高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何第第 3 3 节圆的方程教师用书文新人教节圆的方程教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，(D 2，E 2)半径1 2 D2E24F2.点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2

2、 的位置关系：(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆( )(3)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是2 / 13AC0，B0，D2E24AF0.( )(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则xyDx0Ey0F0

3、.( )解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当 t0 时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是( )Aa2 或 a Ba0C2a0D2a2 3D D 由题意知由题意知 a2a24a24a24(2a24(2a2a a1)1)0 0，解得2a.3(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为 1，则 a( )A B C. D2A A 圆圆 x2x2y2y22x2x8y8y13130 0，得圆心坐标为，得圆心坐

4、标为(1,4)(1,4)，所以圆，所以圆心到直线心到直线 axaxy y1 10 0 的距离的距离 d d1 1，解得，解得 a a.4(2017西安质检)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_x2(y1)21 两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，标准方程为 x2(y1)21.5(2015全国卷)一个圆经过椭圆1 的三个顶点，且圆3 / 13心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_2y2 由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐(x3 2)标为(4,

5、0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(00)，则解得所以圆的标准方程为 2y2.求圆的方程(1)(2015全国卷)已知三点 A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B.213C.D.4 3(2)(2016天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M(0，)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆 C 的方程为_(1)B (2)(x2)2y29 (1)法一：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察

6、得出)，所以ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心所以|AE|AD|，从而|OE|，故选 B.法二：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则解得Error!所以ABC 外接圆的圆心为.因此圆心到原点的距离 d.(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d，解得 a2，4 / 13所以圆 C 的半径 r|CM|3，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.规律方法 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法求圆的方程：若已知条件与圆心(a，b)和半径r

7、有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练 1 (2017河南百校联盟联考)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为_x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210) 法一 圆过 A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y(x4)设所求圆的圆心为

8、C(a，b)，则有Error!解得 a2，且 b1.因此圆心坐标 C(2,1)，半径 r|AC|.故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则Error!解得 D4，E2，F5，所求圆的方程为 x2y24x2y50.5 / 13与圆有关的最值问题已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解 (1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2.2 分又|QC|4，|MQ|max4

9、26，|MQ|min422.5 分(2)可知表示直线 MQ 的斜率 k.6 分设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.8 分由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以2，可得 2k2，的最大值为 2，最小值为 2.12 分迁移探究 1 (变化结论)在本例的条件下，求 yx 的最大值和最小值解 设 yxb，则 xyb0.3 分当直线 yxb 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值，2，b9 或 b1.10 分因此 yx 的最大值为 9，最小值为 1.12 分迁移探究 2 (变换条件结论)若本例中条件“点 Q(2,3)”改为“点 Q 是直线 3x4y10 上的动点” ，其它条件不变，试

10、求|MQ|的最小值解 圆心 C(2,7)到直线 3x4y10 上动点 Q 的最小值6 / 13为点 C 到直线 3x4y10 的距离，|QC|mind7.5 分又圆 C 的半径 r2，|MQ|的最小值为 72.12 分规律方法 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解2某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的变式训练 2 设 P 为直线 3x4y110 上的动点，过点 P作圆 C：x2y22x2y10 的两条切线，切点分

11、别为 A，B，求四边形 PACB 的面积的最小值解 圆的标准方程为(x1)2(y1)21，2 分圆心为 C(1,1)，半径为 r1.5 分根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为2SAPC2|PA|r|PA|.8 分要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线 l：3x4y110 的距离d2.10 分所以四边形 PACB 面积的最小值为.12 分|PC| 2minr2与圆有关的轨迹问题(2014全国卷)已知点 P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M，O 为坐标原点7 / 13(1)求 M 的

12、轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为 4.2 分设 M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.5 分(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.7 分因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为，故 l 的方程为 yx.

13、10 分又|OM|OP|2，O 到 l 的距离为，|PM|，所以POM 的面积为.12 分规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练 3 已知点 A(1,0)，点 B(2,0)，动点 C 满足|AC|AB|，求点 C 与点 P(1,4)所连线段的中点 M 的轨迹方程. 【导学号：31222293】8 / 13解 由题意可知：动点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为

14、(x1)2y29.3 分设 M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x01,2y04)，6 分代入点 C 的轨迹方程得 4x4(y02)29，化简得 x(y02)2，10 分故点 M 的轨迹方程为 x2(y2)2.12 分思想与方法1确定一个圆的方程，需要三个独立条件， “选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算易错与防范1二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视D2E24F0 这一前提条件2求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程3求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方

15、程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线课时分层训练课时分层训练( (四十七四十七) ) 圆的方程圆的方程A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A(x1)2(y1)21 9 / 13B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D D 圆的半径圆的半径 r r，圆的方程为圆的方程为(x(x1)21)2(y(y1)21)22.2.2圆 x2y22x4y30 的圆心到直线 xy1 的距离为( )A2 B. C1 D.2D D 圆的方程可化为圆的方程可化为(x(x1)21)2(y(y2)22)22 2，则圆

16、心坐标为，则圆心坐标为(1(1，2)2)故圆心到直线 xy10 的距离 d.3(2017山西运城二模)已知圆(x2)2(y1)216 的一条直径通过直线 x2y30 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A3xy50Bx2y0Cx2y40D2xy30D D 易知圆心坐标为易知圆心坐标为(2(2，1)1)由于直线 x2y30 的斜率为，该直径所在直线的斜率 k2.故所求直线方程为 y12(x2)，即 2xy30.4若圆心在 x 轴上，半径为的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线x2y0 相切，则圆 O 的方程是( )A(x)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25D

17、D 设圆心为设圆心为(a,0)(a(a,0)(a0)0)，则 r，解得 a5，所以圆 O 的方程为(x5)2y25.10 / 135(2017重庆四校模拟)设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ|的最小值为( )A6 B4 C3 D2B B 如图所示，圆心如图所示，圆心 M(3M(3，1)1)与直线与直线x x3 3 的最短距离为的最短距离为|MQ|MQ|3 3( (3)3)6 6，又圆的，又圆的半径为半径为 2 2，故所求最短距离为，故所求最短距离为 6 62 24.4.二、填空题6(2016浙江高考)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y

18、5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4) 5 由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为4x24y24x8y100，即 x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是 5.7已知点 M(1,0)是圆 C：x2y24x2y0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是_【导学号：31222294】xy10 圆 C：x2y24x2y0 的圆心为 C(2,1)，则 kCM1.过点 M 的最短弦与 CM 垂直，最短弦所在直线的方程为y01(x

19、1)，即 xy10.8在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线11 / 13mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_. 【导学号：31222295】(x1)2y22 因为直线 mxy2m10 恒过定点(2，1)，所以圆心(1,0)到直线 mxy2m10 的最大距离为d，所以半径最大时的半径 r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.三、解答题9已知直线 l：yxm，mR，若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程【导学号：31222296】解 法一：依题意，点 P 的坐标为(0，m)，2 分因为

20、 MPl，所以11，5 分解得 m2，即点 P 的坐标为(0,2)，8 分圆的半径 r|MP|2，故所求圆的方程为(x2)2y28.12 分法二：设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2，2 分依题意，所求圆与直线 l：xym0 相切于点 P(0，m)，则 6 分解得 10 分所以所求圆的方程为(x2)2y28.12 分10(2015广东高考改编)已知过原点的动直线 l 与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；12 / 13(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程解 (1)由 x2y26x50 得(x3)2y24，2 分所以

21、圆 C1 的圆心坐标为(3,0).5 分(2)设 M(x，y)，依题意0，所以(x3，y)(x，y)0，则 x23xy20，所以 2y2.7 分又原点 O(0,0)在圆 C1 外，因此中点 M 的轨迹是圆 C 与圆 C1 相交落在圆 C1 内的一段圆弧由消去 y2 得 x，因此x3.10 分所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 2y2.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2017佛山模拟)设 P(x，y)是圆(x2)2y21 上的任意一点，则(x5)2(y4)2 的最大值为( )A6B25 C26D36D D (x(x5)25)2(y(y4)24)2 表示点表示点 P(xP

22、(x，y)y)到点到点(5(5，4)4)的距离的的距离的平方点平方点(5(5，4)4)到圆心到圆心(2,0)(2,0)的距离的距离 d d5.5.则点 P(x，y)到点(5，4)的距离最大值为 6，从而(x5)2(y4)2 的最大值为 36.2(2017济南调研)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程是_13 / 13(x2)2(y1)24 设圆 C 的圆心为(a，b)(b0)，由题意得 a2b0，且 a2()2b2，解得 a2，b1，所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.3已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称【导学号：31222297】(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求的最小值解 (1)设圆心 C(a，b)，由已知得 M(2，2)，则解得 2 分则圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y22.5 分(2)设 Q(x，y)，则 x2y22，(x1，y1)(x2，y2)PQx2y2xy4xy2.8 分令 xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4.12 分