高考数学一轮复习第五章平面向量5-4平面向量应用举例学案理.doc

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1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量精选高考数学一轮复习第五章平面向量 5-5-4 4 平面向量应用举例学案理平面向量应用举例学案理考纲展示 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考点 1 向量在平面几何中的应用向量在几何中的应用a a(x1(x1，y1)y1)，b b(x2(x2，y2)y2)，A(x1A(x1，y1)y1)，B(x2B(x2，y2)y2)(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：abab_(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abababab0 0_.

2、_.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：cos a，b_；|AB|_.答案：(1)x1y2x2y10 (2)x1x2y1y20(3) x2x12y2y12典题 1 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足()，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )B外心A内心 D垂心C重心 答案 C- 2 - / 15解析 由()，得()，即()根据平行四边形法则知，是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量的 2倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心题点发散 1 在本例中，若动点 P 满足，(0，)，则如何选择？答案：A解析：由条件，得，

3、即.而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心题点发散 2 在本例中，若动点 P 满足，(0，)，则如何选择？答案：D解析：由条件，得，AP从而(ABBC|AB|cos BACBC|AC|cos C)|AC|BC|cos C|AC|cos C0，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心点石成金 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而- 3 - / 15使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程

4、进行求解已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若1，则 的值为_答案：2解析：解法一：如图，AF(BC1 AB)2222cos 1201，解得 2.解法二：建立如图所示平面直角坐标系由题意知，A(0,1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0)由 BC3BE，DCDF 可求，点 E，F 的坐标分别为 E，F，21，解得 2.考点 2 平面向量在三角函数中的应用典题 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 m，n，且 2mn|m|，1.(1)求角 A 的大小；(2)求ABC 的面积 S.- 4 -

5、/ 15解 (1)因为 2mn2sin cos 2cos2sin A(cos A1)sin1，又|m|1，所以 2mn|m|sin，即 sin.因为 0A，所以A，所以 A，即 A.(2)cos Acos cos( 64)cos cos sin sin 4，因为bccos A1，所以 bc.又 sin Asin sin，所以ABC 的面积 Sbcsin A().点石成金 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决2熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1

6、.已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若 mn，且acos Bbcos Acsin C，则角 A，B 的大小分别为( )B.，A.， 6D.，C.， 3答案：C- 5 - / 15解析：由 mn，得 mn0，即 cos Asin A0，即 2cos0.A，A，即 A.又 acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cc，且 acos Bbcos Acsin C，即 ccsin C，sin C1，又 C(0，)，C，B.2ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边长分别是

7、a，b，c，设向量 m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若 mn，则角 B的大小为_答案：5 6解析：mn，(ab)(sin Bsin A)(ac)sin C0，又，化简，得 a2c2b2ac，cos B.0B，B.考点 3 向量在解析几何中的应用典题 3 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足为 Q，且0.- 6 - / 15(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N：x2(y1)21 的任意一条直径，求的最值解 (1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1

8、.所以点 P 在椭圆上，其方程为1.(2)因为()()()()2221，P 是椭圆1 上的任意一点，设 P(x0，y0)，则有1，即 x16，又 N(0,1)，所以 2x(y01)2y2y017(y03)220.因为 y02，2 ，所以当 y03 时，2 取得最大值 20，故的最大值为 19；当 y02 时，2 取得最小值为 134(此时 x00)，故的最小值为 124.点石成金 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题

9、- 7 - / 15(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.如图所示，直线 x2 与双曲线 C：y21 的渐近线交于 E1，E2两点记e1，e2，任取双曲线 C 上的点 P，若ae1be2(a，bR)，则 ab( )B1 A. D.C. 1 8答案：A解析：由题意易知，E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)又点 P 在双曲线上，(ab)21，整理可得，4ab1，ab.方法技巧 1.用向量解决问题时，应注意数形结合思想和

10、转化与化归思想的应用一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决2牢记以下 4 个结论(1)重心：若点 G 是ABC 的重心，则0 或()(其中P 为平面内任意一点)；反之，若0，则点 G 是ABC 的重心(2)垂心：若点 H 是ABC 的垂心，则或222222；反之，则点 H 是ABC 的垂心(3)内心：若点 I 是ABC 的内心，则有|0；反之，若|0，则点 I 是ABC 的内心- 8 - / 15(4)外心：若点 O 是ABC 的外心，则()()()0 或|；反之，若|，则点 O 是ABC 的外心易错防范 1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间

11、的相互位置关系判断错误等2注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价3注意向量共线和两直线平行的关系；两向量 a，b 夹角为锐角和 ab0 不等价4利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况真题演练集训 12016四川卷在平面内，定点 A，B，C，D 满足|，2，动点 P，M 满足|1，则|2 的最大值是( )B.A. 49 4D.C. 372 334答案：B解析：由|知，D 为ABC 的外心由知，D 为ABC 的内心，所以ABC 为正三角形，易知其边长为 2.取 AC 的中点 E，因为 M 是 PC 的中点，所以 EMAP，所以|max|BE|，则|，故选

12、B.22015福建卷已知，|，|t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且，则的最大值等于( )B15 A13 D21C19 - 9 - / 15答案：A解析： ，故以 A 为原点，AB，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设 B，C(t,0)，则(4,1)，故点 P 的坐标为(4,1)(t4，1)4t17PB1721713.当且仅当 4t，即 t时(负值舍去)取得最大值 13.32015天津卷在等腰梯形 ABCD 中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和DC 上，且，则的最小值为_答案：29 18解析：在等腰梯形 ABCD 中，由ABDC

13、，AB2，BC1，ABC60，可得 ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0,0)，B(2,0)，C，D，(2,0)，BC(1,0)DC ， E. ， F. (1 21 9，32)2，- 10 - / 15当且仅当，即 时等号成立，符合题意 的最小值为.42016江苏卷如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，4，1，则的值是_答案：7 8解析：解法一：以 D 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，线段 BC的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则 E，F，(ba，c)，(ba，c)，CA，CF，CE由b

14、2a2c24，a21，BF解得 b2c2，a2，则(b2c2)a2.解法二：设a，b，则(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2， 则(a2b)(a2b)4|b|2|a|2.课外拓展阅读 巧解平面向量高考题的 5 种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解- 11 - / 15决基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用

15、其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决下面对辽宁省的一道高考试题采用 5 种不同的求解方法进行解答典例 若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为( )B1A.1 D2C. 解法一：目标不等式法思路分析 解析 因为|a|b|c|1，ab0，所以|ab|2a2b22ab2，故|ab|.展开(ac)(bc)0，得abab(a(ab)cb)cc20c20，即 0(ab)c10，整理，得(ab)c1.而|abc|2(ab)22(ab)cc232(ab)c，所以 32(ab)c3211.所以|abc|21，即|abc|1.答案 B解法二：向量基底

16、法思路分析 解析 取向量 a，b 作为平面向量的一组基底，设 cmanb.- 12 - / 15由|c|1，即|manb|1，可得(ma)2(nb)22mnab1，由题意知，|a|b|1，ab0.整理，得 m2n21.而 ac(1m)anb，bcma(1n)b，故由(ac)(bc)0，得(1m)anbma(1n)b0，展开，得 m(m1)a2n(n1)b20，即 m2mn2n0.又 m2n21，故 mn1.而 abc(1m)a(1n)b，故(abc)2(1m)a(1n)b(1m)2a22(1m)(1n)ab(1n)2b2(1m)2(1n)2m2n22(mn)232(mn)又 mn1，所以 32

17、(mn)1.故|abc|21，即|abc|1.答案 B解法三：坐标法思路分析 解析 因为|a|b|1，ab0，所以a，b.设a，b，c，因为 ab，所以 OAOB.分别以 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如- 13 - / 15图所示，则 a(1,0)，b(0,1)，则 A(1,0)，B(0,1)设 C(x，y)，则 c(x，y)，且 x2y21.则 ac(1x，y)，bc(x,1y)，故由(ac)(bc)0，得(1x)(x)(y)(1y)0，整理，得 1xy0，即 xy1.而 abc(1x,1y)，则|abc|1x21y2.因为 xy1，所以 32(xy)1，即|

18、abc|1.所以|abc|的最大值为 1.答案 B解法四：三角函数法思路分析 解析 因为|a|b|1，ab0，所以a，b.设a，b，c，因为 ab，所以 OAOB.分别以 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 a(1,0)，b(0,1)，则 A(1,0)，B(0,1)因为|c|1，设COA，- 14 - / 15所以 C 点的坐标为(cos ，sin )则 ac(1cos ，sin )，bc(cos ，1sin )，故由(ac)(bc)0，得(1cos )(cos )(sin )(1sin )0，整理，得 sin cos 1.而 abc(1cos ，1sin

19、 )，则|abc|1cos 21sin 2.因为 sin cos 1，所以 32(sin cos )1，即|abc|1.所以|abc|的最大值为 1.答案 B解法五：数形结合法思路分析 解析 设a，b，c，因为|a|b|c|1，所以点 A，B，C 在以 O 为圆心、1 为半径的圆上易知ac，bc，|c|.由(ac)(bc)0，可知0，则BCA(因为 A，B，C 在以 O 为圆心的圆上，所以A，B，C 三点不能共线，即BCA)，故点 C 在劣弧 AB 上由 ab0，得 OAOB，设ab，如图所示，- 15 - / 15因为 abc，所以|abc|，即|abc|为点 D 与劣弧 AB 上一点 C 的距离，显然，当点 C 与 A 或 B 点重合时，CD 最长且为 1，即|abc|的最大值为 1.答案 B