高考数学一轮复习第六章数列6-4数列求和学案理.doc

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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第六章数列精选高考数学一轮复习第六章数列 6-46-4 数列求数列求和学案理和学案理考纲展示 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.考点 1 公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和(1)等差数列的前 n 项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前 n 项和公式：SnError!2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法：如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等

2、差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的(2)并项求和法：在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法- 2 - / 14(1)教材习题改编一个球从 100 m 高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是( )B100100(129)A100200(129) D100(129)C200(129) 答案

3、：A(2)教材习题改编已知函数 f(n)n2cos n，且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a100_.答案：100解析：因为 f(n)n2cos n 所以 f(n)(1)nn2，由 anf(n)f(n1)(1)nn2(1)n1(n1)2(1)nn2(n1)2(1)n1(2n1)，得a1a2a3a1003(5)7(9)199(201)50(2)100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数(1)设数列an的通项公式是 anxn，则数列an的前 n 项和Sn_.答案：Sn 解析：当 x1 时，Snn；当 x1 时，Sn.(2)设数列an的通项公式是 an(1)n，则数列an的前

4、n 项和 Sn_.答案：SnError!解析：若 n 为偶数，则 Sn0；若 n 为奇数，则 Sn1.典题 1 (1)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前 9 项和等于_- 3 - / 14答案 27解析 由 a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为 1，公差为的等差数列，故 S99a191827.(2)若等比数列an满足 a1a410，a2a520，则an的前n 项和 Sn_.答案 (2n1)解析 由题意 a2a5q(a1a4)，得 20q10，故 q2，代入 a1a4a1a1q310，得 9a110，即 a1.故 Sn(2n1)点石成金 数列求和应从通项入手，

5、若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之考点 2 分组转化法求和分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(1)数列 1，3，5，的前 n 项和 Sn_.答案：n211 2n(2)已知数列an中，an 设数列an的前 n 项和为 Sn，则S9_.答案：377典题 2 已知数列an的通项公式是 an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.解 由通项公式知，Sn2(133n1)- 4 - / 14111(1)n(ln 2ln 3)123(1)

6、nnln 3，所以当 n 为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当 n 为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上知，SnError!点石成金 分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前 n 项和(2)通项公式为 an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列an中，已知公差 d2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)

7、设 bna，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn.解：(1)由题意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12.所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由题意知，bnan(n1)- 5 - / 14所以 Tn122334(1)nn(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n；当 n 为奇数时， TnTn1(bn)n(n1).所以 TnError!考点 3 错位相减法求和错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来

8、求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(1)教材习题改编数列 1， ， ，的前 n 项和为_答案：2n n1解析：因为2 nn12，所以数列的前 n 项和为22.(2)教材习题改编数列， ， ， ，的前 n 项的和为_答案：4n2 2n1解析：设该数列的前 n 项和为 Sn，由题可知，Sn，- 6 - / 14Sn，1 2，得 Sn2，(11 2)Sn4.典题 3 2015山东卷设数列an的前 n 项和为 Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足 anbnlog3an，求bn的前 n 项和 Tn.解 (1)因为 2Sn3n3，所以 2a133，故 a13，

9、当 n2 时，2Sn13n13，此时 2an2Sn2Sn13n3n123n1，即 an3n1，所以 an (2)因为 anbnlog3an，所以 b1，当 n2 时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以 T1b1；当 n2 时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以 3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以 Tn，- 7 - / 14经检验，n1 时也适合综上知，Tn.点石成金 用错位相减法求和的三个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式

10、时应特别注意将两式“错项对齐” ，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解2015天津卷已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设 cnanbn，nN*，求数列cn的前 n 项和解：(1)设数列an的公比为 q，数列bn的公差为 d，由题意知q0.由已知，有Error!消去 d，整理得 q42q280，解得 q24.又因为 q0，所以 q2，所以 d2.所以数列an的通项公式为 an2n1，nN*；数列bn

11、的通项公式为 bn2n1，nN*.(2)由(1)有 cn(2n1)2n1，设cn的前 n 项和为 Sn，则 Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，- 8 - / 14上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以 Sn(2n3)2n3，nN*.考点 4 裂项相消法求和裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：.考情聚焦 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和裂项相消法求和是历

12、年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列 an 的通项公式，达到求解目的主要有以下几个命题角度：角度一形如 an型典题 4 2017重庆模拟设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1)求 an；(2)设 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn(nN*)- 9 - / 14(1)解 设数列an的公差为 d，由题意，得Error!解得 a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)证明 由(1)，得 Snna1nn1 2dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn(11 3)(1 21 4)(1 n11 n1)(1

13、n1 n2)1 2，Tn(11 21 n11 n2)1 2(11 21 n11 n1)1 2.故 Tn.角度二形如 an 型典题 5 2017江南十校联考已知函数 f(x)xa 的图象过点(4,2)，令 an，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 014( )B.1A.1 D.1C.1 答案 C解析 由 f(4)2 可得 4a2，解得 a，则 f(x)x.an，S2 014a1a2a3a2 014- 10 - / 14()()()()()1.角度三形如 an型典题 6 正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)

14、令 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的nN*，都有 Tn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为 an2n.(2)证明 由于 an2n，故 bnn1 4n2n22.Tn11 321 221 421 321 521 n121 n121 n21 n221 1611 221 n121 n221 16.点石成金 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项- 11 - / 14(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积

15、与原通项相等如：若an是等差数列，则，.方法技巧 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和易错防范 1.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an1 的式子应进行合并2在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消真题演练集训 12016北京卷已知an为等差数列，Sn 为其前 n 项和若a16，a3a50，则 S6_.答案：6解析：设

16、等差数列an的公差为 d，由已知，得Error!解得Error!所以 S66a165d3615(2)6.22015新课标全国卷设 Sn 是数列an的前 n 项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_.答案：1 n解析： an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1.- 12 - / 14 Sn0， 1，即1.又1， 是首项为1，公差为1 的等差数列 1(n1)(1)n， Sn.32016山东卷已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解：(1)由题意知，当 n2 时

17、，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S111，所以 an6n5.设数列bn的公差为 d，由得Error!可解得 b14，d3.所以 bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又 Tnc1c2cn，所以 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以 Tn3n2n2.42015新课标全国卷Sn 为数列an的前 n 项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；- 13 - / 14(2)设 bn，求数列bn的前 n 项和解：(1)由 a2an4Sn3，可知 a2an14Sn1

18、3.，得 aa2(an1an)4an1，即 2(an1an)aa(an1an)(an1an)由 an0，得 an1an2.又 a2a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由 an2n1 可知，bn1 2n12n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn.课外拓展阅读 数列求和典例 已知数列an的前 n 项和 Snn2kn(其中 kN*)，且 Sn 的最大值为 8.(1)确定常数 k，并求 an；(2)求数列的前 n 项和 Tn.审题视角解析 (1)当 nk，kN*时，Snn2kn 取得最大值，即 8Skk2k2k2，故 k216，k4.- 14 - / 14当 n1 时，a1S14，当 n2 时，anSnSn1n.当 n1 时，上式也成立，故 ann.(2)因为，所以 Tn1，所以 2Tn22，得 2TnTn21n 2n144.故 Tn4.方法点睛1根据数列前 n 项和的结构特征和最值确定 k 和 Sn，求出 an 后再根据的结构特征确定利用错位相减法求 Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案2利用 Sn 求 an 时不要忽视当 n1 的情况；错位相减时不要漏项或算错项数3可以通过当 n1,2 时的特殊情况对结果进行验证