2015年安徽省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 21 页）2015 年安徽省高考数学试卷（文科）年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）2015 年普通高等学校招生年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数（1i） （1+2i）=（ ）A3+3iB1+3iC3+i D1+i2 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，则A（UB）=（ ）A1，2，5，6B1 C2 D1，2，3，43 （5 分）设 p：x3，q：1x3，则 p

2、 是 q 成立的（ ）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx5 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A1B2C5D16 （5 分）下列双曲线中，渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax2=1 By2=1 Cx2=1 Dy2=17 （5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n 为（ ）第 2 页（共 21 页）A3B4C5D68 （5 分）直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相切，则 b

3、=（ ）A2 或 12 B2 或12 C2 或12 D2 或 129 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A1+B1+2C2+D210 （5 分）函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）第 3 页（共 21 页）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0二、填空题二、填空题11 （3 分）lg+2lg2（）1= 12 （3 分）在ABC 中，AB=，A=75，B=45，则 AC= 13 （3 分）已知数列an中，a1=1，an=an1+（n2） ，则数列an的前 9 项和

4、等于 14 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y=2a 与函数 y=|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为 15 （3 分）ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量满足=2 ，=2 + ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量； ；（4 + ）三、解答题三、解答题16已知函数 f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（）求 f（x）最小正周期；（）求 f（x）在区间0，上的最大值和最小值17某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示） ，

5、其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中 a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40，50的概率第 4 页（共 21 页）18已知数列an是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设 Sn为数列an的前 n 项和，bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn19如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上

6、存在点 M，使得 ACBM，并求的值20设椭圆 E 的方程为=1（ab0） ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（a，0） ，点 B 的坐标为（0，b） ，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（0，b） ，N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB21已知函数 f（x）=（a0，r0）第 5 页（共 21 页）（1）求 f（x）的定义域，并讨论 f（x）的单调性；（2）若=400，求 f（x）在（0，+）内的极值第 6 页（共 21 页）2015 年安徽省高考数学试卷（文科）年安徽省高考数学试卷（文科）参考

7、答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）2015 年普通高等学校招生年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数（1i） （1+2i）=（ ）A3+3iB1+3iC3+i D1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可【解答】解：复数（1i） （1+2i）=1+2i+2i=3+i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查2 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，

8、则A（UB）=（ ）A1，2，5，6B1 C2 D1，2，3，4【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解：RB=1，5，6；A（RB）=1，21，5，6=1故选：B【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合3 （5 分）设 p：x3，q：1x3，则 p 是 q 成立的（ ）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可【解答】解：设 p：x3，q：1x3，则 p 成立，不一定有 q 成立，但是 q第 7 页（共 21 页）成立，必有 p 成立，所以 p 是 q 成立的必要不充分条件故选：C【点

9、评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查4 （5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答【解答】解：对于 A，y=lnx 定义域为（0，+） ，所以是非奇非偶的函数；对于 B，是偶函数，但是不存在零点；对于 C，sin（x）=sinx，是奇函数；对于 D，cos（x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断 f（x）与f（x）的关系5 （5

10、分）已知 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A1B2C5D1【分析】首先画出平面区域，z=2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由得到 A（1，1） ，所以 z 的最大值为21+1=1；故选：A第 8 页（共 21 页）【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键6 （5 分）下列双曲线中，渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax2=1 By2=1 Cx2=1 Dy2=1【分析】由双曲线方程=1（a0，b

11、0）的渐近线方程为 y=x，对选项一一判断即可得到答案【解答】解：由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由 A 可得渐近线方程为 y=2x，由 B 可得渐近线方程为 y=x，由 C 可得渐近线方程为 y=x，由 D 可得渐近线方程为 y=x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题第 9 页（共 21 页）7 （5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n 为（ ）A3B4C5D6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，n 的值，当 a=时不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出

12、 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a1.414|0.005，a=，n=2满足条件|a1.414|0.005，a=，n=3满足条件|a1.414|0.005，a=，n=4不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出 n 的值为 4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 a，n的值是解题的关键，属于基础题8 （5 分）直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相切，则 b=（ ）A2 或 12 B2 或12 C2 或12 D2 或 12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径

13、，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得 b 值第 10 页（共 21 页）【解答】解：由圆 x2+y22x2y+1=0，化为标准方程为（x1）2+（y1）2=1，圆心坐标为（1，1） ，半径为 1，直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相切，圆心（1，1）到直线 3x+4yb=0 的距离等于圆的半径，即，解得：b=2 或 b=12故选：D【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题9 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A1+B1+2C2+D2【分析】判断得出三棱锥 OABC，OE底面ABC，EA=ED=1，OE=1，A

14、B=BC=，ABBC，可判断；OABOBC 的直角三角形，运用面积求解即可第 11 页（共 21 页）【解答】解：三棱锥 OABC，OE底面 ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=ABBC，可判断；OABOBC 的直角三角形，SOAC=SABC=1，SOAB=SOBC=2=该四面体的表面积：2，故选：C【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力10 （5 分）函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）第 12 页（共 21 页）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0

15、Da0，b0，c0，d0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可【解答】解：f（0）=d0，排除 D，当 x+时，y+，a0，排除 C，函数的导数 f（x）=3ax2+2bx+c，则 f（x）=0 有两个不同的正实根，则 x1+x2=0 且 x1x2=0， （a0） ，b0，c0，方法 2：f（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当 xx1时函数递增，当 x1xx2时函数递减，则 f（x）对应的图象开口向上，则 a0，且 x1+x2=0 且 x1x2=0， （a0） ，b0，c0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及 f（0）的符

16、号是解决本题的关键二、填空题二、填空题11 （3 分）lg+2lg2（）1= 1 【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可【解答】解：lg+2lg2（）1=lg5lg2+2lg22第 13 页（共 21 页）=lg5+lg22=12=1故答案为1【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础12 （3 分）在ABC 中，AB=，A=75，B=45，则 AC= 2 【分析】由三角形的内角和定理可得角 C，再由正弦定理，计算即可得到 AC【解答】解：A=75，B=45，则C=1807545=60，由正弦定理可得，=，即有 AC=2故答案为：2【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内

17、角和定理，考查运算能力，属于基础题13 （3 分）已知数列an中，a1=1，an=an1+（n2） ，则数列an的前 9 项和等于 27 【分析】通过 an=an1+（n2）可得公差，进而由求和公式即得结论【解答】解：an=an1+（n2） ，anan1=（n2） ，数列an的公差 d=，又 a1=1，第 14 页（共 21 页）an=1+（n1）=，S9=9a1+d=9+36=27，故答案为：27【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题14 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y=2a 与函数 y=|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为 【分析】由已

18、知直线 y=2a 与函数 y=|xa|1 的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定 a【解答】解：由已知直线 y=2a 是平行于 x 轴的直线，由于 y=xa 为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数 y=|xa|1 的图象是折线，所以直线 y=2a过折线顶点时满足题意，所以 2a=1，解得 a=；故答案为：【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数15 （3 分）ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量满足=2 ，=2 + ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量； ；（4 + ）【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论

19、分别分析选择【解答】解：ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量满足=2 ，=2 + ，第 15 页（共 21 页）则 =，AB=2，所以| |=1，即 是单位向量；正确；因为=2，所以，故| |=2；故错误；正确；夹角为 120，故错误；（4 + ）=4=412cos120+4=4+4=0；故正确故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系三、解答题三、解答题16已知函数 f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（）求 f（x）最小正周期；（）求 f（x）在区间0，上的最大值和最小值【分析】 （）化函数 f（x）为正弦型函数，即可求出 f（x）

20、的最小正周期；（）由 0x求出 2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出 f（x）的最值【解答】解：（）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，（4 分）所以 f（x）的最小正周期为 T=；（6 分）（）由 0x得，02x，所以2 x+；（8 分）根据正弦函数 y=sinx 的图象可知当时，f（x）有最大值为 2+，（11 分）第 16 页（共 21 页）当时，f（x）有最小值为 1（13 分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，

21、是基础题目17某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中 a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40，50的概率【分析】 （1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为 1，得到 a；（2）对该部门评分不低于 80 的即为 90 和 100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和

22、评分都在40，50的人数，随机抽取 2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为（0.022+0.018）10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.00610=3（人） ，记为 A1，A2，A3；受访职工评分在40，50）的有：500.00410=2（人） ，记为 B1，B2第 17 页（共 21 页）从这 5 名受访职工中随

23、机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，分别是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，又因为所抽取 2 人的评分都在40，50）的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率为 P=【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率18已知数列an是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设 Sn为数列an的前 n 项和，bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）根据等比数列的通项公式求

24、出首项和公比即可，求数列an的通项公式；（2）求出 bn=，利用裂项法即可求数列bn的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）数列an是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍） ，解得 q=2，即数列an的通项公式 an=2n1；（2）Sn=2n1，bn=，数列bn的前 n 项和 Tn=+=1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键第 18 页（共 21 页）19如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱

25、锥 PABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求的值【分析】 （1）利用 VPABC=SABCPA，求三棱锥 PABC 的体积；（2）过 B 作 BNAC，垂足为 N，过 N 作 MNPA，交 PC 于点 M，连接 BM，证明 AC平面 MBN，可得 ACBM，利用 MNPA，求的值【解答】 （1）解：由题设，AB=1，AC=2，BAC=60，可得 SABC=因为 PA平面 ABC，PA=1，所以 VPABC=SABCPA=；（2）解：过 B 作 BNAC，垂足为 N，过 N 作 MNPA，交 PC 于点 M，连接BM，由 PA平面 ABC，知 PAAC，所以

26、 MNAC，因为 BNMN=N，所以 AC平面 MBN因为 BM平面 MBN，所以 ACBM在直角BAN 中，AN=ABcosBAC=，从而 NC=ACAN=由 MNPA 得=第 19 页（共 21 页）【点评】本题考查三棱锥 PABC 的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20设椭圆 E 的方程为=1（ab0） ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（a，0） ，点 B 的坐标为（0，b） ，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（0，b） ，N 为线段 AC

27、的中点，证明：MNAB【分析】 （1）通过题意，利用=2，可得点 M 坐标，利用直线 OM 的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点 N 坐标，利用=0 即得结论【解答】 （1）解：设 M（x，y） ，A（a，0） 、B（0，b） ，点 M 在线段 AB 上且|BM|=2|MA|，=2，即（x0，yb）=2（ax，0y） ，解得 x=a，y=b，即 M（a，b） ，又直线 OM 的斜率为，=，a=b，c=2b，椭圆 E 的离心率 e=；（2）证明：点 C 的坐标为（0，b） ，N 为线段 AC 的中点，N（，） ，=（，） ，第 20 页（共 21 页）又=（a，b） ，=（a，b

28、）（，）=a2+=（5b2a2） ，由（1）可知 a2=5b2，故=0，即 MNAB【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题21已知函数 f（x）=（a0，r0）（1）求 f（x）的定义域，并讨论 f（x）的单调性；（2）若=400，求 f（x）在（0，+）内的极值【分析】 （1）通过令分母不为 0 即得 f（x）的定义域，通过求导即得 f（x）的单调区间；（2）通过（1）知 x=r 是 f（x）的极大值点，计算即可【解答】解：（1）函数 f（x）=（a0，r0） ，xr，即 f（x）的定义域为（，r）（r，+） 又f（x）=，f（x）=，当 xr 或 xr 时，f（x）0；当rxr 时，f（x）0；因此，f（x）的单调递减区间为：（，r） 、 （r，+） ，递增区间为：（r，r） ；（2）由（1）的解答可得 f（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+）上单调递减，x=r 是 f（x）的极大值点，f（x）在（0，+）内的极大值为 f（r）=100【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题第 21 页（共 21 页）