统计物理与热力学课程(陈培锋)第三讲.ppt

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1、统计物理基本方法与学习粒子系统的基本运动形式,近独立粒子系,平动、振动、转动,相空间表示系统的微观态和宏观态,宏观分布、宏观分布的组态数微观态的等概率原理,组态的概率、宏观分布的概率最概然分布与平衡态1、偏离最概然分布的概率很小、偏离最概然分布的概率很小实例：设N=2n个粒子处于一个体积V中，等体积地将V划分成2个1,2，则最概然分布(平衡态)应该是2n均匀分布在2个1,2中(n1=n2=n),相应的微观状态数为W*=(2n)!/n!n!。设在最概然分布附近有一个分布n1=n-n，n2=n+n，相应的微观状态数为W=(2n)!/(n-n)!(n+n)!。比较两种状态的微观组态数取对数利用斯特林

2、公式 偏离的概率平衡态的概率如果如果n/n数更大时数更大时,上述数值就更小了上述数值就更小了,这说这说明当明当N时时,最概然分布可以代表真实分布最概然分布可以代表真实分布,从而体系总的微观状态数完全可以用最概从而体系总的微观状态数完全可以用最概然分布所拥有的微观状态数取而代之然分布所拥有的微观状态数取而代之取取n/n=0.1%，对于，对于1mol的分子体系，的分子体系，n=6.0221023，即得，即得这是一个极其微小这是一个极其微小的数值的数值 但如果但如果n不太大呢？不太大呢？回顾：物理量的相对涨落与粒子数平方根 成反比 系统处于平衡态时,能量、温度、粒子数、体积、密度等重要物理量的相对涨

3、落都反比于 当涉及大量粒子时当涉及大量粒子时,涨落现象很微弱涨落现象很微弱,以致可以忽略以致可以忽略这个结果说明这个结果说明,对平衡态的偏离随着对平衡态的偏离随着N而趋于可而趋于可以忽略以忽略2、微观态与宏观态、微观态与宏观态设体系由设体系由3个独立的一维谐振子组成。体系个独立的一维谐振子组成。体系总能量总能量E=(9/2)h(平衡位置的势能规定为平衡位置的势能规定为0),体积为体积为V(显然显然,3个粒子不能作为宏观体个粒子不能作为宏观体系系,此处纯粹为了能具体形象说明问题此处纯粹为了能具体形象说明问题)系统状态为系统状态为 (N,V,E)=(3,V,9h/2)求出宏观态分布和相应的微观组态

4、求出宏观态分布和相应的微观组态 的分割将粒子的能量分为将粒子的能量分为01h,12h,23h,若干段若干段,每一段的每一段的能量记为能量记为1h/2，3h/2,5h/2,7h/2,在考虑各种宏观态和微观态时在考虑各种宏观态和微观态时,必须要满足必须要满足下列两个守恒条件下列两个守恒条件其中其中ni为能级段为能级段 i i上的谐振子数上的谐振子数 注意每一能量段的面积相等 以x和p为直角坐标,可构成二维的空间,给定振子的能量,代表点的轨迹是椭圆 椭圆的面积等于 故相邻两能级对应于空间中的相体积(椭圆壳层的面积)为 当四个能量段间隔相等时，四个相元面积相等：粒子可以编号分辨粒子可以编号分辨,用用a

5、,b,c分别作为谐振子的编号。分别作为谐振子的编号。能够满足能够满足(3,V,9h/2)的所有可能的微观组态如下的所有可能的微观组态如下 4 4=7/2hc ca ab b 3 3=5/2hc cb bc ca ab ba a 2 2=3/2habcabcb bc ca ac ca ab b 1 1=1/2hababbcbccacaa aa ab bb bc cc c组态组态概率概率宏宏观观分布分布A(0300A(0300)B(2001)B(2001)C(1110)C(1110)宏宏观观分布的分布的组组态态数和概率数和概率113366各种宏观分布的微观组态数第三讲量子气体的特征和量子气体状态统

6、一描述量子统计特点建立在量子力学基础上的量子统计物理和建立在经典物理基础上的经典统计物理,基本的统计假设和统计方法是相同的只是所处理的对象的运动满足量子力学规律,它们会对平衡态统计产生深刻的影响一、量子力学基本原理(1)量子系统的状态用希尔伯特空间中的矢量描述。(2)描述微观系统的物理量是厄米算符，物理量的可测量值是相应算符的本征值。一般情况物理量的测量具有不确定性，物理量A在状态上取值为ai的概率与态在A的归一化本征矢量ai上的投影的模方成正比。(3)微观系统中粒子在直角坐标系中的坐标与动量算符满足对易关系xi,xj=pi,pj=0，xi,pk=ihik/2。(4)微观系统状态随时间的演化规

7、律由薛定谔方程描述。(5)全同粒子系统的全同性原理。1、能量量子化假说(Planck,1900)解释黑体辐射一维谐振子的能量是量子化的2、光量子假说(Einstein,1905)光具有粒子性，解释光电效应光的二象性量子力学假说3、物质波假说(de Broglie,1923)粒子具有波动性,是波动力学的基础4、薛定谔方程(Schrodinger,1923)5、波函数的统计诠释(Born,1926)波函数所描写的是粒子在多维位形空间中概率分布的概率波。波函数包含了量子体系所有可以确定的信息，即波函数给定后，粒子所有力学量的观察值的分布概率也就确定了。6、不确定度关系式(Heisenberg,192

8、7)7、微观粒子的全同性原理任何2个全同粒子的交换不产生新的量子态。在全同多粒子体系中,全同粒子交换时不变的状态是可实现的。两粒子的波函数不重叠时粒子可分辨,重叠时不可分辨。8、Pauli原理，1925年占据同一单粒子量子态的费米子不可能超过一个。全同粒子体系微观运动状态的量子规律全同粒子体系微观运动状态的量子规律来源于原子光谱的实验量子力学发展与争论19世纪已将物理大厦全部建成,今后物理学家的任务就是修饰完善这所大厦开尔文1899年新年献词同时也提到,物理学的天空还漂浮着两朵小小的“乌云”黑体辐射、光电效应、原子的稳定性、原子的线状光谱、低温下的热容波尔与爱因斯坦的争论量子力学“幽灵超距作用

9、”通过最严格的检验(2015年8月24日,代尔夫特理工物理学家罗纳德汉森(Ronald Hanson)团队)索尔维会议(1927,第五届)尼尔斯玻尔1962.11.18)阿尔伯特爱因斯坦（）二、粒子运动状态的量子描述(一)、有限空间范围内的自由粒子的量子态及能级1、一维自由平动子粒子处在长度为a的一维容器中运动,粒子的势能函数为在容器外x0和xa的区域,由于V(x)=，在容器内(0 xTr,能级可以看作连续异核分子Tr/K同核分子Tr/KHD64.0H287.5HF30.3D242.7HCl15.2N22.86HBr12.1O22.07HI9.0Cl20.346CO2.77Br20.116NO

10、2.42I20.0543.引入分子振动特征温度 TT很难满足,能级不可以看作连续分子T/K分子T/KH26210HI 3200N23340Cl2810O22230Br2470CO3070I2310NO2690BrCl747HCl4140ICl553HBr3700五、近独粒子系统的经典描述与量子描述的统一为了统一描述近独粒子系的统计理论,将经典理论的子相空间按照量子态分区,每一个的体积都取为多个hs,对应一定数量的量子态。这样近独粒子系统的经典描述与量子描述就统一起来了在经典描述中,根据上一讲的表述,系统宏观分布以j表示子相宇体元，j(jl，2，)表示粒子在子相宇体元j中的能量,N个粒子在各j的分布可以描述如下：子相宇体元 1，2，j能 级 1，2，j，粒子数 a1，a2，aj现在在量子描述下,上述的描述将变换为：设有一个系统,由大量全同近独立的粒子组成,以l(ll，2，)表示粒子的能级,l表示能级l的简并度。N个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1，2，l，简并度 1，2，l粒子数 a1，a2，al即能级1上有al个粒子,能级2上有a2个粒子,能级l上有al个粒子,。为了书写方便起见,以符号al表示数列a1,a2,al，,称为一个分布。j与l作业6.1、6.2求一维和三维自由平动子在能级间隔d内的量子态数j d