合情推理---归纳推理 教学设计.docx

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1、合情推理-归纳推理教学目标知识与技能：理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法.过程与方法：掌握归纳法与类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性.情感态度与价值观：通过本节的学习，开拓数学思维，认识数学的科学价值. 教学重难点重点：归纳推理和类比推理.难点：归纳推理.教学过程在日常生活中，我们经常会自觉不自觉地根据一个或几个已知事实（或假设） 得出一个判断.例如，当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时, 会得出即将下雨的判断.这种思维方式就是推理.引入1 .哥德巴赫猜想：观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7,16= 13+3

2、, 18=11+7, 20=13+7,，50=13+37,1003+97,猜测：任一偶数（除去2,它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年哥德巴赫写信给欧拉提出此猜想，但无人能解，成为数学史上举世闻 名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多 两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2” .2 .费马猜想:观察品=2?0+1 = 3, =22 +1=5,玛=2+1 = 17,玛=2+1 = 257, 入=2+1 = 65 537,发现其结果都是素数,猜想：对所有的自然数，任何形如%=22.+1的数都是素数.1640年法国业余数学家之王一费马提出，后

3、来瑞士数学家欧拉，发现工=2 +1 = 4 294 967 297=641x6 700 417不是素 数，推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科 研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注 的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计 算机上，用1200个小时，作了 100亿逻辑判断，完成证明.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做 前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论.

4、例如，推理allb.bll c allc中的是前提，“ac”是结论.推理也可以看作是用连接词将 前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为，所以”；如果， 那么”；”根据，可知”：等等.推理一般可以分为合情推理与演绎推 理.合情推理前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理.数学中常见的合情推理有归 纳推理和类比推理.概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简 言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳练习：（力由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（力）由直角三角形、等腰三角形

5、、等边三角形内角和180度，能归纳出什么 结论？观察等式：1 + 3 = 4 = 22, 1+3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7+9 = 16 = 4?,能得出怎样 的结论？ 讨论：（。统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属 归纳推理？（万）归纳推理有何作用？（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重 要手段）（力/）归纳推理的结果是否正确？（不一定）归纳推理在学习等差数列时，我们是这样推导首项为4,公差为的等差数列”的通 项公式的：=+ （）d,% = % + d = % + Id, ay = a2 + d = + 2d, a4 = a3 + d =

6、 a1 + 3d,等差数列%的通项公式是a” = % + （ - 1M .这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具 有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它 属于合情推理.下面，我们通过一个例子来得出归纳推理的一般步骤.6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11.这样下去总是对的吗？这个命题叫做哥德巴赫猜想，即：任何一个大于4的偶 数都是两个奇质数之和.归纳推理的一般步骤：1 .通过观察个别情况发现某些相同性质；2 .从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.

7、一般地，如果归纳的一般情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题 就越可能为真.例1. 用推理的形式表示等差数列1,3,5,，（2-1）,的前项和S的 归纳过程.解:5. =1 = 12;52 =1+3 = 4 = 22;S； =1+3 + 5 = 9 = 32；S4 =1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42;S5 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52;S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62;数列1,3,5,，的前项和S.=/.例2.设/（） = / + + 41,乂，计算/（l）J J（3）J ,J（10）的值，同时作出归纳推

8、理，并用 =40验证猜想是否正确.解：将各数值代入得/（1）=12+1 + 41 = 43,/（2）= 22 +2 + 41 = 47,/（3）= 32 +3 + 41 = 53,/（4）= 42 +4 + 41 = 61,/（5）= 52+5 + 41 = 71,/=6? +6 + 41 = 83,/=7?+7 + 41 =97,/ =8?+8 + 41 = 113, /（9）= 92 +9 + 41 = 131,/（10）=102 +10 + 41 = 151,43,47, 53,61,71,83,97, 113, 131, 151 都是质数.当取任何正整数时，/（） = M + + 41

9、的值都是质数.因为当 =40时，/（40）= 402 +40 + 41 =41x41,所以/（40）是合数.因此，上面由归纳推理得到的推理得到的猜想不正确.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般， 由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现却是十分有用的.观察、实验，对有 限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.小结：1 .根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有 这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它属 于合情推理.2 .归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）

10、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.3 .特点：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前 提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，”前提真结论假”的情况 是有可能发生的，（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实，有了个别性的、 特别性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察实验的 基础上进行，（4）归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做科学发现的重要手段.练习：1 .凸四边形有 条对角线，凸五边形有 条对角线，凸六边形有条对角线，比凸五边形多 条；凸n边形有多少条对角线？猜想：凸n边形的对角线条数比凸1边形多 条对角线.由此，凸n边形对角线条数为.2 .下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三角形中，着色三角 形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角 形的个数的通项公式.3.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.tv-n + (1)(2)(4)4.已知数列叫的第一项q=l,且。向 (n = 1,2.3.), 1+%试归纳出这个数列的通项公式.