2022年届高三理科数学一轮总复习十几何证明选讲.docx

《2022年届高三理科数学一轮总复习十几何证明选讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年届高三理科数学一轮总复习十几何证明选讲.docx（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品学习资源第十六章几何证明选讲高考导航欢迎下载精品学习资源1. 明白平行线截割定理 .考试要求重难点击命题展望本专题强欢迎下载精品学习资源2. 会证明并应用直角三角形射影定理.3. 会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行运算与证明.4. 会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何运算与证明.5. 明白平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系明白平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆特别情形是圆 .6. 明白下面的定理 .定理：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l与 l 相交于点 O，其夹角为 ， l 环绕 l

2、旋转得到以 O 为顶点， l 为母线的圆锥面，任取平面 ，如它与轴 l 的交角为 与 l 平行，记 0，就： ，平面 与圆锥的交线为椭圆； ，平面 与圆锥的交线为抛物线； ，平面 与圆锥的交线为双曲线 .7. 会利用丹迪林Dandelin 双球 如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于 平 面的上方，一个位于平面的下方，并且 与 平面 及圆锥面均相切，其切点分别为F ， E证明上述定理的情形：当 时，平面 与圆锥的交线为椭圆 .图中，上、下两球与圆锥面相切的 切 点分别为点 B 和点 C，线段 BC 与平面 相 交 于点 A8. 会证明以下结果：在 7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆

3、，并与圆锥的底面平行 .记这个圆所在的平面为.假如平面与平面 的交线为 m，在 6.中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面 的切点为 F，就点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的本 章 重点：相像三角形的判定与性质，与圆有关的如干定理及其运用，并将其运用到立体几何中 .本 章 难点：对平面截圆柱、圆锥所得 的 曲 线 为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何学问的综合运用，应较好地把握 .调利用演绎推理证明结论， 通过推理证明进一步进展同学的规律推理才能，进一步提高空间想象才能、几何直观才能和综合运用几何方法解决问题的才能.第 一 讲 与其次讲是传统 内容，高

4、考中 主要考查平行 线截割定理、 直角三角形射 影定理以及与 圆有关的性质 和判定，考查 规律推理才能 . 第三讲内容是 新增内容，在 新 课 程 高 考下 ， 要 求 很低，只作明白 .欢迎下载精品学习资源距离比是小于 1 的常数 e称点 F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数 e为离心率 .9. 明白定理 6.中的证明，明白当无限接近 时，平面 的极限结果.学问网络16.1 相像三角形的判定及有关性质欢迎下载精品学习资源典例精析题型一相像三角形的判定与性质欢迎下载精品学习资源【例 1】 如图，已知在 ABC 中， D 是 BC 边的中点，且 AD AC， DE BC， DE 与

5、AB 相交于点 E， EC 与 AD 相交于点 F.1求证： ABC FCD ； 2 如 S FCD 5， BC 10，求 DE 的长 .【解读】 1由于 DE BC，D 是 BC 的中点，所以 EBEC，所以 B 1.又由于 ADAC ，所以 2 ACB.所以 ABC FCD . 2过点 A 作 AM BC，垂足为点 M.由于 ABC FCD ， BC 2CD ，所以 错误 . 错误 .24，又由于 SFCD 5，所以 S ABC 20.由于 S ABC错误 . BC AM， BC 10，所以 20错误 . 10AM ，所以 AM 4.又由于 DE AM，所以 错误 . 错误 .，由于 DM

6、 错误 .DC 错误 .， BM BD DM ， BD 错误 .BC5，所以 错误 .错误 .，所以 DE 错误 .【变式训练 1】 如右图，在 ABC 中， AB 14 cm， 错误 .错误 .，DE BC， CD欢迎下载精品学习资源 AB， CD 12 cm.求 ADE 的面积和周长 .【解读】 由 AB 14 cm， CD 12 cm， CD AB，得 S ABC 84 cm2.再由 DE BC 可得 ABC ADE .由错误 . 错误 .2 可求得S ADE 错误 . cm2. 利用勾股定理求出BC，AC ，再由相像三角形性质可得ADE 的周长为 15 cm.题型二探求几何结论【例 2

7、】如图，在梯形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB， CD 上， EF AD，假设 EF做上下平行移动 . 1如错误 . 错误 .，求证： 3EF BC 2AD；2如错误 . 错误 .，试判定 EF 与 BC， AD 之间的关系，并说明理由；3 请你探究一般结论，即如错误 .错误 .，那么你可以得到什么结论？【解读】 过点 A 作 AH CD 分别交 EF， BC 于点 G、H . 1 由于 错误 . 错误 .，所以 错误 .错误 . ，又 EG BH ，所以 错误 . 错误 . 错误 . ，即 3EG BH ，又 EG GF EG AD EF，从而 EF 错误 .BC HC AD ， 所

8、以 EF 错误 .BC 错误 .AD，即 3EF BC 2AD .2 EF 与 BC， AD 的关系式为 5EF 2BC 3AD，理由和 1类似 .3 由于 错误 . 错误 .，所以 错误 .错误 . ， 又 EGBH ，所以 错误 . 错误 .，即 EG 错误 .BH . EF EGGF EG AD 错误 .BC AD AD ，所以 EF 错误 .BC错误 .AD ，即mnEF mBCnAD .【点拨】在相像三角形中，平行帮助线是常作的帮助线之一；探求几何结论可按特别到一般的思路去猎取，但结论证明应从特别情形得到启发.【变式训练 2】如右图，正方形ABCD 的边长为 1， P 是 CD 边上

9、中点，点 Q 在线段 BC 上，设BQ k，是否存在这样的实数k，使得以 Q， C， P 为顶点的三角形与ADP 相像？如存在，求出 k 的值；如不存在，请说明理由.【解读】 设存在满意条件的实数k， 就在正方形 ABCD 中， D C 90，由 Rt ADP Rt QCP 或 Rt ADP Rt PCQ 得错误 . 错误 .或错误 .错误 . ，由此解得 CQ 1 或 CQ 错误 .从而 k 0 或 k 错误 .题型三解决线的位置或数量关系【例 3】2021 江苏 如图，在四边形ABCD 中， ABC BAD ，求证： ABCD .【证明】 由 ABC BAD 得 ACB BDA ，所以 A

10、、B、C、D 四点共圆，所以 CAB CDB .欢迎下载精品学习资源再由 ABC BAD 得 CAB DBA ， 所以 DBA CDB ，即 AB CD .【变式训练3】如图， AA1 与 BB 1 相交于点 O，AB A1B1 且 AB 错误 .A1B1， AOB的外接圆的直径为1，就 A1OB1 的外接圆的直径为 .【解读】 由于 AB A1B1 且 AB 错误 .A1B1，所以 AOB A1 OB1由于两三角形外接圆的直径之比等于相像比.所以 A1OB1 的外接圆直径为 2.总结提高1. 相像三角形的判定与性质这一内容是平面几何学问的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化

11、、从一般到特别、分类争论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相像三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL 法.相像三角形的性质主要有对应线的比值相等边长、高线、中线、周长、内切圆半径等，对应角相等，面积的比等于相像比的平方.2. “平行出相像”“平行成比例”，故此章中平行帮助线是常作的帮助线之一，遇到困难时应常考虑此类帮助线 .16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质欢迎下载精品学习资源典例精析题型一切线的判定和性质的运用欢迎下载精品学习资源【例 1】如图， AB 是 O 的直径， AC 是弦， BAC 的平分线AD 交 O 于点D， DE AC，交 AC

12、 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F.1求证： DE 是 O 的切线；2 如错误 .错误 .，求 错误 .的值 .1 证明：连接 OD ，可得 ODA OAD DAC ，【解读】 AE，又 AEDE ，所以 DE OD ，所 以 OD半径，所以 DE 是 O 的切线 .又 OD 为作 DH AB 于 H ，就有 DOH CAB，2 过 DcosDOH cos CAB 错误 . 错误 .，错误 . 设 OD5x，就 AB 10x， OH 2x，所以 AH 7x. 由 AED AHD 可得 AE AH 7x，又由 AEF DOF 可得 AF DF AE OD 错误 . ，所以错误 . 错误

13、 . .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【变式训练1】已知在直角三角形ABC 中， ACB 90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，连接 DO 并延长交 AC 的延长线于点 E， O 的切线DF 交 AC 于点 F. 1 求证： AF CF；2如 ED 4， sin E 错误 .，求 CE 的长 .【解读】 1 方法一：设线段FD 延长线上一点G ，就 GDB ADF ，且 GDB BDO 错误 . ，所以 ADF BDO 错误 .，又由于在 O 中 OD OB， BDO OBD，所以 ADF OBD 错误 . .在 Rt ABC 中， A CBA 错误 .，所以 A ADF

14、 ，所以 AF 又在 Rt ABC 中，直角边 BC 为 O 的直径，所以AC 为 O 的切线，又 FD 为 O 的切线，所以 FD CF .所以 AFCF .方法二：在直角三角形ABC 中，直角边 BC 为 O 的直径，所以AC 为 O 的切线，又 FD 为 O 的切线，所以FD CF，且 FDC FCD .又由 BC 为 O 的直径可知， ADF FDC 错误 .， A FCD 错误 . ，所以 ADF A，所以 FD AF .所以 AFCF .FD .欢迎下载精品学习资源2由于在直角三角形FED 中， ED4， sin E错误 .，所以 cos E 错误 .，所以 FE5.又 FD 3F

15、C ，所以 CE 2.题型二圆中有关定理的综合应用【例 2】如下列图，已知O1 与 O2 相交于 A、B 两点，过点 A 作 O1 的切线交 O2 于点 C，过点B 作两圆的割线，分别交O1、 O2 于点 D、E， DE 与 AC 相交于点 P.1 求证： AD EC； 2 如 AD 是 O2 的切线，且 PA 6， PC 2， BD 9，求 AD 的长 .【解读】 1连接 AB，由于 AC 是 O1 的切线，所以 BAC D ， 又由于 BAC E，所以 D E，所以 ADEC .2方法一：由于PA 是 O1 的切线， PD 是 O1 的割线，欢迎下载精品学习资源所以 PA2 PB PD，所

16、以 62PB PB 9，所以 PB 3.在 O2 中，由相交弦定理得PAPC BP PE ，所以 PE 4.由于 AD 是 O2 的切线， DE 是 O2 的割线， 所以 AD 2 DB DE 916，所以 AD 12.方法二：设 BP x， PE y.由于 PA 6， PC2，所以由相交弦定理得PA PC BP PE，即 xy 12. 由于 AD EC ，所以 错误 . 错误 .，所以 错误 . 错误 .由可得或舍去 ，所以 DE 9 x y 16.由于 AD 是 O2 的切线， DE 是 O2 的割线，所以AD2 DB DE 916，所以 AD 12.【变式训练 2】如图， O 的直径 A

17、B 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点P， E 为 O 上一点，DE 交 AB 于点 F，且 AB2BP 4.1求 PF 的长度；2如圆 F 与圆 O 内切，直线 PT 与圆 F 切于点 T，求线段 PT 的长度 .【解读】 1 连接 OC，OD ， OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得AOC . CDE CDE P PFD ， AOC P OCP，又PFD OCP，故 PFD PCO，所以 错误 .错误 . .从 而 由割线定理知 PC PD PA PB 12，故 PF 错误 .3.2如圆 F 与圆 O 内切，设圆 F 的半径为 r ，由于 OF 2 r 1，即

18、 r 1， 所以 OB 是圆 F 的直径，且过点 P 的圆 F 的切线为 PT， 就 PT2 PBPO 24 8，即 PT2错误 .题型三四点共圆问题【例 3】如图，圆 O 与圆 P 相交于 A、B 两点，圆心 P 在圆 O 上，圆 O 的弦BC 切圆 P 于点 B， CP 及其延长线交圆P 于 D， E 两点，过点E 作 EF CE，交CB 的延长线于点 F.1 求证： B、 P、E、F 四点共圆；2如 CD 2， CB 2错误 .，求出由 B、P、 E、F 四点所确定的圆的直径.【解读】 1证明：连接 PB.由于 BC 切圆 P 于点 B，所以 PBBC .又由于 EF CE，所以 PBF

19、 PEF 180，所以 EPB EFB 180，所以 B， P，E， F 四点共圆 . 2由于 B， P， E，F 四点共圆，且 EF CE， PB BC，所以此圆的直径就是PF .由于 BC 切圆 P 于点 B，且 CD 2， CB 2错误 . ，欢迎下载精品学习资源所以由切割线定理CB2 CD CE，得 CE 4， DE 2， BP 1.又由于 Rt CBP Rt CEF ，所以 EF PB CE CB，得 EF 错误 .在 Rt FEP 中， PF错误 .错误 . ， 即由 B， P，E， F 四点确定的圆的直径为错误 .【变式训练3】如图， ABC 是直角三角形， ABC 90.以 A

20、B 为直径的圆 O 交 AC 于点 E，点 D 是 BC 边的中点 .连接 OD 交圆 O 于点 M .求证：1O， B，D ， E 四点共圆；22 DE2 DM ACDM AB .明】 1连接 BE，就 BE EC.【 证是 BC 的中点，所以 DE BD .又DOE OB，OD OD，所以 ODE ODB，又 OBD OED 90，所以 D ， E， O， B 四点共圆 .所 以2延长 DO 交圆 O 于点 H .由于DE2 DM DH DM DO OH DM DO DM OH DM 错误 .AC DM 错误 .AB，所以 2DE2 DM ACDM AB .总结提高1. 直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.本章在中学平面几何的基础上加以深化，使平面几何学问趋于完善，同时为解读几何、立体几何供应了多个理论依据 .2. 圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段供应了理论基础，为解决综合问题供应了便利，使同学对几何概念和几何方法有较透彻的懂得.欢迎下载