2019七年级数学下册 培优新帮手 专题02 数的整除性试题 （新版）新人教版.doc

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1、10202 数的整除性数的整除性阅读与思考阅读与思考设，是整数，0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称abbqabqab整除，记作|，又称为的约数， 而称为的倍数解与整数的整除相关问题常用到bababaab以 下知识：1数的整除性常见特征：若整数的个位数是偶数，则 2|；aa若整数的个位数是 0 或 5，则 5|；aa若整数的各位数字之和是 3(或 9)的倍数，则 3|(或 9|)；aaa若整数的末二位数是 4(或 25)的倍数，则 4|(或 25|)；aaa若整数的末三位数是 8(或 125)的倍数，则 8|(或 125|)；aaa若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是 11

2、 的倍数，则 11|aa2整除的基本性质设，都是整数，有：abc若|，|，则|；abbcac若|，|，则|()；cacbcab若|，|，则，|；bacabca若|，|，且与互质，则|；bacabcbca若|，且与互质，则|特别地，若质数|，则必有|或|abcacabpbcpbpc例题与求解例题与求解【例例 1】1】在 1，2，3，2 000 这 2 000 个自然数中，有_个自然数能同时被 2 和 3 整除，而且不能被 5 整除(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：解题思想：自然数能同时被 2 和 3 整除，则能被 6 整除，从中剔除能被 5 整除的数，即为nn所求2【例例 2】2】已知，是正整数(

3、)，对于以下两个结论：abab在，这三个数中必有 2 的倍数；ababab在，这三个数中必有 3 的倍数其中 ( )abababA只有正确B只有正确C，都正确D，都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明【例例 3】3】已知整数能被 198 整除，求，的值13456abab(江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：198=2911，整数能被 9，11 整除，运用整除的相关特性建立，的13456abab等式，求出，的值ab【例例 4】4】已知，都是整数，当代数式 723的值能被 13 整除时，那么代数式abcabc5722的值是否一定能被 13 整除，为什么？ab

4、c(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：解题思想：先把 5722构造成均能被 13 整除的两个代数式的和，再进行判断abc3【例例 5】5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称M为的mm“魔术数”(例如：把 86 放在 415 左侧，得到 86 415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数，n1a2anam在，中都至少有一个为的“魔术数” 1a2anam(2013 年全国初中数学竞赛试题)解题思想：解题思想：不妨设( =1，2，3，； =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为7iia

5、ktint的“魔术数” 根据题中条件，利用(是的位数)被 7 除所得余数，分析 的取m10kiamAkmi值【例例 6】6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足ka1kaka1ka4|=1，我们把青蛙从开始，经1 次跳动的位置依次记作：，1kaka1annA1a2a3ana 写出一个，使其，且0；5A150aa1a2a3a4a5a 若=13，=2 012，求的值；1a2000a1000a 对于整数(2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：n nnA=0；=0求整数(2)被 4 除的余数，并说理理由1a1a2a3anan n(2013 年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：解题思想

6、：即从原点出发，经过 4 次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两150aa次向左为保证0只需将“向右”安排在前即可1a2a3a4a5a若=13，=2 012，从经过 1 999 步到不妨设向右跳了步，向左跳了步，1a2000a1a2000axy则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳1999132012xyxy 1999 0x y 设同时满足两个条件：=0；=0由于=0，故从原点出发，nA1a1a2a3ana1a经过(1)步到达，假定这(1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=，kkakkxkykakxky=1，则=0()()()kxkyk1a2a3ana22xy33xynnxy=2()()()

7、()=2()1x2xnx22xy33xynnxy2x3xnx由于=0，所以(1)=4()即1 2n n1a2a3anan n2x3xnx4|(1)n n5能力训练能力训练A A 级级1某班学生不到 50 人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，1 71 31 2则有_人不及格2从 1 到 10 000 这 1 万个自然数中，有_个数能被 5 或能被 7 整除(上海市竞赛试题)3一个五位数能被 11 与 9 整除，这个五位数是_398ab4在小于 1 997 的自然数中，是 3 的倍数而不是 5 的倍数的数的个数是()A532B665 C133 D7985能整除任意三个连续整数

8、之和的最大整数是()A1 B2 C3 D6(江苏省竞赛试题)6用数字 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的三位数中，是 9 的倍数的数有()A12 个B18 个 C20 个 D30 个(“希望杯”邀请赛试题)7五位数是 9 的倍数，其中是 4 的倍数，那么的最小值为多少？abcdeabcdabcde(黄冈市竞赛试题)681，2，3，4，5，6 每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，abcdefabcbcd，能依次被 4，5，3，11 整除，求这个六位数cdedef(上海市竞赛试题)9173是个四位数字，数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可被

9、9，11，6 整除 ”问：数学老师先后填入的这 3 个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B B 级级1若一个正整数被 2，3，9 这八个自然数除，所得的余数都 为 1，则的最小值为aa_，的一般表达式为_a(“希望杯”邀请赛试题)2已知，都是正整数，若 130，且能被 21 整除，则满足条件的数对mnmnmn(，)共有_个mn(天津市竞赛试题)3一个六位数能被 33 整除，这样的六位数中最大是_1989xy74有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999 1,4,7,10,1987,1990,1993,1996,1999 的

10、个数共有( )个A333B334C335D3365一个六位数能被 12 整除，这样的六位数共有()个1991abA4 B6C8D126若 1 059，1 417，2 312 分别被自然数除时，所得的余数都是，则的值为( nmnm)A15B1C164D1747有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下abc五个数：， ，并把这五个数加起来求出和N只要讲出的大小，acbbacbcacabcbaN魔术师就能说出原数是什么如果N=3 194，请你确定abcabc(美国数学邀请赛试题)8一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最

11、小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数” ，试求所有的三位“拷贝数” (武汉市竞赛试题)89一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的 6 倍，求这个三位数(“五羊杯”竞赛试题)10一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为 1 999，求这个四位数，并说明理由(重庆市竞赛试题)11从 1，2，9 中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，n它们的和能被 10 整除，求的最小值n(2013 年全国初中数学竞赛试题)910专题专题 0202 数的整除性数的整除性例例 1 1 267 提示：33366267例例

12、2 2 C 提示：关于的证明：对于a，b若至少有一个是 3 的倍数，则ab是 3 的倍数若a，b都不是 3 的倍数，则有：(1)当a3m1，b3n1 时，ab3(mn)；(2)当a3m1，b3n2 时，ab3(mn1)；(3)当a3m2，b3n1 时，ab3(mn1)；(4)当a3m2，b3n2 时，ab3(mn).例例 3 3 a8b0 提示：由 9(19ab)得ab8 或 17；由 11|(3ab)得ab8 或3例例 4 4 设x，y，z，t是整数，并且假设 5a7b22cx(7a2b3c) 13(yazbtc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x3，可以得到y2，z1，t1， 221

13、3371325137txzxyx则有 13 (2abc)3(7a2b3c)5a7b22c既然 3(7a2b3c)和 13(2abc)都能被13 整除，则 5a7b22c就能被 13 整除例例 5 5 考虑到“魔术数”均为 7 的倍数，又a1，a2，an互不相等，不妨设a1 a2an，余数必为 1，2，3，4，5，6，0，设aikit(i1，2，3，n；t0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数” ，因为ai10km(k是m的位数)，是 7 的倍数，当ib时，而ait除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 中的 6 个；当i7 时，而ai10k除以 7 的余数都是0，1，

14、2，3，4，5，6 这 7 个数字循环出现， 当i7 时，依抽屉原理，ai10k与m二者余数的和至少有一个是 7，此时ai10km被 7 整除，即n7例例 6 6 (1)A5：0，1，2，1，0.(或 A5：0，1，0，1，0) (2)a1000139991 012 (3)n被4 除余数为 0 或 1A A 级级1 11 2 23 143 3 339 798 4 4A 5 5C 6 6B7 7五位数10e.又为 4 的倍数故最值为 1 000，又因为为 9 的倍abcdeabcdabcdabcde数故 1000e能被 9 整除，所以e只能取 8因此最小值为 10 008.abcde8 8324

15、 561 提示：dfe是 11 的倍数，但 6df5611，1e6，故 0dfe10，因此dfe0，即 5fe，又ed，f1，故fl，e6，119 919 提示：173的和能被 9 整除，故里只能填 7，同理，得到后两个数为 8，4B B 级级1 12 521 a2 520n1(nN) 2 2573 3719 895 提示：这个数能被 33 整除，故也能被 3 整除于是，各位数字之和(x1989y)也能被 3 整除，故xy能被 3 整除4 4B 5 5B6 6A 提示：两两差能被n整除，n179，m1647 7由题意得3 194，两边加上得 222(abc)3194 acbbacbcacabc

16、baabcabc222(abc) 2221486则86 是 222 的倍数abcabc且abc14设86222n考虑到是三位数，依次取n1，2，3，4.分别得出的可abcabcabc能值为 136，358，580，802，又因为abc14故358abc8 8设N为所求的三位“拷贝数” ，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为故N (100a10bc) abccbaabccba(100c10ba)99(ac)可知N为 99 的倍数这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990而这 9 个数中，只有

17、 954 459495.故 495是唯一的三位“拷贝数” 9 9设原六位数为，则 6，即 6(1000)1000，所abcdefabcdefdefabcabcdefdefabc以 9945 999，即 142857， (142，857)1， defabcdefabc142|，857|，而，为三位数，142，857，故142857abcdefabcdefabcdefabcdef1010设这个数为，则 1 0 00a100b10cdabcd1 999，即 1 abcd001a101b11c2d1 999，得a1，进而 101b11c2d998，101b998117881，有b9，则 11c2d89

18、，而 02d18，7111c89，推得c7，d6，故这个四位数是 1 9761111当n4 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被 10 整除当n5 时，设a1a2，a5是1，2，9 中的 5 个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被 10 整除，则12中不可能同时出现 1 和 9，2 和 8，3 和 7，4 和 6，于是中必定有一个为125,a aa125,a aa5，若中含 1，则不含 9，于是，不含，故含 6；不含,故125,a aa4(45110) 3 (36110) 含 7；不含,故含 8；但是 5+7+8=20 是 10 的倍数, 矛盾. 若中含 9, 2(21710) 125,a aa则不含 1, 于是不含故含 4; 不含故含 3; 不含6(69520),7(74920),故含 2; 但是是 10 的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为 58(89320),53210