC60，BACBCA120.AD，CE 分别是ABC 的角平分线，HACHCA60，AHC120.EHDAHC120.EBDEHD180.B，D，H，E 四点共圆(2)连接 BH，则 BH 为ABC 的平分线，EBHHBD30.由(1)知 B，

30、D，H，E 四点共圆，CEDHBD30，HDEEBH30.HEDHDE30.AEAF，AD 平分BAC，EFAD.又EHAHDECED60，CEF30.CE 平分DEF.关于圆的综合应用【典例】 如图所示，已知O1和O2相交于 A，B 两点，过 A 点作O1的切线交O2于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1，O2于点 D，E，DE与 AC 相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD 的长审题视点 (1)连接 AB，在O1中使用弦切角定理，在O2中使用圆周角定理，即可证明DE；(2)根据切割线定理，只要求出 BE 的长度即可，在O

31、2中根据相交弦定理可得 BPPE，根据(1)中ADPCEP，又可得 BP，PE 的一个方程，解方程组求出 BP，PE 的长度即可(1)证明 连接 AB，如图所示AC 是O1的切线，BACD.又BACE.DE.ADEC.(2)解 设 BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根据(1)，可得ADPCEP，即 ，DPEPAPCP9xy62由，可得Error!或Error!(负值舍去)DE9xy16.AD 是O2的切线，AD2DBDE916.AD12.反思感悟 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把O2中两条待求的线段联系起来，发

32、挥了相似三角形的桥梁作用在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向【自主体验】如图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，过 B 引O 的切线分别交 DA、CA的延长线于 E、F.(1)求证：AB2AEBC；(2)已知 BC8，CD5，AF6，求 EF 的长(1)证明 BE 切O 于 B，ABEACB.又 ADBC，EABABC，EABABC，.AEABABBCAB2AEBC.(2)解 由(1)EABABC，.BEACABBC又 AEBC，.EFAFBEACABBCE

33、FAF又 ADBC，ABCD， ，CDBCEFAF58EF6EF.308154一、填空题1.如图，AB 是O 的直径，MN 与O 切于点 C，AC BC，则12sinMCA_.解析 由弦切角定理得，MCAABC，sin ABC.ACABACAC2BC 2AC5AC55答案 552.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，DAB80，则ACO_.解析 CD 是O 的切线，OCCD，又ADCD，OCAD.由此得，ACOCAD，OCOA，CAOACO，CADCAO，故 AC 平分DAB.CAO40，ACO40.答案 403.(2012天津卷)如图，已知

34、 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点F，AF3，FB1，EF ，则线段 CD 的长为_32解析 因为 AFBFEFCF，解得 CF2，所以 ，即 BD .设342BD83CDx，AD4x，所以 4x2，所以 x .64943答案 434.如图，在ABC 中，ABAC，C72，O 过 A、B 两点且与 BC 相切于点B，与 AC 交于点 D，连接 BD，若 BC1，则 AC_.5解析 由题易知，CABC72，ADBC36，所以BCDACB，所以 BCACCDCB，又易知 BDADBC，

35、所以 BC2CDAC(ACBC)AC，解得 AC2.答案 25.(2012陕西卷)如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为 F，若 AB6，AE1，则 DFDB_.解析 由题意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在 RtDEB 中，EFDB，由射影定理得 DFDBDE25.答案 56.(2012广东卷)如图，直线 PB 与圆 O 相切于点 B，D 是弦 AC 上的点，PBADBA.若 ADm，ACn，则 AB_.解析 PB 切O 于点 B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，ABDACB.，ABACADABAB2ADACmn，AB

36、.mn答案 mn7.如图，O 和O相交于 A、B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D.若 BC2，BD4，则 AB 的长为_解析 AC、AD 分别是两圆的切线，C2，1D，ACBDAB.，BCABABBDAB2BCBD248.AB2(舍去负值)82答案 228(2013湖南卷)如图，在半径为的O 中，弦 AB，CD 相交于点7P，PAPB2，PD1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为_解析 根据相交弦定理求出 PC 的长，过 O 作弦 CD 的垂线由相交弦定理得 PAPBPCPD.又 PAPB2，PD1，则 PC4，CDPCPD5.过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则

37、 E 为 CD 中点，OE.r2(CD2)2725432答案 329.(2013重庆卷)如图，在ABC 中，ACB90，A60，AB20，过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为_解析 在 RtACB 中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.3CD 为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.3由切割线定理得 DC2DEDB，即(5)215DE，3DE5.答案 5二、解答题10.如图，已知 AB 是O 的直径，直线 CD 与O 相切于点 C，AC 平分DAB，ADCD.(1)求证：OCAD；(2)若 AD2，

38、AC，求 AB 的长5(1)证明 直线 CD 与O 相切于点 C，DCODCAACO90，AOCO，OACACO，AC 平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解 由(1)OCAD 且 OCDC，ADDC，即ADC90，连接 BC，AB 是O 的直径，ACB90，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，ADACACABAD2，AC，AB .55211.(2013新课标全国卷)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为 1，BC，延长 CE 交 AB

39、 于点 F，求BCF 外接圆的半3径(1)证明 如图，连接 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以 BECE.又因为 DBBE，所以 DE 为圆的直径，DCE90.由勾股定理可得 DBDC.(2)解 由(1)知，CDEBDE，DBDC，故 DG 是 BC 边的中垂线，所以 BG.32设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG60，从而ABEBCECBE30，所以 CFBF，故 RtBCF 外接圆的半径为.3212.如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接

40、FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若 AB 是ABC 外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求 AD 的长(1)证明 因为 AD 平分EAC，所以EADDAC.因为四边形 AFBC 内接于圆，所以DACFBC.因为EADFABFCB，所以FBCFCB，所以 FBFC.(2)证明 因为FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以 FB2FAFD.FBFDFAFB(3)解 因为 AB 是圆的直径，所以ACB90，又EAC120，所以ABC30，DAC EAC60，因为 BC6，12所以 ACBCtanABC2，3所以 AD4(cm)ACcosDAC3