2014年陕西省高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 25 页）2014 年陕西省高考数学试卷（理科）年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共 10 小题，小题，每小题每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1 （5 分）设集合 M=x|x0，xR，N=x|x21，xR，则 MN=（ ）A0，1 B0，1）C （0，1 D （0，1）2 （5 分）函数 f（x）=cos（2x）的最小正周期是（ ）ABC2D43 （5 分）定积分（2x+ex）dx 的值为（ ）Ae+2 Be+1 CeDe14 （5 分）根据如图所示的

2、框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公式是（ ）Aan=2nBan=2（n1） Can=2nDan=2n15 （5 分）已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面第 2 页（共 25 页）上，则该球的体积为（ ）AB4C2D6 （5 分）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）ABCD7 （5 分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y） ”的单调递增函数是（ ）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x8 （5 分）原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z

3、2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假9 （5 分）设样本数据 x1，x2，x10的均值和方差分别为 1 和 4，若yi=xi+a（a 为非零常数，i=1，2，10） ，则 y1，y2，y10的均值和方差分别为（ ）A1+a，4 B1+a，4+aC1，4D1，4+a10 （5 分）如图，某飞行器在 4 千米高空飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）Ay=xBy=x3xCy=x3xDy=x3+x二、填空题（考生注意：请在二、填

4、空题（考生注意：请在 15、16、17 三题中任选一题作答，如果多做，则三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共按所做的第一题评分，共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）第 3 页（共 25 页）11 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 12 （5 分）若圆 C 的半径为 1，其圆心与点（1，0）关于直线 y=x 对称，则圆C 的标准方程为 13 （5 分）设 0，向量 =（sin2，cos） ， =（cos，1） ，若 ，则 tan= 14 （5 分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥661

5、0立方体6812猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是 （不等式选做题）（不等式选做题）15 （5 分）设 a，b，m，nR，且 a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 （几何证明选做题）（几何证明选做题）16如图，ABC 中，BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，若AC=2AE，则 EF= （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）17在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共 6 小题，满分小题，满分第 4 页（共 25 页）75

6、 分）分）18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值19 （12 分）如图 1，四面体 ABCD 及其三视图（如图 2 所示） ，过棱 AB 的中点E 作平行于 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F，G，H（）证明：四边形 EFGH 是矩形；（）求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，点 P（x，y）

7、在ABC 三边围成的区域（含边界）上（）若+= ，求|；（）设=m+n（m，nR） ，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值21 （12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率第 5 页（共 25 页）22 （13 分）如图，曲线 C 由

8、上半椭圆 C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线 C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与 C2的公共点为 A，B，其中 C1的离心率为（）求 a，b 的值；（）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q（均异于点 A，B） ，若APAQ，求直线 l 的方程23 （14 分）设函数 f（x）=ln（1+x） ，g（x）=xf（x） ，x0，其中 f（x）是f（x）的导函数（）令 g1（x）=g（x） ，gn+1（x）=g（gn（x） ） ，nN+，求 gn（x）的表达式；（）若 f（x）ag（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）设 nN+，比较 g（1）+g（2）+g（n）

9、与 nf（n）的大小，并加以证明第 6 页（共 25 页）2014 年陕西省高考数学试卷（理科）年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共 10 小题，小题，每小题每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1 （5 分）设集合 M=x|x0，xR，N=x|x21，xR，则 MN=（ ）A0，1 B0，1）C （0，1 D （0，1）【分析】先解出集合 N，再求两集合的交即可得出正确选项【解答】解：M=x|x0，xR，N=x|x21，xR=x|1x1

10、，xR，MN=0，1） 故选：B【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键2 （5 分）函数 f（x）=cos（2x）的最小正周期是（ ）ABC2D4【分析】由题意得 =2，再代入复合三角函数的周期公式求解【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数 f（x）=cos（2x）的最小正周期是 ，故选：B【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题3 （5 分）定积分（2x+ex）dx 的值为（ ）Ae+2 Be+1 CeDe1【分析】根据微积分基本定理计算即可第 7 页（共 25 页）【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）（

11、0+e0）=e故选：C【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数4 （5 分）根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公式是（ ）Aan=2nBan=2（n1） Can=2nDan=2n1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，数列为公比为 2 的等比数列，an=2n故选：C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键第 8 页（共 25 页）5 （5 分）已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积

12、为（ ）AB4C2D【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径 R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积【解答】解：正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为=2又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径 R=1根据球的体积公式，得此球的体积为 V=R3=故选：D【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题6 （5 分）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长

13、的概率为（ ）ABCD【分析】设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2个点，共有 10 条线段，4 条长度为 1，4 条长度为，两条长度为，即可得出结论【解答】解：设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段，4 条长度为 1，4 条长度为，两条长度为，所求概率为=故选：C【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键7 （5 分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y） ”的单调递增函数是（ 第 9 页（共 25 页）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x【分析】对选项一一加以判断

14、，先判断是否满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，然后考虑函数的单调性，即可得到答案【解答】解：Af（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，故 A 错；Bf（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，故 B 错；Cf（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，但 f（x）在 R 上是单调减函数，故 C 错Df（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，且f（x）在 R 上是单调增函数，故 D 正确；故选：D【点评】

15、本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题8 （5 分）原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则 z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|1|，而 1 与1

16、 不是互为共轭复数，原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，第 10 页（共 25 页）命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题故选：B【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键9 （5 分）设样本数据 x1，x2，x10的均值和方差分别为 1 和 4，若yi=xi+a（a 为非零常数，i=1，2，10） ，则 y1，y2，y10的均值和方差分别为（ ）A1+a，4 B1+a，4+aC1，4D1，4+a【分析】方法 1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论方法 2：根据

17、均值和方差的公式计算即可得到结论【解答】解：方法 1：yi=xi+a，E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差 D（yi）=D（xi）+E（a）=4方法 2：由题意知 yi=xi+a，则 =（x1+x2+x10+10a）=（x1+x2+x10）= +a=1+a，方差 s2=（x1+a（ +a）2+（x2+a（ +a）2+（x10+a（ +a）2=（x1 ）2+（x2 ）2+（x10 ）2=s2=4故选：A【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量 y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算10 （5 分）如图，某飞行

18、器在 4 千米高空飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）第 11 页（共 25 页）Ay=xBy=x3xCy=x3xDy=x3+x【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在 x=5 处的导数为 0 成立与否，即可得出函数的解析式【解答】解：由题意可得出，此三次函数在 x=5 处的导数为 0，依次特征寻找正确选项：A 选项，导数为，令其为 0，解得 x=5，故 A 正确；B 选项，导数为，令其为 0，x=5 不成立，故 B 错误；C 选项，导数为，令其为 0，x=5 不成立，故 C 错误；D 选项，导数为，令其为 0

19、，x=5 不成立，故 D 错误故选：A【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用二、填空题（考生注意：请在二、填空题（考生注意：请在 15、16、17 三题中任选一题作答，如果多做，则三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共按所做的第一题评分，共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）11 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 【分析】化指数式为对数式求得 a，代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值【解答】解：由 4a=2，得，再由 lgx=a=，得 x=故答案为：【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对

20、数的运算性质，是基础第 12 页（共 25 页）题12 （5 分）若圆 C 的半径为 1，其圆心与点（1，0）关于直线 y=x 对称，则圆C 的标准方程为 x2+（y1）2=1 【分析】利用点（a，b）关于直线 y=xk 的对称点为 （b，a） ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线 y=x 对称，可得圆心为（0，1） ，再根据半径等于 1，可得所求的圆的方程为 x2+（y1）2=1，故答案为：x2+（y1）2=1【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线 y=xk 的对称点为 （b，a） ，属于基础题13 （5 分）设 0，向量 =（si

21、n2，cos） ， =（cos，1） ，若 ，则 tan= 【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解： ，向量 =（sin2，cos） ， =（cos，1） ，sin2cos2=0，2sincos=cos2，0，cos02tan=1，tan=故答案为：【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题第 13 页（共 25 页）14 （5 分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是 F+VE=2 【分析】通过正方体、三棱柱、三

22、棱锥的面数 F、顶点数 V 和棱数 E，得到规律：F+VE=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案【解答】解：凸多面体的面数为 F、顶点数为 V 和棱数为 E，正方体：F=6，V=8，E=12，得 F+VE=8+612=2；三棱柱：F=5，V=6，E=9，得 F+VE=5+69=2；三棱锥：F=4，V=4，E=6，得 F+VE=4+46=2根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系：F+VE=2再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立因此归纳出一般结论：F+VE=2故答案为：F+VE=2【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶

23、点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题（不等式选做题）（不等式选做题）15 （5 分）设 a，b，m，nR，且 a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 【分析】根据柯西不等式（a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2当且仅当 ad=bc 取等第 14 页（共 25 页）号，问题即可解决【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2（m2+n2） （a2+b2）a2+b2=5，ma+nb=5，（m2+n2）5的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题（几何证明选做题）（几何

24、证明选做题）16如图，ABC 中，BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，若AC=2AE，则 EF= 3 【分析】证明AEFACB，可得，即可得出结论【解答】解：由题意，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，AEF=C，EAF=CAB，AEFACB，BC=6，AC=2AE，EF=3故答案为：3【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础第 15 页（共 25 页）题（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）17在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出【

25、解答】解：点 P（2，）化为=，y=2=1，P直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0点 P 到直线的距离 d=1故答案为：1【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共 6 小题，满分小题，满分75 分）分）18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值【分析

26、】 （）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（）由 a，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出 cosB的最小值【解答】解：（）a，b，c 成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，第 16 页（共 25 页）sinB=sin（A+C）=sin（A+C） ，sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C） ；（）a，b，c 成等比数列，b2=ac，cosB=，当且仅当 a=c 时等号成立，cosB

27、的最小值为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键19 （12 分）如图 1，四面体 ABCD 及其三视图（如图 2 所示） ，过棱 AB 的中点E 作平行于 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F，G，H（）证明：四边形 EFGH 是矩形；（）求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值【分析】 （）由三视图得到四面体 ABCD 的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形 EFGH 的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到 ADBC，结合异面直线所成角的概念得到 EFEH

28、，从而证得结论；（）分别以 DB，DC，DA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面 EFGH 的一个法向量 ，用与 所成角的余弦值的绝对值得直线 AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值【解答】 （）证明：由三视图可知，四面体 ABCD 的底面 BDC 是以BDC 为直角的等腰直角三角形，且侧棱 AD底面 BDC第 17 页（共 25 页）如图，AD平面 EFGH，平面 ADB平面 EFGH=EF，AD平面 ABD，ADEFAD平面 EFGH，平面 ADC平面 EFGH=GH，AD平面 ADC，ADGH由平行公理可得 EFGHBC平面 EFGH，平面 DBC

29、平面 EFGH=FG，BC平面 BDC，BCFGBC平面 EFGH，平面 ABC平面 EFGH=EH，BC平面 ABC，BCEH由平行公理可得 FGEH四边形 EFGH 为平行四边形又 AD平面 BDC，BC平面 BDC，ADBC，则 EFEH四边形 EFGH 是矩形；（）解：解法一：取 AD 的中点 M，连结，显然 MEBD，MHCD，MFAB，且ME=MH=1，平面 MEH平面 EFGH，取 EH 的中点 N，连结 MN，则 MNEH，MN平面 EFGH，则MFN 就是 MF（即 AB）与平面 EFGH 所成的角 ，MEH 是等腰直角三角形，MN=，又 MF=AB=，sinAFN=，即直线

30、 AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值是解法二：分别以 DB，DC，DA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，由三视图可知 DB=DC=2，DA=1又 E 为 AB 中点，F，G 分别为 DB，DC 中点第 18 页（共 25 页）A（0，0，1） ，B（2，0，0） ，F（1，0，0） ，E（1，0，） ，G（0，1，0） 则设平面 EFGH 的一个法向量为由，得，取 y=1，得 x=1则 sin=|cos|=【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题20 （12 分

31、）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，点 P（x，y）在ABC 三边围成的区域（含边界）上（）若+= ，求|；（）设=m+n（m，nR） ，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值【分析】 （）先根据+= ，以及各点的坐标，求出点 p 的坐标，再根第 19 页（共 25 页）据向量模的公式，问题得以解决；（）利用向量的坐标运算，先求出，再根据=m+n，表示出mn=yx，最后结合图形，求出 mn 的最小值【解答】解：（）A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，+= ，（1x，1y）+（2x，3y）+（3x，2y）=03x6=0，3y6=0

32、x=2，y=2，即=（2，2）（）A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，=m+n，（x，y）=（m+2n，2m+n）x=m+2n，y=2m+nmn=yx，令 yx=t，由图知，当直线 y=x+t 过点 B（2，3）时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21 （12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的第 20 页（共 25 页）市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.

33、6（）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率【分析】 （）分别求出对应的概率，即可求 X 的分布列；（）分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率和 3 季中利润不少于2000 元的概率，利用概率相加即可得到结论【解答】解：（）设 A 表示事件“作物产量为 300kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，则 P（A）=0.5，P（B）=0.4，利润=产量市场价格成本，X 的所有值为：500101000=4000，50061000=2000

34、，300101000=2000，30061000=800，则 P（X=4000）=P（ ）P（ ）=（10.5）（10.4）=0.3，P（X=2000）=P（ ）P（B）+P（A）P（ ）=（10.5）0.4+0.5（10.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.50.4=0.2，则 X 的分布列为：X4000 2000 800 P 0.3 0.50.2 第 21 页（共 25 页）（）设 Ci表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”（i=1，2，3） ，则 C1，C2，C3相互独立，由（）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=

35、1，2，3） ，3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=30.820.2=0.384，综上：这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为：0.512+0.384=0.896【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力22 （13 分）如图，曲线 C 由上半椭圆 C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线 C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与 C2的公共点为 A，B，其中 C1的

36、离心率为（）求 a，b 的值；（）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q（均异于点 A，B） ，若APAQ，求直线 l 的方程【分析】 （）在 C1、C2的方程中，令 y=0，即得 b=1，设 C1：的半焦距为 c，由=及 a2c2=b2=1 得 a=2；第 22 页（共 25 页）（）由（）知上半椭圆 C1的方程为+x2=1（y0） ，设其方程为y=k（x1） （k0） ，代入 C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0 （*）设点P（xp，yp） ，依题意，可求得点 P 的坐标为（，） ；同理可得点 Q 的坐标为（k1，k22k） ，利用=0，可求得 k 的值，

37、从而可得答案【解答】解：（）在 C1、C2的方程中，令 y=0，可得 b=1，且 A（1，0） ，B（1，0）是上半椭圆 C1的左右顶点设 C1：的半焦距为 c，由=及 a2c2=b2=1 得 a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆 C1的方程为+x2=1（y0） 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y=k（x1） （k0） ，代入 C1的方程，整理得：（k2+4）x22k2x+k24=0 （*）设点 P（xp，yp） ，直线 l 过点 B，x=1 是方程（*）的一个根，由求根公式，得 xp=，从而 yp=，点 P 的坐标为（，） 同理，由得点 Q 的坐标为（k1，k22k

38、） ，=（k，4） ，=k（1，k+2） ，第 23 页（共 25 页）APAQ，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得 k=经检验，k=符合题意，故直线 l 的方程为 y=（x1） ，即 8x+3y8=0【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题23 （14 分）设函数 f（x）=ln（1+x） ，g（x）=xf（x） ，x0，其中 f（x）是f（x）的导函数（）令 g1（x）=g（x） ，gn+1（x）=g（gn（x） ） ，nN+，求 g

39、n（x）的表达式；（）若 f（x）ag（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）设 nN+，比较 g（1）+g（2）+g（n）与 nf（n）的大小，并加以证明【分析】 （）由已知，可得用数学归纳法加以证明；（）由已知得到 ln（1+x）恒成立构造函数 （x）=ln（1+x）（x0） ，利用导数求出函数的最小值即可；（）在（）中取 a=1，可得，令则，n 依次取 1，2，3，然后各式相加即得到不等式【解答】解：由题设得，（）由已知，第 24 页（共 25 页），可得下面用数学归纳法证明当 n=1 时，结论成立假设 n=k 时结论成立，即，那么 n=k+1 时，=即结论成立由可知，结论对 nN+成

40、立（）已知 f（x）ag（x）恒成立，即 ln（1+x）恒成立设 （x）=ln（1+x）（x0） ，则 （x）=，当 a1 时，（x）0（仅当 x=0，a=1 时取等号成立） ，（x）在0，+）上单调递增，又 （0）=0，（x）0 在0，+）上恒成立当 a1 时，ln（1+x）恒成立， （仅当 x=0 时等号成立）当 a1 时，对 x（0，a1有 （x）0，（x）在（0，a1上单调递减，（a1）（0）=0即当 a1 时存在 x0 使 （x）0，故知 ln（1+x）不恒成立，综上可知，实数 a 的取值范围是（，1第 25 页（共 25 页）（）由题设知，g（1）+g（2）+g（n）=，nf（n）=nln（n+1） ，比较结果为 g（1）+g（2）+g（n）nln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（）中取 a=1，可得，令则故有，ln3ln2，上述各式相加可得结论得证【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题