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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-54-5 简单的三角恒等变换第简单的三角恒等变换第 2 2 课时简单的三角恒等变换课时简单的三角恒等变换教师用书理苏教教师用书理苏教题型一 三角函数式的化简与求值例 1 (1)化简： .(2)计算： .答案 (1)cos 2x (2)4解析 (1)原式1 24cos4x4cos2x12 sin(4x)cos(4x)cos2(4x)2cos2x124sin(4x)cos(4x)cos22x2sin(22x)cos 2x.(2)原式sin 12 3cos 122
2、sin 12cos 12cos 244.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan 70cos 10(tan 201) .2 / 12(2)若 ，且 3cos 2sin，则 sin 2 的值为 .答案 (1)1 (2)17 18解析 (1)原式cos 10()cos 10232sin 2012cos 20 cos 701.(2)cos 2sin( 22)sin2( 4)2sincos( 4)代入原式，得6sincoss
3、in，cos，sin 2cos( 22)2cos21.题型二 三角函数的求值命题点 1 给值求值问题例 2 (1)(2017盐城、南京联考)已知 ， 为锐角，cos ，sin()，则 cos .答案 1 2解析 为锐角，sin .，(0，)，0，3 / 12cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)(2015广东)已知 tan 2.求 tan()的值；求的值.解 tan()tan tan 41tan tan 43.sin 2 sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos21.命题点 2 给值求角问题例 3 (1)设 ，
4、为钝角，且 sin ，cos ，则 的值为 .(2)已知 ，(0，)，且 tan()，tan ，则2 的值为 .答案 (1) (2)3 4解析 (1)， 为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又 (，2)，(，2)，.4 / 12(2)tan tan()tantan 1tantan 0，00，00，所以 2，所以 cos 2且 ，又因为 sin()0，所以 ，所以 cos()，因此 sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2()()55，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2()()，又 ，2，
5、所以 .题型三 三角恒等变换的应用例 4 (2016天津)已知函数 f(x)4tan xsincos.6 / 12(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间上的单调性.解 (1)f(x)的定义域为x|xk，kZ.f(x)4tan xcos xcos34sin xcos34sin x32sin xcos x2sin2x3sin 2x(1cos 2x)3sin 2xcos 2x2sin.所以 f(x)的最小正周期 T.(2)令 z2x，则函数 y2sin z 的单调递增区间是，kZ. 22k，22k由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设 A，Bx|kxk，kZ，易知 AB
6、.所以当 x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如 yasin xbcos x 化为 ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数 f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间，上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有7 / 12f(x)cos x(sin xcos x)cos2x34sin xcos xcos2x34sin 2x(1cos 2x)34si
7、n 2xcos 2xsin(2x).所以 f(x)的最小正周期 T.(2)因为 f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f()，所以函数 f(x)在闭区间，上的最大值为，最小值为.9.9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14 分)(2015重庆)已知函数 f(x)sinsin xcos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在上的单调性.思想方法指导 (1)讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质，一律化成 ysin(x)型的函数.(2)研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性
8、，可将 x 视为一个整体，换元后结合 ysin x 的图象解决.规范解答解 (1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，5 分因此 f(x)的最小正周期为 ，最大值为.7 分8 / 12(2)当 x时，02x，8分从而当 02x，即x时，f(x)单调递增，10 分当2x，即x时，f(x)单调递减.12 分综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.14 分1.sin 15sin 75的值是 .答案 62解析 sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.2.(2016全国甲卷改编)若 cos，
9、则 sin 2 .答案 7 25解析 因为 sin 2cos2cos21，又因为 cos，所以 sin 221.3.已知 R，sin 2cos ，则 tan 2 .答案 3 4解析 (sin 2cos )2，展开得 3cos24sin cos ，再由二倍角公式得 cos 22sin 20，故 tan 2.4.函数 f(x)cos (sin cos )的最小正周期为 .答案 2解析 因为 f(x)cos (sin cos )9 / 12sin x(cos x1)sin(x)，所以 f(x)的最小正周期为 2.5.(2016江苏扬州中学四模)函数 ysin (sin cos ) (，0)的最大值为
10、 .答案 22解析 ysin (sin cos )sin2sin cos sin 2cos 2sin 2sin(2).，0，2，当 2时，函数取最大值 ymax.6.函数 f(x)sin(2x)cos(2x)的图象关于点对称，则 f(x)的单调递增区间为 .答案 ，kZ解析 f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意知 2k(kZ)，k(kZ).|，.f(x)2sin.由 2k2x2k(kZ)，得 kxk(kZ).7.若 f(x)2tan x，则 f 的值为 .答案 810 / 12解析 f(x)2tan x12sin2 x2 1 2sin x2tan x，f8.8.若锐角 、 满足
11、(1tan )(1tan )4，则 .答案 3解析 由(1tan )(1tan )4，可得，即 tan().又 (0，)，.9.化简： .答案 43解析 原式3sin 12cos 123 22cos2121sin 122 3sin482cos 24sin 12cos 124.10.设 (0，)，(，)，且 5sin 5cos 8，sin cos 2，则 cos()的值为 .2答案 210解析 由 5sin 5cos 8，得 sin()，(0，)，cos().由 sin cos 2，得 sin()，(，)，11 / 12，cos().cos()sin()sin()()sin()cos()cos(
12、)sin().11.已知函数 f(x)sin(x)cos x.(1)求函数 f(x)的最大值，并写出当 f(x)取得最大值时 x 的取值集合；(2)若 (0，)，f()，求 f(2)的值.解 (1)f(x)sin(x)cos xsin xcos xcos xsin xcos xsin(x).当 x2k(kZ)，即 x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.此时 x 的取值集合为x|x2k，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin(x)，又 f()，所以 sin()cos ，即 cos .因为 (0，)，所以 sin ，所以 sin 22sin cos 2，cos 22cos21.所以 f(2)sin
13、(2)sin 2cos 2.12.已知函数 f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求 f()的值；(2)若 sin ，且 (，)，求 f().12 / 12解 (1)f()cos2sincos 6()2.(2)因为 f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以 f()sin()sin()(sin cos ).又因为 sin ，且 (，)，所以 cos ，所以 f()().13.(2015安徽)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值.解 (1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数 f(x)的最小正周期为 T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当 x时，2x，由正弦函数 ysin x 在上的图象知，当 2x，即 x时，f(x)取最大值1；当 2x，即 x时，f(x)取最小值 0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为 0.
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