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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-45-4 平面向量的应用第平面向量的应用第 1 1 课时平面向量在几何中的应用教师课时平面向量在几何中的应用教师用书用书1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ab ba ab bx1y2x2y10，其中a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，b b0 0垂直问题数量积的运算性质a ab ba ab b0x1x2y1y20，其中a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，且a a，
2、b b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a a，b b的夹角)，其中ab |a|b|a a，b b为非零向量长度问题数量积的定义|a a|，其中a a(x，y)，a a为非零向a2x2y2量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即WFs|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角)2 / 183向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三
3、角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若 G 是ABC 的重心，则0.2若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则 A，B，C 三点共线( )(2)向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量( )(3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角( )(4)在ABC 中，若0，b0)的左，右焦点，点 P 在第一象限，且满足|a，()0，线段 PF2 与双曲线 C 交于点 Q，
4、若5，则双曲线 C 的渐近线方程为( )Ayx ByxCyx Dyx答案 (1) (2)B解析 (1)圆心 O 是直径 AB 的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，最小由条件知，当 POPC时，最小值为2.(2)由()0，可得|2c，11 / 18则点 P(x，y)(x0，y0)满足Error!解得Error!又5，解得 Q(c，)，又 Q 在双曲线 C 上，代入双曲线方程化简得80c4168a2c285a40，则(4c25a2)(20c217a2)0，又ca，所以 4c25a20,4(a2b2)5a20，则 a2b，则双曲线 C的渐近线方程为 yxx，故选 B.1111函数与方
5、程思想在向量中的应用函数与方程思想在向量中的应用典例 (1)设 e1，e2 为单位向量，非零向量 bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为，则的最大值等于_(2)在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点若，则 _.思想方法指导 求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解解析 (1)因为 b0，所以 bxe1ye2，x0 或 y0.当 x0，y0 时，0；当 x0 时，|b|2
6、(xe1ye2)2x2y2xy，|x|2 |b|2不妨设t，则，当 t时，t2t1 取得最小值，12 / 18此时取得最大值 4，所以的最大值为 2.综上，的最大值为 2.(2)由，得()()，得(1)()0，得(1)()()0，得(1)()0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得Error!解得所以 .答案 (1)2 (2)4 51(2015安徽)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足2a，2ab，则下列结论正确的是( )A|b|1 BabCab1 D(4ab)BC答案 D解析 在ABC 中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以 ab|a|b|cos 1201
7、，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选 D.2在ABC 中，()|2，则ABC 的形状一定是( )A等边三角形 B等腰三角形13 / 18C直角三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC 一定是直角三角形3. 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于( )AabB.abCabD.ab答案 D解析 连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且a，所以ba.4已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足x2，
8、则点 P 的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D14 / 18解析 (2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点 P 的轨迹是抛物线5已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( )A2 B3 C. D.10答案 B解析 设点 A 的坐标为(a2，a)，点 B 的坐标为(b2，b)，直线 AB 的方程为 xtym，与抛物线 y2x 联立得 y2tym0，故abm，由2 得 a2b2ab2，故 ab2 或 ab1(舍去)，所以 m2，所以ABO 的面积等
9、于 m|ab|ab|a|，AFO 的面积等于|a|，所以ABO 与AFO 的面积之和等于|a|2 3，当且仅当|a|，即|a|时“”成立，故选 B.6. 在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点 P 是边 AB 上异于 A，B的一点光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P(如图)若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于( )A2 B1C. D.4 3答案 D解析 分别以 AB，AC 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC 的重心 D(，)，设 APx，从15 / 18而 P(x,0)，x(0,4)，由光的几
10、何性质可知点 P 关于直线 BC，AC 的对称点 P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC 的重心 D(，)共线，所以，解得 x.7(2016杭州模拟)已知平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，a 与b 的夹角为.以 a，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_答案 3解析 |ab|2|ab|24ab4|a|b|cos 40，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.8已知点 D 为ABC 所在平面上一点，且满足，若ACD 的面积为 1，则ABD 的面积为_答案 4解析 由，得 54，所以4()，即4.所以点 D 在边 BC 上，且|4|，所以
11、 SABD4SACD4.9已知直线 2xy20 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，椭圆1(ab0)的左焦点 F1 和上顶点 D，若0，则该椭圆的离心率16 / 18e_.答案 2 55解析 因为直线 2xy20 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，所以 A(1,0)，B(0，2)，易知 F1(c,0)，D(0，b)，所以(c,2)，(1，b)因为0，所以c2b0，所以，即 ，所以，所以该椭圆的离心率 e.10若平面向量 ， 满足|1，|1，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为，则 与 的夹角 的取值范围是_答案 ，解析 如图，向量 与 在单位圆 O 内，因为|1，|1，且以向量
12、， 为邻边的平行四边形的面积为，故以向量 ， 为边的三角形的面积为，故 的终点在如图的线段 AB 上(，且圆心 O 到线段 AB 的距离为)，因此夹角 的取值范围为，11(2016嘉兴第二次教学测试) 如图，设正BCD 的外接圆 O 的半径为 R(R)，点 A 在 BD 下方的圆弧上，则()的最小值为17 / 18_答案 1 2解析 因为()()|2|(|1)2，因为 R|2R，而R，所以当|1 时，取到最小值.12. 如图，已知ABC 的面积为 14 cm2，D，E 分别为边 AB，BC 上的点，且 ADDBBEEC21，求APC 的面积解 设a，b 为一组基底，则ab，ab.因为点 A，P
13、，E 与 D，P，C 分别共线，所以存在 和 使ab，ab.DP又()ab，所以解得Error!所以 SPABSABC148(cm2)，SPBC(1)SABC142(cm2)，于是 SAPC14824(cm2)13已知点 P(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点M 满足0，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程解 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设 A(a,0)，Q(0，b)(b0)，18 / 18则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得 a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把 a代入，得(x)3y0，整理得 yx2(x0)动点 M 的轨迹方程为 yx2(x0)
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