高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线习题理.doc

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1、1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第何第 4 4 节双曲线习题理节双曲线习题理【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义和标准方程2,3,13 双曲线的几何性质1,4,5,6,8,11,12,14 双曲线的综合7,9,10,15,16基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016河北模拟)已知双曲线-y2=1(a0)的焦点为(2,0),则此双曲线的渐近线方程是( C )(A)y=x (B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:依题意=2,所以 a=.所以双曲线的渐近线方程为 y=x.故选 C.2.(2016郑州

2、一测)设双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为 y=-2x,且一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点相同,则此双曲线的方程为( C )(A)x2-5y2=1 (B)5y2-x2=12 / 11(C)5x2-y2=1 (D)y2-5x2=1解析:因为抛物线的焦点为(1,0),所以解得双曲线方程为 5x2-=1.故选 C.3.过双曲线 x2-y2=8 的左焦点 F1 有一条直线 PQ 交左支于 P,Q 两点,若|PQ|=7,F2 是双曲线的右焦点,则PF2Q 的周长为( C )(A)28 (B)14-8 (C)14+8 (D)8解析:双曲线的方程可化为-=1,如图.由双曲线定义有两式相加|PF2|

3、+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=8,即|PF2|+|QF2|-|PQ|=8,又|PQ|=7,所以|PF2|+|QF2|=7+8,所以PF2Q 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+8.故选 C.4.(2016湖北优质高中高三联考)若 n 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+=1 的离心率是( D )(A) (B) (C)或 (D)或3 / 11解析:n2=16,所以 n=4 或 n=-4,当 n=4 时,x2+=1 的离心率 e=,当 n=-4 时,x2-=1 的离心率 e=.故选 D.5.(2016邯郸模拟)已知点 A,B 是双曲线-=1(a0,b0)的左、右顶

4、点,P 为双曲线上除顶点外的一点,记 kPA,kPB 分别表示直线 PA,PB的斜率,若 kPAkPB=,则该双曲线的离心率为( C )(A)3 (B)2 (C) (D)解析:由题意知 A(-a,0),B(a,0),设 P(m,n),所以 kPAkPB=,又点 P 在双曲线上,所以-=1,化简得 n2=,所以 kPAkPB=.所以 e=.故选 C.6.已知 F1,F2 是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于 A,B 两点,ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为( B )(A) (B) (C)2 (D)34 / 11解析:由ABF2 是正三

5、角形,可得AF2F1=30,在 RtAF1F2 中,F1F2=2c,所以 AF1=c,AF2=c.根据双曲线的定义可得 AF2-AF1=2a=c,所以 e=.故选 B.7.(2016新疆乌鲁木齐三诊)设双曲线-y2=1 的两焦点分别为 F1,F2,P为双曲线上的一点,若 PF1 与双曲线的一条渐近线平行,则等于( B )(A)- (B)- (C)- (D)-解析:由题意得 F1(-2,0),F2(2,0),渐近线方程为 y=x,由对称性,不妨设 PF1 与 y=x 平行,所以 PF1:y=(x+2),由得 P(-,),所以=(-,-),=(,-),所以=-.故选 B.5 / 118.(2016

6、广东揭阳二模)已知双曲线-=1(ab0)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 . 解析:因为 ab0,所以渐近线 y=x 的斜率小于 1,因为两条渐近线的夹角为,所以渐近线的倾斜角为,即=tan =,所以=,所以 e=.答案:9.(2016成都模拟)已知圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A,B 都在某双曲线上,且 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为 . 解析:在方程 x2+y2-4x-9=0 中,令 x=0 得 y=3.不妨设 A(0,-3),B(0,3).设所求双曲线标准方程为-=1(a0,b0),因为点 A 在双曲线上,所以=1,即 a2=

7、9.6 / 11因为 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分.所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).a2+b2=81,所以 b2=72.所以双曲线的标准方程为-=1.答案:-=110.设 F1,F2 是双曲线 C:-=1(a0,b0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2 的最小内角为 30,则 C 的离心率为 . 解析:不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a, 又因为|PF1|+|PF2|=6a,由得|PF1|=4a,|PF2|=2a,因为 ca,所以在PF1F2 中,PF1F2 为最小内角,因此PF1F2

8、=30,在PF1F2 中,由余弦定理可知,|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos 30,即 4a2=16a2+4c2-8ac.所以 c2-2ac+3a2=0,两边同除以 a2 得,e2-2e+3=0,解得 e=.答案:能力提升练(时间:15 分钟)7 / 1111.导学号 18702470 已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 恰好是双曲线-=1(a0,b0)的右焦点,且两曲线的交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( C )(A) (B) (C)1+ (D)1+解析:因为两曲线的交点的连线过点 F,所以两曲线的交点坐标为(,p),代入双曲线方程可得-

9、=1,因为=c,所以 c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,又 e1,解得 e=1+.故选 C.12.(2015浙江温州二模)已知双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是( C )(A)(,+)(B)(1,)(C)(2,+)(D)(1,2)解析:由双曲线方程-=1 知其渐近线方程为 y=x,即 bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相交,所以圆心到渐近线的距离d=3,而离心率 e=,所以 e2,故选 C.8 / 1113.过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点 F1,作圆 x2+y2=a2 的切线交

10、双曲线右支于点 P,切点为 T,PF1 的中点 M 在第一象限,则以下结论正确的是( A )(A)b-a=|MO|-|MT|(B)b-a|MO|-|MT|(C)b-a0,b0)的左右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 B,A 两点,若ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为 .解析:设ABF2 的边长为 m,则由双曲线的定义,可得|BF1|=m-2a,所以|AF1|=2m-2a,因为|AF1|-|AF2|=2a,所以 2m-2a-m=2a,所以 m=4a,在AF1F2 中,|AF1|=6a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,F1AF2=60,所以由余弦定理可得 4c

11、2=(6a)2+(4a)2-26a4a,9 / 11所以 c=a,所以 e=.答案:15.导学号 18702471 已知抛物线 y2=4x 与双曲线-=1(a0,b0)有相同的焦点 F,O 是坐标原点,点 A,B 是两曲线的交点,若(+)=0,则双曲线的实轴长为 . 解析:由题意知 F 点的坐标为(1,0),因为(+)=0,所以 AFx 轴.不妨设 A 点在第一象限,则 A 点坐标为(1,2),设双曲线的左焦点为 F,则|FF|=2,由勾股定理得|AF|=2,由双曲线的定义可知 2a=|AF|-|AF|=2-2.答案:2-216.导学号 18702472P 为双曲线 x2-=1 右支上一点,M

12、,N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和圆(x-4)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .解析:设双曲线的两个焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),则 F1,F2 为两圆的圆心,又两圆的半径分别为 r1=2,r2=1,则10 / 11|PM|PF1|+2,|PN|PF2|-1,故|PM|-|PN|(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.答案:5好题天天练1.设 P 为双曲线 C:x2-y2=1 上一点,F1,F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点,若 cos F1PF2=,则PF1F2 的外接圆半径为( C )(A) (B)9 (C

13、) (D)3解析:由题意知双曲线中 a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2,因为 cos F1PF2=,所以 sin F1PF2=.在PF1F2 中,=2R(R 为PF1F2 的外接圆半径),即=2R,解得 R=,即PF1F2 的外接圆半径为,故选 C.2.导学号 18702473 已知点 A 是抛物线 y2=4x 的对称轴与准线的交点,点 B 是其焦点,点 P 在该抛物线上,且满足|PA|=m|PB|,当 m 取得最大值时,点 P 恰在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( C )11 / 11(A)2-1 (B)3-2(C)+1 (D)2+2解析:设 P(x,y),由题可知 x0,A(-1,0),B(1,0),所以 m=.当 x=0 时,m=1;当 x0 时,m=(当且仅当 x=1 时等号成立).所以 P(1,2),所以|PA|=2,|PB|=2.又点 P 在以 A,B 为焦点的双曲线上,所以由双曲线的定义知 2a=|PA|-|PB|=2-2,即 a=-1,c=1,所以 e=+1,故选 C.