新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6-4数列求和教师用书.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1/20新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法 6-4数列求和教师用书 1等差数列的前 n 项和公式 Snna1d.2 等比数列的前 n 项和公式 Sn na1，q1，a1 anq1q1q，q1.3 一些常见数列的前 n 项和公式(1)12 3 4 n.(2)13 5 7 2n1n2.(3)24 6 8 2nn(n1)(4)1222n2.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个

2、等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2/20把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式；.(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如，Sn 10029929829722212(10099)(

3、9897)(2 1)5 050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn.()(2)当 n2 时，()()(3)求 Sn a 2a2 3a3nan 之和时，只要把上式等号两边同时欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3/20乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)数列 2n1 的前 n 项和为 n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44.5.()1(20

4、16潍坊模拟)设an是公差不为 0 的等差数列，a12，且 a1，a3，a6 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn 等于()A.B.n25n3 C.D n2n 答案 A 解析 设等差数列的公差为 d，则 a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6 成等比数列，aa1a6.即(22d)2 2(25d)，整理得 2d2d0.d0，d.Snna1dn.2(教材改编)数列an中，an，若an的前 n 项和 Sn，则 n 等于()A 2 016 B 2 017 C 2 018 D 2 019 答案 B 解析 an，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提

5、供优质的文档！4/20Sna1 a2 an(1)1.令，得 n2 017.3数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3)，则它的前 100项之和 S100 等于()A 200 B 200 C 400 D 400 答案 B 解析 S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.4数列an的通项公式为 an ncos，其前 n 项和为 Sn，则 S2 017_.答案 1 008 解析 因为数列 an ncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a2 2，a3 0，a4 4.故 S4a1 a2 a3 a4 2.a50，a66，a7 0

6、，a88，故 a5a6a7 a82，周期 T 4.S2 017S2 016 a2 017 22 017cos 1 008.题型一 分组转化法求和 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5/20例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn 2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和 解(1)当 n1 时，a1 S1 1；当 n2 时，an Sn Sn 1n.a1 也满足an n，故数列an的通项公式为 an n.(2)由(1)知 an n，故 bn 2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项

7、和为 T2n，则 T2n(21 2222n)(123 4 2n)记 A 212222n，B 123 4 2n，则 A 22n12，B(12)(3 4)(2n 1)2n n.故数列bn的前 2n 项和 T2n A B 22n1n2.引申探究 例 1(2)中，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 由(1)知 bn 2n(1)nn.当 n 为偶数时，Tn(21 222n)123 4(n 1)n 2n12；当 n 为奇数时，Tn(21 222n)123 4(n 2)(n 1)n 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6/202n12n2n1.Tn

8、2n1n22，n为偶数，2n1n252，n为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 an 的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 已知数列an的通项公式是 an 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.解 Sn 2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当 n

9、为偶数时，Sn 2ln 33nln 31；当 n 为奇数时，Sn 2(ln 2ln 3)(n)ln 3 3nln 3ln 21.综上所述，Sn 3nn2ln 31，n为偶数，3nn12ln 3ln 21，n为奇数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7/20题型二 错位相减法求和 例 2(2016山东)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 an bn bn 1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意知，当 n2 时，an SnSn16n5，当 n1 时，a1

10、S111，满足上式，所以 an 6n5.设数列bn的公差为 d.由 a1 b1 b2，a2 b2 b3，即可解得所以 bn 3n1.(2)由(1)知，cn 3(n1)2n1，又 Tn c1 c2 cn，得 Tn 3222323(n1)2n1，2Tn 3223324(n1)2n2 两式作差，得Tn 322223242n1(n1)2n2 34122n2 3n2n2，所以 Tn 3n2n2.思维升华 错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；欢迎您阅

11、读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8/20(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，已知 b1 a1，b2 2，q d，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意得 10a1 45d100，a1d2 解得或 a1 9，d 29.故或 an 19，bn 929n1.(2)由 d1，知 an 2n1，bn 2n1，故 cn，于是 Tn

12、 1，12Tn .可得 12Tn 2 3，故 Tn 6.题型三 裂项相消法求和 命题点 1 形如 an 型 例 3(2015课标全国)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2an 4Sn 3.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！9/20(1)求an的通项公式；(2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 解(1)由 a2an 4Sn3，可知 a2an 1 4Sn1 3.两式相减，得 aa2(an1 an)4an 1，即 2(an1 an)aa(an 1 an)(an1 an)由 an0，可得 an1 an2.又 a2a14a13，解

13、得 a1 1(舍去)或 a1 3.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n 1.(2)由 an2n 1 可知 bn.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn b1b2bn.命题点 2 形如 an型 例 4 已知函数 f(x)xa 的图象过点(4,2)，令 an，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 017_.答案 1 解析 由 f(4)2，可得 4a 2，解得 a，则 f(x)12.x an，S2 017a1 a2 a3 a2 017(1)()()()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！10/2

14、0()1.思维升华(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，()，裂项后可以产生连续相互抵消的项(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 在数列an中，a1 1，当 n2 时，其前 n 项和 Sn 满足 San.(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bn，求bn的前 n 项和 Tn.解(1)San，an SnSn1(n2)，S(SnSn1)，即 2Sn1SnSn1Sn，由题意得 Sn1Sn0，式两边同除以 Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为 2 的等差数列 12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().题型四 数列求和

15、的综合应用 例 5 正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11/20(2)令 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn0.所以 Sn n2n(nN*)n2时，an Sn Sn 12n，n1 时，a1 S1 2 适合上式 所以 an 2n(nN*)(2)证明 由 an 2n(nN*)，得 bn n1，则Tn116 1132122142132152 111n21 (nN*)即对于任意的 nN*，都有 Tn

16、.思维升华 数列和其他知识的综合，可先确定数列项的递推关系，求出数列通项或前 n 项和；也可通过放缩法适当变形后再求和，进而证明一些不等式 (2016宁波二模)在数列an中，已知 a1 1，an 1.(1)若 t 0，求数列an的通项公式；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12/20(2)若 t 1，求证：0，从而 ln an 12ln anln 2，所以 ln an 1ln 22(ln anln 2)，即 ln 2ln，所以数列ln 是以 ln 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ln(ln)2n112ln2，n 所以即 an122

17、，n1122.n(2)证明 当 t 1 时，an1.由 a11，an1，得 an0，所以 an1an0，所以an为递减数列 因为11，所以 an1an，所以 ana1()n1()n1.又因为anan1(nN*)，所以2nanan2(a1a2)2(a2a3)3(a3a4)n(anan1)a1a2 a3 annan1 1()2()n1.又因为，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！13/20所以命题得证 四审结构定方案 典例(14分)已知数列an的前 n 项和 Sn n2kn(其中 kN*)，且 Sn 的最大值为 8.(1)确定常数 k，并求

18、 an；(2)设数列的前 n 项和为 Tn，求证：Tn4.(1)Sn 12n2kn Sn 是关于n的二次函数nk时，Sn 最大 (2)9 2an2nn2n1根据数列结构特征确定求和方法 计算可得Tn证明：Tn4 规范解答(1)解 当 nkN*时，Sn n2kn 取得最大值，即 8 Sk k2k2k2，故 k216，k4.当 n1 时，a1S14，4 分 当 n2 时，an Sn Sn 1 n.当 n1 时，上式也成立 综上，an n.8 分(2)证明，Tn1，2Tn22.9 分，得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！14/202TnT

19、n21n2n1 44.13 分 Tn4.Tn4.14 分 1 数列 1，3，5，7，(2n1)，的前 n 项和 Sn 的值等于()A n21 B 2n2n112n C n21 D n2n112n 答案 A 解析 该数列的通项公式为 an(2n1)，则 Sn1 3 5(2n1)()n21.2(2016西安模拟)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12 016，且 an2an1an20(nN*)，则 S2 016 等于()A 0 B 2 016 C 2 015 D 2 014 答案 A 解析 an2an1an20(nN*)，an2anqanq20，q 为等比数列an的公比，即 q22q1

20、0，q1.an(1)n12 016，S2 016(a1a2)(a3 a4)(a2 015 a2 016)0.3 等差数列an的通项公式为 an2n1，其前 n 项和为 Sn，则数列的前 10 项的和为()A 120 B 70 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！15/20C 75 D 100 答案 C 解析 因为n2，所以的前 10 项和为 10375.4 在数列an中，若 an1(1)nan 2n 1，则数列an的前 12项和等于()A 76 B 78 C 80 D 82 答案 B 解析 由已知 an1(1)nan 2n 1，得 an

21、2(1)n 1an12n 1，得 an2 an(1)n(2n1)(2n1)，取 n1,5,9及 n2,6,10，结果相加可得 S12a1a2 a3a4 a11a1278.故选 B.5 已知函数 f(n)且 anf(n)f(n1)，则 a1a2 a3a100等于()A 0 B 100 C 100 D 10 200 答案 B 解析 由题意，得 a1a2 a3a100 12 222232 32 424252 9921002 1002 1012(1 2)(3 2)(43)(99100)(101 100)(1 2 99100)(23100101)5010150103100.故选 B.欢迎您阅读并下载本文

22、档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！16/206设数列an的通项公式为 an2n7，则|a1|a2|a15|等于()A 153 B 210 C 135 D 120 答案 A 解析 令 an2n70，解得 n.从第 4 项开始大于 0，|a1|a2|a15|a1a2a3 a4 a5a1553113(2157)9 153.7(2016福州模拟)已知数列an的通项公式为 an，若前 n 项和为 10，则项数 n 为_ 答案 120 解析 an，Sna1a2an(1)()()1.令110，得 n120.8在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前 10

23、 项和S1036，前 18 项和 S1812，则数列|an|的前 18 项和 T18 的值是_ 答案 60 解析 由 a10，a10a110 可知 d 0，a100，a110，T18a1a10a11a18 S10(S18S10)60.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！17/209(2016余姚中学模拟)若已知数列的前四项是，则数列的前 n项和为_ 答案 2n3 解析 由前四项知数列an的通项公式为 an，由()知，Sna1a2a3 an1an 1()()()1 .*10.已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，任意 nN*,2Snaa

24、n.令bn，设bn 的前 n 项和为 Tn，则在 T1，T2，T3，T100中有理数的个数为_ 答案 9 解析 2Snaan，2Sn1aan1，得 2an1aan1aan，aaan1an0，(an1an)(an 1an1)0.又an为正项数列，an1an10，即 an1an1.在 2Snaan 中，令 n1，可得 a11.数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 ann，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！18/20bn1n n1n nn n1n n1nnn n1，Tn1，T1，T2，T3，T100 中有理数的个数为 9.11已知

25、数列an 中，a13，a25，且an1 是等比数列(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bnnan，求数列bn 的前 n 项和 Tn.解(1)an1 是等比数列且 a112，a214，2，an122n12n，an2n1.(2)bnnann2nn，故 Tnb1b2b3bn(2222323n2n)(123n)令 T2222323n2n，则 2T22223324n2n1.两式相减，得T222232nn2n1 n2n1，T2(12n)n2n12(n1)2n1.123n，Tn(n1)2n1.12(2016天津)已知an 是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，且欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于

26、互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！19/20，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN*，bn 是 log2an和 log2an1 的等差中项，求数列(1)nb的前 2n 项和 解(1)设数列an的公比为 q.由已知，有，解得 q2 或 q1.又由 S6a163，知 q1，所以 a163，得 a11.所以 an2n1.(2)由题意，得 bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为 1 的等差数列 设数列(1)nb的前 n 项和为 Tn，则 T2n(b b)(b b)(b b)b1 b2 b3b4b2n 1b2

27、n 2n2.*13.若数列an的前 n 项和为 Sn，点(an，Sn)在 y x 的图象上(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若 c1 0，且对任意正整数 n 都有 cn 1cn 求证：对任意正整数 n2，总有.12log.na 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！20/20(1)解 Snan，当 n2 时，anSnSn1an1an，anan1.又S1a1a1，a1，ann12n1.(2)证明 由 cn 1cn 2n1，12logna 得当 n2 时，cn c1(c2c1)(c3c2)(cncn 1)03 5(2n 1)n21(n 1)(n1)，1cn()，1cn 11312141315 121121n1n1.又，原式得证