高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线试题理北师大.doc

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1、1 / 21【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-79-7 双曲线试题理北师大双曲线试题理北师大1双曲线定义平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点 F1，F2 叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距其中 a，c 为常数且 a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21(a0，b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xa，yR RxR R，ya或ya对称

2、性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)性质渐近线yxb ayxa b2 / 21离心率e ，e(1，)，其中cc aa2b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )(3)双曲线方程(m0，n0，0)的

3、渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( )1(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )3 / 21A. B5C. D2答案 A解析 由题意得 b2a，又 a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x的准线交于 A，B 两点，|AB|4，则 C 的实轴长为( )A. B2 C4 D8答案 C解析 设 C：1.抛物线 y

4、216x 的准线为 x4，联立1 和 x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C 的实轴长为 4.3(2015安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为y2x 的是( )Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案 C解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上，不合题意；C、D 项双曲线焦点均在 y 轴上，但 D 项渐近线为 yx，只有 C 符4 / 21合，故选 C.4(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1 的焦距是_答案 210解析 由已知，a27，b23，则 c27310，故焦距为 2c2.5双曲线y21 的顶点到其渐近线的距离等于

5、_答案 2 55解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是 yx，即 x2y0，则顶点到渐近线的距离 d.题型一 双曲线的定义及标准方程命题点 1 利用定义求轨迹方程例 1 已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_答案 x21(x1)解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|5 / 21|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC

6、1|2，所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x21(x1)命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为；(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2)和 Q(6，7)解 (1)设双曲线的标准方程为1 或1(a0，b0)x2 a2由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1 或1.(2)双曲线

7、经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)6 / 21解得Error!双曲线的标准方程为1.命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题例 3 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y22 的左，右焦点，点 P 在 C上，|PF1|2|PF2|，则 cos F1PF2_.答案 3 4解析 由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|.引申

8、探究1本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260” ，则F1PF2 的面积是多少？解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2 中，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|sin 602. 12AF PFS2本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0” ，则F1PF2 的面积是多少？7 / 21解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，由于0，所以，所以在F1PF2 中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1

9、|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|2. 12AF PFS思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出 的值即可(1)已知 F

10、1，F2 为双曲线1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为( )A.4 B.4C.2 D.25(2)设 F1，F2 分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲8 / 21线的离心率为( )A. B.5 3C. D.3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|

11、AF1|2a2.故选 C.(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得 r1r22a，又 r1r23b，故 r1，r2.又 r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故 e，故选 B.题型二 双曲线的几何性质例 4 (1)(2016浙江)已知椭圆 C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则( )Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21(2)(2015山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线9 / 21C1：1(a0，b0)的渐近线与抛

12、物线 C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_答案 (1)A (2)3 2解析 (1)由题意可得 m21n21，即 m2n22，又m0，n0，故 mn.又een21 n211，e1e21.(2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 yx，直线 OB 的方程为 yx.由得 x22p x，x，y，A.设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F，kAF.OAB 的垂心为 F，AFOB，kAFkOB1，1，.设 C1 的离心率为 e，则 e21.e. 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线

13、的渐近线的斜率 k满足关系式 e21k2.(2016全国甲卷)已知 F1，F2 是双曲线 E：1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F1，则 E 的离心率为( )10 / 21A. B. C. D2答案 A解析 离心率 e，由正弦定理得 e.故选 A.题型三 直线与双曲线的综合问题例 5 (2016兰州模拟)已知椭圆 C1 的方程为y21，双曲线 C2的左，右焦点分别是 C1 的左，右顶点，而 C2 的左，右顶点分别是C1 的左，右焦点(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2(其中 O 为原点

14、)，求 k 的取值范围解 (1)设双曲线 C2 的方程为1(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21.故 C2 的方程为y21.(2)将 ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得k2且 k22，得 x1x2y1y22，2，即0，解得0)的离心率等于，直线 ykx1与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|AB|6，点 C 是双曲线上一点，且m()，求 k，m 的值解 (1)由得Error!故双曲线 E 的方程为 x2y21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得(

15、1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于 A，B 两点，故Error!12 / 21即所以 10，b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1答案 A解析 依题意解得双曲线 C 的方程为1.2(2016全国乙卷)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1，)14 / 21C(0,3) D(0，)答案 A解析 方程1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点 M，使得()0(其中O 为坐标原点)，且|，则

16、双曲线的离心率为( )A.1 B.312C. D.1答案 D解析 ，()()()0，即 220，|c，在MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半，可得.|，可设|(0)，|，得()224c2，解得 c，|c，|c，根据双曲线定义得 2a|(1)c，15 / 21双曲线的离心率 e1.4(2016庐江第二中学月考)已知椭圆1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为 e1；双曲线1(a20，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为 e2，则 e1e2 等于( )A. B1 C. D2答案 B解析 由 ba1c1，得 aca1c1，e1.由 ba2c2

17、，得 caa2c2，e2.e1e21.5(2015课标全国)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若0，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案 B解析 由题意易知点 F 的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE 是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得 3e22ee4，e(e33e31)1，e(1,2)，故选 B.7(2017江西新余

18、一中调研)双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点F 恰好是圆 F：x2y24x30 的圆心，且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C. D23答案 C解析 x2y24x30 可化为(x2)2y21，故 F(2,0)，即 c2，点 F 到一条渐近线的距离为 b，即 b1，a，e.8(2016浙江)设双曲线 x21 的左，右焦点分别为 F1，F2，若17 / 21点 P 在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_答案 (2，8)解析 如图，由已知可得 a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设 P 在右支上

19、，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2 为锐角三角形，结合实际意义需满足Error!解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.9已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_答案 5 3解析 由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2 中，由余弦定理，得 cosF1PF2e2.要求 e 的最大值，即求 cosF1PF2 的最小值，当 cosF1PF21 时，得 e，即 e 的最大值为.18 / 2110(2015

20、课标全国)已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P是 C 的左支上一点，A(0,6)当APF 的周长最小时，该三角形的面积为_答案 126解析 设左焦点为 F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF 的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF 的周长最小即为|AP|PF1|最小，当 A、P、F1 在一条直线上时最小，过 AF1 的直线方程为1，与 x21 联立，解得 P 点坐标为(2,2)，此时 SAPF12. 11AAAF FF PFSS11中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴

21、之差为 4，离心率之比为 37.(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cosF1PF2 的值解 (1)由已知 c，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为 a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为 m，n，则 解得 a7，m3.b6，n2，椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设 F1，F2 分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，19 / 21|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|. 12(2016湖北部分重点中学第一次联考)在面积为 9 的

22、ABC 中，tanBAC，且2，现建立以 A 点为坐标原点，以BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求 AB，AC 所在直线的方程；(2)求以 AB，AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程；(3)过 D 分别作 AB，AC 所在直线的垂线 DF，DE(E，F 为垂足)，求的值解 (1)设CAx，则由 tanBACtan 2及 为锐角，得 tan 2，AC 所在直线方程为 y2x，AB 所在直线方程为 y2x.(2)设所求双曲线的方程为 4x2y2(0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20)由2，得 D(，)点 D 在双曲线上，4()2(

23、)2，x1x2.由 tanBAC，得 sinBAC.|AB|x2，|AC|x1，SABC|AB|AC|sinBAC20 / 215x1x24 52x1x29，代入，得 16，双曲线的方程为1.(3)由题意知， BAC，cos， cosBAC，设 D(x0，y0)，则1.又点 D 到 AB，AC 所在直线距离分别为|，|，|cos， .13.已知双曲线 C：1(a0，b0)的一个焦点是 F2(2,0)，且ba.(1)求双曲线 C 的方程；(2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1)，当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A，B 时，求实数 m 的取值范围，并证明AB 中

24、点 M 在曲线 3(x1)2y23 上；(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，问是否存在实数 m，使得AOB 为锐角？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解 (1)c2，c2a2b2，4a23a2，a21，b23，双曲线 C 的方程为 x21.(2)l：m(x2)y0，21 / 21由Error!得(3m2)x24m2x4m230.由 0，得 4m4(3m2)(4m23)0，12m293m20，即 m210 恒成立设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2.又Error!m23，m(，)(，)，2m，AB 的中点 M(，)，3(1)2336m2 m23233，M 在曲线 3(x1)2y23 上(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在实数 m，使AOB 为锐角，则0，x1x2y1y20.y1y2(mx12m)(mx22m)m2x1x22m2(x1x2)4m2，(1m2)x1x22m2(x1x2)4m20，(1m2)(4m23)8m44m2(m23)0，即 7m2312m20，m23 矛盾，不存在实数 m，使得AOB 为锐角