高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案.doc

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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 2 2 讲两直线的位置关系学案讲两直线的位置关系学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若其斜率分别为 k1、k2，则有 l1l2k1k2，b1b2.当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1、k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜

2、率为 0 时，l1l2.2.两条直线的交点直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组的解考点 2 三种距离公式1.两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|.2.点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d.3.两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d.必会结论1.与直线 AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：2 / 16(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.2.与对称问题相关的两个结论：(1)点 P(x0，y0)关于 A(a，b)的

3、对称点为P(2ax0,2by0)(2)设点 P(x0，y0)关于直线 ykxb 的对称点为P(x，y)，则有Error!可求出 x，y.考点自测1.判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交( )(2)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为.( )(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离( )(5)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于，且线段 AB 的中点在直线 l

4、上( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2.课本改编过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是( )A.x2y10 Bx2y10C.2xy20 Dx2y10答案 A解析 设直线方程为 x2yc0，又经过点(1,0)，故c1，所求方程为 x2y10.3.2018重庆模拟若直线 ax2y10 与直线 xy20互相垂直，那么 a 的值等于( )3 / 16A.1 B C D2答案 D解析 由 a1210 得 a2，故选 D.4.课本改编已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( )A. B22C.1 D.1答案 C解析 由题意知1，|a1|，又

5、a0，a1.5.课本改编平行线 3x4y90 和 6x8y20 的距离是( )A. B2 C. D.7 5答案 B解析 依题意得，所求的距离等于2.6.2018南宁模拟直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是( )A.x2y10 B2xy10C.2xy30 Dx2y30答案 D解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线 x1 的对称点(2x，y)在直线 x2y10 上，即 2x2y10，化简得x2y30.板块二 典例探究考向突破考向 平行与垂直问题 例 1 (1)直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是( )A.平行 B垂直C.相交但不垂直 D不能确定答案 C解析 由可得

6、 3x2mn0，由于 3x2mn0 有唯一解，4 / 16故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为2，斜率之积不等于1，故不垂直.(2)2018金华十校模拟“直线 axy0 与直线 xay1 平行”是“a1”成立的( )A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 由直线 axy0 与 xay1 平行，得 a21，即a1，所以“直线 axy0 与 xay1 平行”是“a1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和l2，l1l2k1k

7、2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20.【变式训练 1】 (1)“m3”是“直线 l1：2(m1)x(m3)y75m0 与直线 l2：(m3)x2y50 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1l2，得 2(m1)(m3)2(m3)0，m3 或 m2，m3 是 l1l2 的充分不必要条件.(2)2018宁夏模拟若直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)5 / 16xmy10

8、平行，则实数 m 的值为_答案 0 或1 6解析 因为直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行，则斜率相等或者斜率不存在，或者m0，m或 0.考向 距离公式的应用例 2 2018潍坊模拟已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的

9、斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得2，解得 k，此时 l 的方程为 3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与PO 垂直的直线，如图由 lOP，得 klkOP1，所以 kl2.由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50.所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过的直线，因此6 / 16不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.触类

10、旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离(2)已知距离求参数值列方程求出参数(3)求距离的最值可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.【变式训练 2】 (1)若直线 l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30 之间的距离是，则 mn( )A.0 B1 C1 D2答案 A解析 直线 l1：x2ym0(m0)与直线 l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)，mn0.(2)已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值为_答案 或7 9解析 由题意及点到直线

11、的距离公式得，解得 a或.考向 对称问题命题角度 1 点关于点的对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程解 设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，7 / 16所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40.命题角度 2 点关于线的对称例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，

12、则 mn_.答案 34 5解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是Error! 解得故 mn.命题角度 3 直线关于直线的对称例 5 直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是( )A.x2y30 Bx2y30C.x2y10 Dx2y10答案 A解析 设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20的对称点为 P(x0，y0)，由得Error!由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，则 2(y2)(x2)30，即 x2y30.命题角度 4 对称问题的应用例 6 已知直线 l

13、：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4)(1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小；(2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)，则解得Error!故 A(2,8)8 / 16P 为直线 l 上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，解得故所求的点 P 的坐标为(2，3)(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB

14、|PA|取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，解得故所求的点 P 的坐标为(12,10).触类旁通解决对称问题的方法(1)中心对称点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足Error!直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有Error!直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称3.光线的反射问题具有入射角等于反射

15、角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称满分策略9 / 161.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若直线无斜率，要单独考虑2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的 x，y 的系数化成相等板块三 启智培优破译高考题型技法系列 13物理光学中对称思想的应用 2018湖南模拟在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点P 为边 AB 上异于 A，B 的一点，光

16、线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于( )A.2 B1 C. D.4 3解题视点 依入射光线与反射光线的对称性知，点 P 关于直线BC 的对称点 P2 在直线 RQ 上，点 P 关于直线 AC 的对称点 P1 也在直线 RQ 上，所以点 P1，D，P2 三点共线(D 为ABC 的重心)，利用kP1DkP2D 即可破解解析 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示则 A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC 的重心为 D，则 D 点坐标为.设 P 点坐标为(m,0)，则 P 点关于 y 轴的

17、对称点 P1 为(m,0)，因为直线 BC 方程为 xy40，所以 P 点关于 BC 的对称点 P2 为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2 均在 QR 所在直线上，kP1DkP2D，即，10 / 16解得 m或 m0.当 m0 时，P 点与 A 点重合，故舍去m.答案 D答题启示 许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.跟踪训练光线从 A(4，2)点射出，射到直线 yx 上的 B 点后被直线yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，

18、求 BC 所在的直线方程解 作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为.即 10x3y80.板块四 模拟演练提能增分 A 级 基础达标1.2018四川模拟设 aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则 a(a1)2，即a2a20，a1 或2，故 a1 是两直线平行的充分不必要条件.1

19、1 / 162.若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为( )A.12 B2 C0 D10答案 A解析 由 2m200 得 m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20 上，得 104p20，p2.又垂足(1，2)在直线 2x5yn0 上，则解得 n12.3.2018启东模拟不论 m 为何值时，直线(m1)x(2m1)ym5 恒过定点( )A. B(2,0)C.(2,3) D(9，4)答案 D解析 由(m1)x(2m1)ym5，得(x2y1)m(xy5)0，由得定点坐标为(9，4)，故选 D.4.P 点在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy1

20、0 的距离为，则 P 点坐标为( )A.(1,2) B(2,1)C.(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案 C解析 设 P(x,53x)，则 d，化简得|4x6|2，即4x62，解得 x1 或 x2，故点 P 的坐标为(1,2)或(2，1).5.2018绵阳模拟若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.29 5答案 C解析 因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ| 的最小值为.6.2018合肥模拟已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线 l2 与 l1

21、 关于 l 对称，则12 / 16l2 的方程是( )A.x2y10 Bx2y10C.xy10 Dx2y10答案 B解析 因为 l1 与 l2 关于 l 对称，所以 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上又易知(0，2)为 l1 上一点，设它关于 l 的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为 l2 上两点，可得 l2 的方程为 x2y10.7.若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )A.3 B2 C3 D42答案 A解析 l1：xy70 和 l2

22、：xy50 是平行直线，可判断 AB 所在直线过原点且与直线 l1，l2 垂直时，中点 M 到原点的距离最小直线 l1：xy70，l2：xy50，两直线的距离为，又原点到直线 l2 的距离为，AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为3.故选 A.8.设点 A(1,0)，B(1,0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_答案 2,2解析 b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 A(1,0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值b 的取值范围是2,2.9.已知直线 l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0 互相垂直，则实数 a

23、 的值是_答案 0 或 113 / 16解析 因为直线 l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，故有 a(2a1)a(1)0，可知 a 的值为 0 或 1.10.2018银川模拟点 P(2,1)到直线 l：mxy30(mR)的最大距离是_答案 25解析 直线 l 经过定点 Q(0，3)，如图所示由图知，当PQl 时，点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值|PQ| 2，所以点 P(2，1)到直线 l 的最大距离为 2.B 级 知能提升1.2018东城期末如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为( )A.xy10 Bx

24、y10C.xy10 Dxy10答案 A解析 因为直线 AB 的斜率为1，所以直线 l 的斜率为 1，设直线 l 的方程为 yxb，由题意知直线 l 过点，所以b，解得 b1，所以直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 A.2.2018宜春统考已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为( )A.2x3y180B.2xy20C.3x2y180 或 x2y20D.2x3y180 或 2xy20答案 D解析 依题意，设直线 l：y4k(x3)，即 kxy43k0，则有，因此5k2k6 或5k2(k6)，14 / 16解得 k或 k2，故直线

25、l 的方程为 2x3y180 或 2xy20.3.2018淮安调研已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案 6xy60解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为，即 6xy60.4.已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值：(1)l1l2，且 l1 过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1)由已知可得

26、 l2 的斜率存在，且 k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又l1 过点(3，1)，3a40，即 a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即 k1，k2 都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1 过点(3，1)，3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)l2 的斜率存在且 l1l2，直线 l1 的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2，15 / 16l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或Error!a2，b2 或 a，b2.5.2018合肥模拟已知直线 l

27、：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解 (1)设 A(x，y)，由已知条件得Error!解得Error!A.(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点 M(a，b)，则Error!得 M.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.(3)解法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 M(1,1)，N(4,3)，则 M，N 关于点 A(1，2)的对称点M，N均在直线 l上，易得 M(3，5)，N(6，7)，再由两点式可得 l的方程为 2x3y90.解法二：ll，设 l的方程为 2x3yC0(C1)点 A(1，2)到两直线 l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得16 / 16，解得 C9，|26C|2232l的方程为 2x3y90.解法三：设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为P(2x，4y)点 P在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.