高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第七节数学归纳法教师用书理.doc

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1、- 1 -第七节第七节 数学归纳法数学归纳法2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。全国卷，无2015 江苏，23,10 分(数学归纳法)2014，安徽，21,13 分(数学归纳法)2014，陕西，21,14 分(数学归纳法)数学归纳法在近年的全国卷高考中还未出现过，只是在个别的自主命题的省份有所考查。由此可见数学归纳法不是高考的热点内容，我们做一般地认识就可以了，不必搞得过深过难。微知识 小题练自|主|排|查数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：证明当n取第一个值n0(n

2、0N N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。假设nk(kn0，kN N*)时命题成立，证明当nk1 时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。(2)框图表示：微点提醒 1数学归纳法证题时，不要误把第一个值n0认为是 1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03。2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：- 2 -(1)必须利用归纳假设作基础。(2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法。(3)解题时要搞清从nk到nk1 增加了哪些项或减少了哪些项。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 22P96B 组 T1改编)在应用数学归纳法证

3、明凸n边形的对角线为n(n3)条时，1 2第一步检验n等于( )A1 B2C3 D4【解析】 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3。【答案】 C2(选修 22P94例 1 改编)用数学归纳法证明 123n2，则当n4n2 2nk1 时，左端应在nk的基础上加上( )Ak21B(k1)2C.k14k12 2D(k21)(k22)(k1)2【解析】 当nk时，左端123k2。当nk1 时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1 时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2。故选 D。【答案】 D二、双基查验1用数学归纳法证明 1aa2an1(a1，nN N

4、*)，在验证n1 时，1an2 1a等式左边的项是( )A1 B1aC1aa2 D1aa2a3【答案】 C2用数学归纳法证明不等式 1 (nN N*)成立，其初始值至少应取1 21 41 2n1127 64( )A7 B8C9 D10- 3 -【解析】 左边1 2，代入验证可知n的最小值1 21 41 2n111 2n1121 2n1是 8。故选 B。【答案】 B3已知f(n) ，则( )1 n1 n11 n21 n2Af(n)中共有n项，当n2 时，f(2) 1 21 3Bf(n)中共有n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31 4Cf(n)中共有n2n项，当n2 时，f(2) 1 21

5、 3Df(n)中共有n2n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31 4【答案】 D4设Sn1 ，则Sn1Sn_。1 21 31 41 2n【解析】 Sn11 ，1 21 31 41 2n1 2n11 2n2nSn1 ，1 21 31 41 2nSn1Sn。1 2n11 2n21 2n31 2n2n【答案】 1 2n11 2n21 2n31 2n2n5已知an满足an1anan1，nN N*，且a12，则2na2_，a3_，a4_，猜想an_。【答案】 3 4 5 n1- 4 -考点例析 微考点 大课堂对点微练考点一 用数学归纳法证明等式【典例 1】 求证：12223242(2n1)2(2n

6、)2n(2n1)(nN N*)。【证明】 当n1 时，左边12223，右边3，等式成立。假设nk(k1，kN N*)时，等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)。当nk1 时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1 时，等式也成立。由得，等式对任何nN N*都成立。反思归纳 数学归纳法证明等式的思路和注意点1思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少。2注意点：由nk时等式成立

7、，推出nk1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法。【变式训练】 设f(n)1 (nN N*)。求证：f(1)f(2)f(n1)1 21 31 nnf(n)1(n2，nN N*)。【证明】 (1)当n2 时，左边f(1)1，- 5 -右边21，(11 21)左边右边，等式成立。(2)假设nk(k2，kN N*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)kfk11 k1(

8、k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1 时结论仍然成立。由(1)(2)可知，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN N*)。考点二 用数学归纳法证明不等式【典例 2】 已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN N*时，2n12nanan1。【证明】 (1)当n1 时，因为a2是方程aa210 的正根，2 2所以a1a2。(2)假设当nk(kN N*)时，0akak1，则由aa(aak21)(aak11)2k12k2k22k1(ak2ak1)(ak2ak11)0，得ak1ak2，即当nk1 时，anan1也成立。根据(1)和(2)，可知anan1对任何

9、nN N*都成立。反思归纳 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法。2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明。【变式训练】 用数学归纳法证明：1 1 n (nN N*)。n 21 21 31 2n1 2【证明】 (1)当n1 时，左边1 ，右边 1，1 21 2 1 ，即命题成立。3 21 23 2(2)假设当nk (kN N*)时命题成立，即- 6 -1 1 k，k 21 21 31 2k1 2则当nk1 时，1 1 2k1。1 21 31 2k

10、1 2k11 2k21 2k2kk 21 2k2kk1 2又 1 2n1，n的第一个取值应是( )A1 B2 C3 D4解析 n1 时，212,2113,2n2n1 不成立；n2 时，224,2215,2n2n1 不成立；n3 时，238,2317,2n2n1 成立。n的第一个取值应是 3。故选 C。答案 C2用数学归纳法证明“1 1)不等1 21 31 41 2n1式成立，推证nk1 时不等式成立，左边应增加的项数为( )Ak Bk1 C2k D2k1解析 当nk时，不等式左侧是 1 ，分母各项依次增加 1，故当1 21 31 41 2k1nk1 时，不等式左侧变为 1 ，左边应1 21 3

11、1 41 2k11 2k1 2k11 2k11增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k，故选 C。答案 C3(2016承德月考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明 1 21 21 31 41 n时，若已假设nk(k2 且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假(1 n21 n41 2n)设再证( )Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立- 9 -解析 k为偶数，则k2 为下一个偶数，故选 B。答案 B4(2017潍坊模拟)某个命题与正整数有关，若当nk(kN N*)时该命题成立，那么可推得当nk1 时该命题也成立，现已知当n4 时该命题不成立，那么可推得( )A当n5 时，该命题不成立B当n5 时，该命题成立C当n3 时，该命题成立D当n3 时，该命题不成立解析 由数学归纳法的特点可以知道，当n4 时该命题不成立，可知当n3 时，该命题不成立。故选 D。答案 D5(2016济宁模拟)在数列an中，a1 ，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜1 3想an的表达式为( )Aan Ban1 n1n11 2n2n1Can Dan1 2n12n11 2n12n2解析 由a1 ，Snn(2n1)an，求得a2，a3，a41 31 151 3 51 351 5 71 63。猜想an。故选 C。1 7 91 2n12n1答案 C