高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-6双曲线教师用书.doc-得力文库

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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-69-6 双曲线教师用书双曲线教师用书1双曲线定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21 (a0，b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xa，yR R

2、xR R，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)性质渐近线yxb ayxa b2 / 19离心率e ，e(1，)，其中cc aa2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )(3)双曲线

3、方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( )1(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. B53 / 19C. D2答案 A解析由题意得 b2a，又 a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x的准线交于 A，B 两点，|AB|4，则 C 的实轴长为( )A. B2 C4 D8答案 C解析

4、设 C：1.抛物线 y216x 的准线为 x4，联立1 和 x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C 的实轴长为 4.3(2015安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为y2x 的是( )Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案 C解析由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上，不合题意；C、D 项双曲线焦点均在 y 轴上，但 D 项渐近线为 yx，只有 C 符合，故选 C.4 / 194(2016浙江)设双曲线 x21 的左，右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_答案 (2，

5、8)解析由已知 a1，b，c2，则 e2，设 P(x，y)是双曲线上任一点，由对称性不妨设 P 在右支上，则 1|F1F2|2，即(2x1)2(2x1)242，解得 x，所以0，b0)x2 a2由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1 或1.(2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.6 / 19(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)解得Error!双曲线的标准方程为1.命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题例 3 已知 F1，F2 为双曲线

6、 C：x2y22 的左，右焦点，点 P 在 C上，|PF1|2|PF2|，则 cos F1PF2_.答案 3 4解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|.引申探究1本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260” ，则F1PF2 的面积是多少？解不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2 中，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2

7、|sin 602. 12F PFSA2本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0” ，则F1PF2 的7 / 19面积是多少？解不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，由于0，所以，所以在F1PF2 中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|2. 12F PFSA思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF

8、2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可(1)已知 F1，F2 为双曲线1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为( )A.4 B.4C.2 D.25(2)设 F1，F2 分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线8 / 19上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率

9、为( )A. B.5 3C. D3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.故选 C.(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得 r1r22a，又 r1r23b，故 r1，r2.又 r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故 e，故选 B.题型二双曲线的几何性质例 4 (1)(2016浙江)已知椭圆 C1：y21(m1)与双

10、曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则( )9 / 19Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21(2)(2015山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_答案 (1)A (2)3 2解析 (1)由题意可得 m21n21，即 m2n22，又m0，n0，故 mn.又ee11，e1e21.(2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 yx，直线 OB 的方程为 yx.由得 x

11、22p x，x，y，A.设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F，kAF.OAB 的垂心为 F，AFOB，kAFkOB1，1，.设 C1 的离心率为 e，则 e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k满足关系式 e21k2.(2016全国甲卷)已知 F1，F2 是双曲线 E：1 的左，10 / 19右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F1，则 E 的离心率为( )A. B. C. D2答案 A解析离心率 e，由正弦定理得 e.故选 A.题型三直线与双曲线的综合问题例 5 (2

12、016兰州模拟)已知椭圆 C1 的方程为y21，双曲线 C2的左，右焦点分别是 C1 的左，右顶点，而 C2 的左，右顶点分别是C1 的左，右焦点(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围解 (1)设双曲线 C2 的方程为1(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21.故 C2 的方程为y21.(2)将 ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得k2且 k22，得 x1x2y1y22，2，即0，解得0，b0)直线

13、l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，12 / 19直线 l 的方程为 xc 或 xc.将其代入1，求得 y2b2(1)，y，|AB|.依题意，得4a，2，即 e212，e.11直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线 x21，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？错解展示现场纠错解设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段 AB 的中点为(x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意设经过点 P 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 ykx1k.由Error!得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k

14、20)x0.由题意，得1，解得 k2.当 k2 时，方程可化为 2x24x30.162480，b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1答案 A解析依题意解得双曲线 C 的方程为1.2(2016全国乙卷)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案 A解析方程1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点 M，使得()0(其中O 为坐标原点)，且|，则双曲线的离心率为( )A.1

16、x1x22，SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22.6(2016安徽庐江第二中学月考)已知椭圆1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为 e1；双曲线1(a20，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为 e2，则 e1e2 等于( )A. B1 C. D2答案 B解析由 ba1c1，得 aca1c1，e1.由 ba2c2，得 caa2c2，e2.e1e21.7(2015课标全国)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：y21 上的一16 / 19点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若0，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与

17、双曲线交于 A、B 两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案 B解析由题意易知点 F 的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE 是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得 3e22ee4，e(e33e31)1，e(1,2)，故选 B.9(2016北京)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则 a_；b_.答案 1 2解析由 2xy0，得 y2x，所以2.又 c，a2b2c2，解得 a1，b2.10(2016杭州模拟)已知点 A，B 分别是双曲线

18、C：1(a0，b0)的左，右顶点，点 P 是双曲线 C 上异于 A，B 的另外一点，且ABP 是顶点为 120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为_答案 xy0解析如图所示，过点 P 作 PCx 轴，因为|AB|BP|2a，所以PBC60，BCa，yP|PC|a，点 P(2a，a)，将 P(2a，a)代入1，得 ab，所以其渐近线方程为 xy0.11已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_答案 5 318 / 19解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1

19、|a，|PF2|a.在PF1F2 中，由余弦定理，得 cosF1PF2e2.要求 e 的最大值，即求 cosF1PF2 的最小值，当 cosF1PF21 时，得 e，即 e 的最大值为.12(2015课标全国)已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P是 C 的左支上一点，A(0,6)当APF 的周长最小时，该三角形的面积为_答案 126解析设左焦点为 F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF 的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF 周长最小即为|AP|PF1|最小，当 A、P、F1 在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为1，与 x21 联立，解

20、得 P 点坐标为(2,2)，此时 SAPF12. 1AF FSA 1F PFSA13中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 37.(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cosF1PF2 的值19 / 19解 (1)由已知 c，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为 a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为 m，n，则Error!解得 a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设 F1，F2 分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|.

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