高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文.doc

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1、1 / 24【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文精选高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文 教材复习课“导数”相关基础知识一课过导数的基本运算过双基1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)1 xln af(x)ln xf(x)1 x2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g

2、(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1下列求导运算正确的是( )A.1 B(log2x)1 xln 2C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选B 1；(log2x)；(3x)3xln 3；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故选B.2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为( )A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)2 / 24解析：选C f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)3函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是( )A. B.16 3C. D.10 3解析：选D 因为

3、f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，所以a.4(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：3清易错1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中n0且nQ*，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.1已知函数f(x)sin xcos x，若f(x)f(x)，则tan x的值为( )A1 B3C1 D2解析：选B f(x)(sin xcos x)co

4、s xsin x，又f(x)f(x)，cos xsin xsin xcos x，tan x3.2若函数f(x)2xln x且f(a)0，则2aln 2a( )3 / 24A1 B1Cln 2 Dln 2解析：选A f(x)2xln 2，由f(a)2aln 20，得2aln 2，则a2aln 21，即2aln 2a1.导数的几何意义过双基函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)1.(2018郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲

5、线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)( )B0A1 D4C2 解析：选B 由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.2设函数f(x)xln x，则点(1,0)处的切线方程是_解析：因为f(x)ln x1，所以f(1)1，所以切线方程为xy10.答案：xy103已知曲线y2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为_解析：因为y4x，设切点为(m，n)，则4m2，所以m，则n22，则切点的坐标为.答案：(1 2，

6、1 2)4函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，则f(1)4 / 24f(1)_.解析：因为函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，所以f(1)3，且f(1)3121，所以f(1)f(1)134.答案：4清易错1求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于( )A1或 B1或21 4C或 D或7解析：选A 因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与y

7、x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切，可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1，所以选A.2.(2017兰州一模)已知直线y2x1与曲线yx3axb相切于点(1,3)，则实数b的值为_解析：因为函数yx3axb的导函数为y3x2a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3a，所以解得Error!答案：3利用导数研究函数的单调性5 / 24过双基1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f(x)的关系(1)若f(x)0，则f(x)在

8、这个区间上是增加的(2)若f(x)0或f(x)0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项符合题意3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围为( )B.A(，2 (，62D5，)C2，) 解析：选C 由题意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在6 / 24(1，)上恒成立a2240或2a2或a2a2，故选C.清易错若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则

9、f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：1 3，)利用导数研究函数的极值与最值过双基1函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数

10、值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值7 / 241如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )B2A1 D4C3 解析：选A 由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点2若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a的值为( )B3A2 D5C4 解析：选D f

11、(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22a(3)30，解得a5.3(2017济宁一模)函数f(x)x2ln x的最小值为( )B1A. D不存在C0 解析：选A f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0)，因为函数f(x)x2axln x有极值，令g(x)x2ax1，且g(0)10，所以解得a2.答案：(2，)5设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x10可得x1或x0且a1)，若f(1)1，则a( )Ae B.1 eC. D.1 2解析：选B 因为f(x)，所以f(1)1，所以ln a1，所以a.2直线ykx1与曲线yx2axb相切于点A(

12、1,3)，则2ab的值为( 9 / 24)A1 B1C2 D2解析：选C 由曲线yx2axb，得y2xa，由题意可得解得Error!所以2ab2.3函数y2x33x2的极值情况为( )A在x0处取得极大值0，但无极小值B在x1处取得极小值1，但无极大值C在x0处取得极大值0，在x1处取得极小值1D以上都不对解析：选C y6x26x，由y6x26x0，可得x1或x1，所以m1.5函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：选D 10 / 24依题意得f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，f(x)的单调递增

13、区间是(2，)故选D.6已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m( )A0 B1C2 D3解析：选B f(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2(xm)(3xm)由f(1)0可得m1或m3.当m3时，f(x)3(x1)(x3)，当13时，f(x)0，此时在x1处取得极大值，不合题意，m1，此时f(x)(x1)(3x1)，当1时，f(x)0，此时在x1处取得极小值选B.7已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A3 B2C1 D.1 2解析：选A 已知曲线y3ln x(x0)的一条切线的斜率为，由yx，得x3，故选A.8若函

14、数f(x)的值域为0，)，则实数a的取值范围是( )A2,3 B(2,3C(，2 D(，2)解析：选A 当x0时，0f(x)12x0时，f(x)x33xa，f(x)3x23，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x1时，函数f(x)取得最小值f(1)13aa2.由题意得0a21，解得2a3，选A.二、填空题11 / 249若函数f(x)xaln x不是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xaln x不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0时，g(x)0，当x0时，函数g(x)取得最小值g(0)1.

15、根据题意得2m1g(x)min1，m1.答案：1，)三、解答题12 / 2413已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR.(1)若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)1(x0)，由已知及导数的几何意义得f(2)3，则a8.由切点P(2，f(2)在直线y3x1上可得2b7，解得b9，所以函数f(x)的解析式为f(x)x9.(2)由(1)知f(x)1(x0)当a0时，显然f(x)0，这时f(x)在(，0)，(0，)上是增函数当a0时

16、，令f(x)0，解得x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)aa(，0)a(0，)aa(，)af(x)00f(x) 极大值极小值所以当a0时，f(x)在(，)，(，)上是增函数，在(，0)，(0，)上是减函数(3)由(2)知，对于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立等价于即对于任意的a成立，从而得b，所以实数b的取值范围是.14已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导，得f(x)(x0)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，13

17、 / 24知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度导数的几何意义5年8考求切线、已知切线求参数、求切点坐标导数的运算典例 (1)(2018惠州模拟)已知函数f(x)cos x，则f()f( )A B1 2C D1 (2)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数

18、，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 018(x)等于( )Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dcos xsin x(3)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)( )Ae B1C1 De14 / 24解析 (1)f(x)cos x(sin x)，f()f(1).(2)f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，f

19、n(x)是以4为周期的函数，f2 018(x)f2(x)cos xsin x，故选D.(3)由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案 (1)C (2)D (3)B方法技巧1可导函数的求导步骤(1)分析函数yf(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案2求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错 即时演练1(2018江西九校联考)已知y(x1)(x2)(x3)，则y( )A3x212x6 Bx212x11Cx212x

20、6 D3x212x11解析：选D 法一：y(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11.法二：y(x23x2)(x3)x36x211x6，15 / 24y3x212x11.2已知函数f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第 1 问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：1 求切线方程；2 确定切点坐标；3 已知切线求参数值或范围；4 切线的综合应用.角度一：求切线方程1已知函数f(x)ln(1x

21、)xx2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_解析：f(x)12x，f(1)，f(1)ln 2，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln 2(x1)，即3x2y2ln 230.答案：3x2y2ln 230角度二：确定切点坐标2(2018沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：yx3x1上，且在第三象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为_解析：y3x21，曲线C在点M处的切线的斜率为2，3x212，x1，又点M在第三象限，16 / 24x1，y(1)3(1)11，点M的坐标为(1，1)答案：(1，1)角度三：已知切线求参数值或范围3(201

22、7武汉一模)已知a为常数，若曲线yax23xln x上存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.答案：1 2，)4若两曲线yx21与yaln x1存在公切线，则正实数a的取值范围是_解析：设yaln x1的切点为(x0，y0)，求导y，则切线的斜率为，所以公切线方程为y(aln x01)(xx0)，联立方程yx21可得x2xaaln x00，由题意，可得24(aaln x0)0，则a4x(1ln x0)令f(x)4x2(1ln x)

23、(x0)，则f(x)4x(12ln x)，易知，函数f(x)4x2(1ln x)在(0，)上是增函数，在(，)上是减函数，所以函数f(x)4x2(1ln x)的最大值是f()2e，则正实数a的取值范围是(0,2e17 / 24答案：(0,2e角度四：切线的综合应用5(2016全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲线yf(x)在(1，f(1)处的

24、切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0，得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)0.综上，a的取值范围是(，2方法技巧利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.18

25、/ 24(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解 1(2014全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a( )A0 B1C2 D3解析：选D ya，由题意得yx02，即a12，所以a3.2(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_解析：因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y|x1211，所以切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy103(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：yln x2的切线方程为：y

26、xln x11(设切点横坐标为x1)，yln(x1)的切线方程为：yxln(x21)(设切点的横坐标为x2)，Error!解得x1，x2，bln x111ln 2.答案：1ln 24(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，19 / 247(a2)3a1，解得a1.答案：15(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：yxln x，y1，yx12.曲线yxln

27、x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.答案：8一、选择题1设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于( )A1 B.1 2C2 D2解析：选A y，yx1，由条件知1，a1.2(2018衡水调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为( )Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选A y1，y，yx12，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，20 / 24即y2x1.3(2018济南一模)已

28、知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )Ae BeC. D1 e解析：选C 法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率为kf(x0)kOP.ln x01，x0e，k.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出yln x及曲线yln x经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为( )A1 B3C4 D2解析：选D f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，直线l的

29、方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，又因为y0xmx0(m0)，解得m2，故选D.5(2018南昌二中模拟)设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处切21 / 24线倾斜角的取值范围为( )A. B.2 3，)C. D.( 2，56解析：选C 因为y3x2，故切线斜率k，所以切线倾斜角的取值范围是.6已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析：选A y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.二、填空题7已知f(x)为偶函数，当x0时，则x1，设切点为(t，ln t)，则切线l的方程为yxln t1，因为函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线l的斜率为2x0，则切线方程为y2x0xx，因为l也与函数yln x，x(0,1)的图象相切，则有则1ln 2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以该函数的零点就是x0，则排除A、B；