2024版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式.docx

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1、第二节两直线的位置关系、距离公式考试要求：1能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)2掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)一、教材概念结论性质重现1两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.l1l2k1k2l1l2k1k21特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1l2.(2)利用方程判断l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A2，B2，C2均不为0)，l1l2A1A2B1B2C1C2l1l2A1A2B1B20l1与l

2、2重合A1A2B1B2C1C2特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断(3)两直线相交交点直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直的直线可设为BxAym0.(2)与直线AxByC0(A2B20)平行的直线可设为AxByn0.2三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|x2x12+y2y12(2)点P0(x0，y0)到直线

3、l：AxByC0的距离dAx0+By0+CA2+B2(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20(其中A2B20，C1C2)间的距离dC1C2A2+B2应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为kx0+b1+k2.()(4)两平行直

4、线2xy10，4x2y10间的距离为0.()2已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为()A0B8C2D10B解析：由题意知4mm22，解得m8.故选B3如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10A解析：因为直线AB的斜率为a+1aa1a1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过线段AB的中点2a12，2a+12，所以2a+122a12b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.故选A4若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同

5、一点，则m的值为95已知两条直线l1：4x2y30，l2：2xy10，则l1与l2之间的距离为_52解析：两条直线l1：4x2y30，l2：2xy10，即两条直线l1：4x2y30，l2：4x2y20，它们之间的距离d3242+2252.考点1两直线平行与垂直判定及应用基础性1“m1”是“直线l1：mxy10和直线l2：xmy60平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：直线l1：mxy10和直线l2：xmy60平行m21m1，“m1”是“m1”的充分不必要条件故选A2若直线2x(2a5)y20与直线bx2y10互相垂直，则a2b2的最小值为()A3B

6、3 C5D5C解析：因为直线2x(2a5)y20与直线bx2y10互相垂直，所以2b2(2a5)0，化简得b52a，所以a2b2a2(52a)25a220a255a2255，当且仅当a2时取“”，所以a2b2的最小值为5.3已知直线l1：mxy10，l2：(2m3)xmy10，mR，若l1l2，则m_0或2解析：若l1l2，则m(2m3)m0，解得m0或m2，即l1l2m0或m2.1当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解2利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是

7、否舍去其中一个值考点2两直线的交点、距离问题综合性(1)已知直线3x2y30与直线6xmy70互相平行，则它们之间的距离是()A4B132C21313D71326B解析：由直线3x2y30与直线6xmy70互相平行，得m4，所以直线分别为3x2y30与3x2y720.它们之间的距离是72+332+22132.故选B(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值为()A24B24 C6D6A解析：直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，可设交点坐标为(a，0)，则2ak=0，a+12=0，即a=12，k=24.故选A本例1(1)中，条件“直线3x2y30与直线6xmy

8、70互相平行”改为“直线3x2y30与直线6xmy70互相垂直”，求两直线的交点坐标解：因为两直线垂直，则182m0，则m9.由3x+2y3=0，6x9y+7=0，解得x=13，y=1.所以交点坐标为13，1.1求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|.(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等1若点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为2，则点P的坐标为()A(1，2) B(2，1

9、)C(1，2)或(2，1) D(2，1)或(1，2)C解析：设P(x，53x)，则dx5+3x112+122，化简得|4x6|2，即4x62，即x1或x2，故点P的坐标为(1，2)或(2，1)故选C2已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点Q，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为()A0B1 C2D3C解析：由x2y+3=0，2x+3y8=0，得x=1，y=2，即直线l过点Q(1，2)因为|PQ|102+24252，所以满足条件的直线l有2条故选C考点3对称问题应用性考向1点关于点对称过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y1

10、00截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x4y40解析：设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.中心对称问题的解法(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(x，y)，则x=2ax，y=2by.(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决考向2点关于直线的对称点已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_3313，413解析：设A(x，y)，由已知得y+2

11、x+123=1， 2x123y22+1=0，解得x=3313，y=413. 故A3313，413.轴对称问题的解法(1)若点P(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为P(m，n)，则有nbmaAB=1， Aa+m2+Bb+n2+C=0.(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决考向3直线关于直线的对称已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10B解析：由xy1=0，2xy2=0，得交点(1，0)，取l1上的点(0，2)，其关于直线l的对称点为(1，1)，故直线l2的方程为y010

12、x111，即x2y10.直线与直线对称问题的解法(1)先求出两条直线的交点，再在其中一条直线上取一个异于交点的点，求出该点关于直线的对称点，由两点式可写出直线的方程(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决1已知点(1，1)关于直线l1：yx的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A2x3y50 B3x2y50C3x2y50 D2x3y50B解析：易知A(1，1)设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又1kA32，所以直线l2的方程为y132(x1)，即3x2y50

13、.故选B2若函数yax8与y12xb的图象关于直线yx对称，则ab()A12B12C2D2C解析：直线yax8关于yx对称的直线方程为xay8，所以xay8与y12xb为同一直线，则a=2，b=4. 所以ab2.故选C课时质量评价(四十四)A组全考点巩固练1(2023聊城模拟)d为点P(1，0)到直线x2y10的距离，则d()A55B255C355D455B解析：d10+11+4255.故选B2已知直线l：axya0，直线m：xaya0，则lm的充要条件是()Aa1Ba1Ca1Da0A解析：因为直线l：axya0，直线m：xaya0，易知a0时，两直线垂直，所以lm的充要条件是a11aaa，即

14、a1.故选A3(2023泰安质检)过点A(2，3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40B2xy70Cx2y30Dx2y50A解析：由题意可设所求直线方程为x2ym0，将A(2，3)代入上式得223m0，即m4，所以所求直线方程为x2y40.故选A4(多选题)直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A3x2y40Bx2Cx2y0D3x2y80AB解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合题意当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0.因为P(4，2)和Q(0，4)到直线l的距离相

15、等，所以|4k212k|412k|，解得k32，则直线l的方程为3x2y40.故选AB 5已知A(1，63)，B(0，53)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是()Ad1B0d1C0d1D0d2B解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线而|AB|102+635322，要使满足条件的直线l有4条，只需要0d12|AB|1.6直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30D解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x1的对称

16、点(2x，y)在直线x2y10上，所以2x2y10，化简得x2y30.7已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_6xy60解析：设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以b4a31=1， 3+a2b+42+3=0，解得a=1，b=0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y060x121，即6xy60.8l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x2y30解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直

17、时，两条平行直线间的距离最大又kAB11012，所以两条平行直线的斜率为k12，所以直线l1的方程是y112(x1)，即x2y30.9正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d151+93105.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d1+m1+93105，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d3+n1+93105，解得n3或n9，所以与x3y50垂直

18、的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.B组新高考培优练10已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()A18B12C14D2A解析：直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4k，直线l2在x轴上的截距为2k22.因为0k4，所以4k0，2k220，所以四边形的面积S122(4k)124(2k22)4k2k8，故当k18时，面积最小11唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

19、出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为yx，则“将军饮马”的最短总路程为()A5B35C45D53B解析：因为点A(2，0)关于直线yx的对称点为A(0，2)，所以|AB|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|AB|9+3635.故选B12已知A(2，1)，B(1，2)，点C为直线y13x上的动点，则|AC|BC|的最小值为()A22B23C25D27C解析：设B关于直线y13x的对称点为B(x0，y0)，则y02x01=3， y0+22=13x0+12，

20、解得x0=2，y0=1.所以B(2，1)由平面几何知识得|AC|BC|的最小值即是|BA|2+22+11225.故选C13已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1，3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_y7x或yx或xy20或xy60解析：当直线过原点时，设直线方程为ykx，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得k31+k22，解得k7或k1，此时直线l的方程为y7x或yx.当直线不过原点时，设直线方程为xya，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得4a22，解得a2或a6，此时直线l的方程为xy20或xy60.综上所述，直线l的方程为y7x或yx或xy20或xy60.14已知直线y2

21、x是ABC中ACB的平分线所在的直线若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点C的坐标是_(2，4)解析：设A(4，2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则y2x+42=1，y+22=24+x2，解得x=4，y=2，所以BC所在直线方程为y12143(x3)，即3xy100.同理可得点B(3，1)关于直线y2x的对称点为(1，3)，所以AC所在直线方程为y23214(x4)，即x3y100.联立得3x+y10=0，x3y+10=0，解得x=2，y=4，则C(2，4)15已知直线方程为(2m)x(2m1)y3m40，其中mR.(1)求证：直线恒过定点；(2)当m变化时，求点Q(3，4)

22、到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求AOB面积的最小值及此时的直线方程(1)证明：直线方程为(2m)x(2m1)y3m40，可化为(2xy4)m(x2y3)0对任意m都成立，所以x+2y+3=0，2x+y+4=0，解得x=1，y=2，所以直线恒过定点(1，2)(2)解：设定点为P(1，2)当m变化时，PQ直线l时，点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(1，2)的连线的距离就是所求最大值，即3+12+4+22213.此时直线过点P(1，2)且与PQ垂直，所以2m2m+124131，解得m47.故直线的方程为2x3y80.(3)解：由于直线经过定点P(1，2)，直线的斜率k存在且k0，因此可设直线的方程为y2k(x1)，可得与x轴、y轴的负半轴分别交于A2kk，0，B(0，k2)两点，2kk0，k20，解得k0.所以SAOB12k2k(2k)124+k+4k2122k4k4，当且仅当k2时取等号此时直线的方程为y22(x1)，可化为2xy40.