2013年安徽省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 24 页）2013 年安徽省高考数学试卷（文科）年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 50 分在每个小题给出的四分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 i 是虚数单位，若复数 a（aR）是纯虚数，则 a 的值为（ ）A3B1C1D32 （5 分）已知 A=x|x+10，B=2，1，0，1，则（RA）B=（ ）A2，1 B2 C2，0，1 D0，13 （5 分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）ABCD4 （5 分） “（

2、2x1）x=0”是“x=0”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5 （5 分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）ABCD6 （5 分）直线 x+2y5+=0 被圆 x2+y22x4y=0 截得的弦长为（ ）第 2 页（共 24 页）A1B2C4D47 （5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S8=4a3，a7=2，则 a9=（ ）A6B4C2D28 （5 分）函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x2，xn，使得=，则 n 的取值

3、范围为（ ）A2，3 B2，3，4C3，4 D3，4，59 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别 a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角 C=（ ）ABCD10 （5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2，若 f（x1）=x1x2，则关于 x 的方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的不同实根个数为（ ）A3B4C5D6二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分把答案填在答题卡的相分把答案填在答题卡的相应位置应位置11 （5 分）函数 y=ln（1+）+的定义域

4、为 12 （5 分）若非负数变量 x、y 满足约束条件，则 x+y 的最大值为 第 3 页（共 24 页）13 （5 分）若非零向量 ， 满足| |=3| |=| +2 |，则 与 夹角的余弦值为 14 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）=2f（x） 若当 0x1时f（x）=x（1x） ，则当1x0 时，f（x）= 15 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 当 0CQ时，S 为四边形当 CQ=时

5、，S 为等腰梯形当 CQ=时，S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R=当CQ1 时，S 为六边形当 CQ=1 时，S 的面积为三、解答题三、解答题16 （12 分）设函数 f（x）=sinx+sin（x+） （）求 f（x）的最小值，并求使 f（x）取得最小值的 x 的集合；（）不画图，说明函数 y=f（x）的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到17 （12 分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：第 4 页（共 24 页）（）若甲校高三年级每位学

6、生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格） ；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计的值18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60已知 PB=PD=2，PA=（）证明：BD面 PAC（）若 E 为 PA 的中点，求三菱锥 PBCE 的体积19 （13 分）设数列an满足 a1=2，a2+a4=8，且对任意 nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx 满足 f（）=0（）求数列an的通项公

7、式；（）若 bn=2（an+）求数列bn的前 n 项和 Sn20 （13 分）设函数 f（x）=ax（1+a2）x2，其中 a0，区间 I=x|f（x）0第 5 页（共 24 页）（）求 I 的长度（注：区间（a，）的长度定义为 ） ；（）给定常数 k（0，1） ，当 1ka1+k 时，求 I 长度的最小值21 （13 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 4，且过点 P（，） （）求椭圆 C 的方程；（）设 Q（x0，y0） （x0y00）为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E取点 A（0，2） ，连接 AE，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D点 G 是点

8、 D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由第 6 页（共 24 页）2013 年安徽省高考数学试卷（文科）年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 50 分在每个小题给出的四分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 i 是虚数单位，若复数 a（aR）是纯虚数，则 a 的值为（ ）A3B1C1D3【分析】利用复数的运算法则把 a（aR）可以化为（a3）i，

9、再利用纯虚数的定义即可得到 a【解答】解：=（a3）i 是纯虚数，a3=0，解得 a=3故选：D【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键2 （5 分）已知 A=x|x+10，B=2，1，0，1，则（RA）B=（ ）A2，1 B2 C2，0，1 D0，1【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合 A，再求其在实数集中的补集，最后求集合 B 与 A 的补集的交集即可【解答】解：A=x|x+10=x|x1，CUA=x|x1，（RA）B=x|x12，1，0，1=2，1故选：A【点评】本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题3 （5 分）如图所示，程序据图（算法流程图）的

10、输出结果为（ ）第 7 页（共 24 页）ABCD【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后 S 的值依次为：第 1 次 S=0+，第 2 次 S=+，第 3 次 S=+，此时 n=8不满足选择条件 n8，退出循环，故输出的结果是 S=+=故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题4 （5 分） “（2x1）x=0”是“x=0”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充

11、要条件的定义进行判断【解答】解：若（2x1）x=0 则 x=0 或 x=即（2x1）x=0 推不出 x=0第 8 页（共 24 页）反之，若 x=0，则（2x1）x=0，即 x=0 推出（2x1）x=0 所以“（2x1）x=0”是“x=0”的 必要不充分条件故选：B【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定一般的，若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题

12、，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件5 （5 分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）ABCD【分析】设“甲或乙被录用”为事件 A，则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用 P（A）=1P（ ）即可得出【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件 A，则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录取”，则=因此 P（A）=1P（ ）=1=故选：D【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键6 （5 分）直线 x+2y5+=0 被圆 x2+y22x4y=0 截得的弦长为（ ）A1B2C4D4【分析】化

13、圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求第 9 页（共 24 页）【解答】解：由 x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是 C（1，2） ，半径 r=圆心 C 到直线 x+2y5+=0 的距离为 d=所以直线直线 x+2y5+=0 被圆 x2+y22x4y=0 截得的弦长为故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题7 （5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S8=4a3，a7=2，则 a9=（ ）A6B4C2D2【分析】利用

14、等差数列有前 n 项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第 9 项【解答】解：Sn为等差数列an的前 n 项和，S8=4a3，a7=2，解得 a1=10，d=2，a9=a1+8d=1016=6故选：A【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用8 （5 分）函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x2，xn，使得=，则 n 的取值范围为（ 第 10 页（共 24 页）A2，3 B2，3，4C3，4 D3，4，5【分析】由表示（x，f（x） ）点与原点连线的斜率，结合函数 y=

15、f（x）的图象，数形结合分析可得答案【解答】解：令 y=f（x） ，y=kx，作直线 y=kx，可以得出 2，3，4 个交点，故 k=（x0）可分别有 2，3，4 个解故 n 的取值范围为 2，3，4故选：B【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别 a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角 C=（ ）ABCD第 11 页（共 24 页）【分析】3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得 a=，又 b+c=2a，可得c=，不妨取 b=3，则 a=5，c=7再利用余弦定理即可得

16、出【解答】解：3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，a=，又 b+c=2a，可得 c=2ab=，不妨取 b=3，则 a=5，c=7cosC=，C（0，） ，故选：D【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2，若 f（x1）=x1x2，则关于 x 的方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的不同实根个数为（ ）A3B4C5D6【分析】由函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2，可得 f（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不相等的

17、实数根，必有=4a212b0而方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的1=0，可知此方程有两解且 f（x）=x1或 x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程 f（x）=x1或 f（x）=x2解的个数【解答】解：函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2，f（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不相等的实数根，=4a212b0解得=x1x2，第 12 页（共 24 页），而方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的1=0，此方程有两解且 f（x）=x1或 x2不妨取 0x1x2，f（x1）0把 y=f（x）向下平移 x1个单位即可得到 y=f（x）x1的图象

18、，f（x1）=x1，可知方程 f（x）=x1有两解把 y=f（x）向下平移 x2个单位即可得到 y=f（x）x2的图象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程 f（x）=x2只有一解综上可知：方程 f（x）=x1或 f（x）=x2只有 3 个实数解即关于 x 的方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的只有 3 不同实根故选：A【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共

19、分，共 25 分把答案填在答题卡的相分把答案填在答题卡的相应位置应位置11 （5 分）函数 y=ln（1+）+的定义域为 （0，1 【分析】根据偶次根式下大于等于 0，对数的真数大于 0，建立不等式组解之即第 13 页（共 24 页）可求出所求【解答】解：由题意得：，即解得：x（0，1故答案为：（0，1【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题12 （5 分）若非负数变量 x、y 满足约束条件，则 x+y 的最大值为 4 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，其

20、中，可得 A（4，0）目标函数 z=x+y 可以变形为 y=x+z，可看做斜率为1 的动直线，其纵截距越大 z 越大，由图数形结合可得当动直线过点 A 时，z最大=4+0=4故答案为：4【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题第 14 页（共 24 页）13 （5 分）若非零向量 ， 满足| |=3| |=| +2 |，则 与 夹角的余弦值为 【分析】利用条件化简可得 4=4，由此可得| | |=| | |cos ，从而求得 与 夹角的余弦值【解答】解：由题意可得 =9，且 =+4+4，化简可得 4=4，| | |=| | |cos

21、 ， ，cos ， =，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题14 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）=2f（x） 若当 0x1时f（x）=x（1x） ，则当1x0 时，f（x）= x（x+1） 【分析】当1x0 时，0x+11，由已知表达式可求得 f（x+1） ，根据f（x+1）=2f（x）即可求得 f（x） 【解答】解：当1x0 时，0x+11，由题意 f（x）=f（x+1）=（x+1）1（x+1）=x（x+1） ，故答案为：x（x+1） 【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键1

22、5 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 第 15 页（共 24 页）当 0CQ时，S 为四边形当 CQ=时，S 为等腰梯形当 CQ=时，S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R=当CQ1 时，S 为六边形当 CQ=1 时，S 的面积为【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误【解答】解：如图当 CQ=时，即 Q 为 CC1中点，此时可得 PQAD1，AP=QD1=，故可得截面 APQD1为

23、等腰梯形，故正确；由上图当点 Q 向 C 移动时，满足 0CQ，只需在 DD1上取点 M 满足AMPQ，即可得截面为四边形 APQM，故正确；当 CQ=时，如图，第 16 页（共 24 页）延长 DD1至 N，使 D1N=，连接 AN 交 A1D1于 S，连接 NQ 交 C1D1于 R，连接SR，可证 ANPQ，由NRD1QRC1，可得 C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；由可知当CQ1 时，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS，显然为五边形，故错误；当 CQ=1 时，Q 与 C1重合，取 A1D1的中点 F，连接 AF，可证 PC1AF，

24、且PC1=AF，可知截面为 APC1F 为菱形，故其面积为AC1PF=，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题三、解答题三、解答题16 （12 分）设函数 f（x）=sinx+sin（x+） （）求 f（x）的最小值，并求使 f（x）取得最小值的 x 的集合；（）不画图，说明函数 y=f（x）的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到【分析】 （）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意 x 的集合；（）根据变换及平移规律即可得到结果第 17 页（共

25、24 页）【解答】解：（）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+） ，当 x+=2k（kZ） ，即 x=2k（xZ）时，f（x）取得最小值，此时 x 的取值集合为x|x=2k（kZ）；（）先由 y=sinx 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为 y=sinx 的图象；再由 y=sinx 的图象上的所有点向左平移个单位，得到 y=f（x）的图象【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数 y=Asin（x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键17 （12 分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，

26、用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：（）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格） ；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计的值【分析】 （I）先设甲校高三年级总人数为 n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05 得=0.05 求出 n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的第 18 页（共 24 页）不及格人数为 5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩

27、的及格率；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得 30（a1a2 ）=（75）+55+（28）+（50）+（56）+92=15，从而求出 a1a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为 n，则=0.05，n=600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5，估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 1=；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1，a2，由茎叶图可知，30（a1a2 ）=（75）+55+（28）+（50）+（56）+9

28、2=15，a1a2=0.5利用样本估计总体，故估计 x1x2 的值为 0.5【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60已知 PB=PD=2，PA=（）证明：BD面 PAC第 19 页（共 24 页）（）若 E 为 PA 的中点，求三菱锥 PBCE 的体积【分析】 （）连接 BD，AC 交于 O 点，分别证明出 POBD，BDAC，根据线面垂直的判定定理证明出 BD平面 PAC（）先证明出ABDPBD，求得 PO，根据勾股定理证明出 ACPO，求得PAC 的面积，最后根

29、据 VPBCE=VBPEC=VBPAC求得答案【解答】 （）证明：连接 BD，AC 交于 O 点，PB=PD，POBD，又 ABCD 是菱形，BDAC，PO平面 PAC，AC平面 PAC，ACPO=O，BD平面 PAC（）则 AC=2，ABD 和PBD 的三边长均为 2，ABDPBD，AO=PO=，AO2+PO2=PA2，ACPO，SPAC=ACPO=3，第 20 页（共 24 页）VPBCE=VBPEC=VBPAC=SPACBO=31=【点评】本题主要考查了线面垂直的判定问题，三棱锥的体积计算解题过程中注重了对学生基础定理的考查19 （13 分）设数列an满足 a1=2，a2+a4=8，且对

30、任意 nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx 满足 f（）=0（）求数列an的通项公式；（）若 bn=2（an+）求数列bn的前 n 项和 Sn【分析】 （I）利用导数的运算法则先求出 f（x） ，再利用，即可得到数列an是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出 an；（II）利用（I）得出 bn，利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式即可得出Sn【解答】解：（I）f（x）=anan+1+an+2an+1sinxan+2cosx，2an+1=an+an+2对任意 nN*，都成立数列an是等差数列，设公差为 d，a1=2，a2+a4=8

31、，2+d+2+3d=8，解得d=1an=a1+（n1）d=2+n1=n+1（II）由（I）可得，=2（n+1）+，Sn=22+3+（n+1）+第 21 页（共 24 页）=【点评】数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前 n 项和公式是解题的关键20 （13 分）设函数 f（x）=ax（1+a2）x2，其中 a0，区间 I=x|f（x）0（）求 I 的长度（注：区间（a，）的长度定义为 ） ；（）给定常数 k（0，1） ，当 1ka1+k 时，求 I 长度的最小值【分析】 （）解不等式 f（x）0 可得区间 I，由区间长度定义可得 I 的长度；（）由（）构造函数 d（

32、a）=，利用导数可判断 d（a）的单调性，由单调性可判断 d（a）的最小值必定在 a=1k 或 a=1+k 处取得，通过作商比较可得答案【解答】解：（）因为方程 ax（1+a2）x2=0（a0）有两个实根 x1=0，0，故 f（x）0 的解集为x|x1xx2，因此区间 I=（0，） ，区间长度为；（）设 d（a）=，则 d（a）=，令 d（a）=0，得 a=1，由于 0k1，故当 1ka1 时，d（a）0，d（a）单调递增；当 1a1+k 时，d（a）0，d（a）单调递减，因此当 1ka1+k 时，d（a）的最小值必定在 a=1k 或 a=1+k 处取得，第 22 页（共 24 页）而=1，故

33、 d（1k）d（1+k） ，因此当 a=1k 时，d（a）在区间1k，1+k上取得最小值，即 I 长度的最小值为【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力21 （13 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 4，且过点 P（，） （）求椭圆 C 的方程；（）设 Q（x0，y0） （x0y00）为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E取点 A（0，2） ，连接 AE，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG，问这样作出的直线 QG 是否与

34、椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由【分析】 （I）根据椭圆的焦距为 4，得到 c=2，再由点 P（）在椭圆 C 上得到，两式联解即可得到 a2=8 且 b2=4，从而得到椭圆 C的方程；（II）由题意得 E（x0，0） ，设 D 的坐标为（xD，0） ，可得向量、的坐标，根据 ADAE 得，从而算出 xD=，因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，得到 G（，0） 直线 QG 的斜率为 kQG=，结合点 Q 是椭圆 C 上的点化简得 kQG=，从而得到直线 QG 的方程为：y=（x） ，将此方程与椭圆 C 的方程联解可得=0，从而得到方程组有唯一解，即点 Q 是直线 QG与椭圆 C

35、的唯一公共点，由此即得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点第 23 页（共 24 页）【解答】解：（I）椭圆 C：+（ab0）的焦距为 4，c=2，可得=2又点 P（）在椭圆 C 上联解，可得 a2=8 且 b2=4，椭圆 C 的方程为； （II）由题意，得 E 点坐标为（x0，0） ，设 D（xD，0） ，可得=（x0，） ，=（xD，） ，ADAE，可得x0xD+（）（）=0，即 x0xD+8=0，得 xD=点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，点 G 的坐标为（，0）因此，直线 QG 的斜率为 kQG=又点 Q（x0，y0）在椭圆 C 上，可得kQG=由此可得直线 QG 的方程为：y=（x） ，代入椭圆 C 方程，化简得（）x216x0x+6416=0将代入上式，得 8x216x0x+8=0，化简得 x22x0x+=0，所以=，从而可得 x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点 Q 是直线 QG 与椭圆 C 的唯一公共点综上所述，可得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点第 24 页（共 24 页）【点评】本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点 P 的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线 QG 与椭圆公共点的个数问题着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题