完全平方公式(2).ppt

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1、标题,第一章 整 式,完全平方公式(2),8,标题,数学( 北师大.七年级 下册 ),完全平方公式共有 个：,这2个公式的区别是 ；,联系是 ,2,a2 + 2ab+ b2;,(a+b)2=,(ab)2=,a2 2ab+ b2;,左边括号内与右边第二项的符号不同,左右两边的结构分别相同、,第二项的符号与左边括号内的符号相同。,两个公式中的字母都表示什么?,(数或代数式),+,+,根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?,完全平方公式在计算化简中有些什么用?,这节课我们就来研究这个问题。,有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子

2、，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，,(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？,a2,(2) 第二天有 b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？,b2,(3) 第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？,(a+b)2,(4) 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？,第三天多;,多多少？,为什么？,多 2ab.,(a+b)2=a2 + 2ab + b2,(a+b)2 ( a2 + b2 )=,公式 的 综合 运用,例1 计算：(1) (a+b+3) (

3、a+b3);,故不能用完全平方公式来计算 ,只能用平方差公式来计算 ., (a+b) +3 (a+b) 3 ,解:,(a+b+3) (a+b3),=,=( )2( )2,a+b,3,=a2 +2ab+b2,9.,公式 的 综合 运用,例1 计算：(2) (x+3)2x2; (3) (x+5)2(x2)(x3) .,(x+3)2x2 的计算你能用几种方法 ?,试一试.,法二: 平方差公式单项式乘多项式.,解: (2)法一 完全平方公式 合并同类项(见教材);,(x+3)2x2 =,(x+3+ x)(x+3x),=,(2x+3),3,=,6x+9;,运算顺序;,(x2)(x3)展开后的结果要添括号

4、.,p41,(1) 962 ； (2) (ab3)(ab+3)。,1、利用计算整式乘法公式：,练 习,1、用完全平方公式计算: 1012，982；,2、 x2(x3) 2 ;, (a+b+3)(ab+3),巩固, (ab+1)2-(ab-1)2;,拓 展 练 习,真棒！,真棒！,如果把完全平方公式中的字母“a”换成“a+b”，公式中的“b”换成“c”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子?,(a+b)2变成(a+b+c)2。,怎样计算(a+b+c)2呢?,逐步计算得到：,= (a+b)2+2(a+b) c+c2,= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2,把所得结果作为推广了的完全平方公式，试

5、用语言叙述这一公式：,三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两数乘积的2倍。,仿照上述结果，你能说出(ab+c)2所得的结果吗?,=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,(a+b+c)2= (a+b)+c2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,3. 运用乘法公式计算(-a+b-c)2,解法一：用二项完全平方公式计算 (-a+b-c)2= (-a+b)-c2 = (-a+b)2-2(-a+b) c+c2 = a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc,解法二：用三项完全平方公式计算 (-a+b-c)2= (-a)2

6、+b2+(-c)2+2(-a)b+2(-a)(-c)+2b(-c)= a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc,4.利用公式计算 (x+2y+3z)2 (x+y)2-(x-y)2;,5.运用乘法公式计算： (x+2y- )(x-2y+ ),( +5)2- ( -5)2,思考：1.运用乘法公式计算：1) (2a-b-c)22) (1-x)(1+x)(1+x2)+(1-x2)23) (x+2y+3z)2-(x-2y+3z)22.已知 .求: (1) (2),3、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值,(1)(a+b)2 (2)a2+b2 (3） a2-ab+b2,若条件换成a-b=5,ab=

7、-6,你能求出a2+b2的值吗?,已知:,你能由上述条件求出代数式 的值吗?,小结：1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b22.公式中的字母，既可表示一个数，也可表示 一个代数式.因此对于较复杂的代数式，常用 化繁为简（换元）的方法，转化成符合公式 形式的式子后应用公式计算； 3.在混合运算中，要注意运算顺序和符号；并 观察哪些式子可直接用公式计算？哪些式子 变形后可用公式计算？哪些式子只能用多项 式乘法法则计算？,初中代数中给出了以下乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，(ab)=a22ab+b2

8、，,第一层次正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例1 计算,(2)(-2x-y)(2x-y),第二层次逆用即将这些公式反过来进行逆向使用例2 计算 (1)19982-19983994+19972；,乘法公式应用的五个层次,第三层次活用根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式例3 化简(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)

9、(22+1)(24+1)(28+1)+1=216,例4 计算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)分析 仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件“拆”数：-1=2-3，5=2+3，使用公式巧解解 原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)=(2-3y)+(2x-3)(2-3y)-(2x-3)=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5,第四层次变用解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=(a+b)2-2ab等，则求解十分简单、明快,例5 已知a+b=9，ab=14，求2a2+2b2的值解 a+b=

10、9，ab=14， 2a2+2b2=2(a+b)2-2ab=2(92-214)=106，,第五层次综合运用将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合，可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(a+b)2-(a-b)2=4ab,例6、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值,(1)(a+b)2 (2)a2+b2 (3） a2-ab+b2,单选1. 已知 x+y=10, xy=24,则x2+y2的值是 A.52B.148C.58D.762. 若a-b=2 , a-c=1 则(2a-b-c)2+(c-a)2的值是 A.9B.10C.2D.13. 已知(a+

11、b)2=11, (a-b)2=7则2ab为 A.2B.-1C.1D.-2 A.9B.11C.23D.1,填空1. (x-1)2(x+1)2(x2+1)2=_2. 解方程 3(x-1)2-3x(x-5)=213. 解方程,5.利用公式进行计算：(1)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)；(2)(a+b)2+(a-b)2+(-2a-b)(2a+b)；,各项的绝对值相同,乘法公式,符号不完全相同,平方差公式,符号相同或相反,完全平方公式,乘法公式的选择,乘法公式的使用,例 计算：(2x+y-z+5)(2x-y+z+5),=(2x+5) +(y-z) (2x+5) -(y-z),=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2,多项式乘以多项式,xy=x+y,