高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12-3数学归纳法学案理.doc

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1、- 1 - / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十二章推理与证精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数明算法复数 12-312-3 数学归纳法学案理数学归纳法学案理考纲展示 1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题考点 1 用数学归纳法证明等式数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立，这一步是归纳奠基假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立，这一步是归纳递推完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n都成

2、立(2)框图表示：答案：(1)nk1典题 1 用数学归纳法证明：(nN*)证明 (1)当 n1 时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即有- 2 - / 10，1 2 4则当 nk1 时，1 2k12k121 4k1k2kk21 4k1k2.所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立点石成金 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)明确初始值 n0 的取值并验证 nn0 时等式成立(2)由 nk 证明 nk1 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法考点 2 用数学归纳法

3、证明不等式典题 2 用数学归纳法证明：10，又 ak2ak110，nN*.- 4 - / 10(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性(1)解 当 n1 时，由已知，得a11，则 a2a120.a11(a10)当 n2 时，由已知，得 a1a21，将 a11 代入并整理得 a2a220.a2(a20)同理可得 a3.猜想 an(nN*)(2)证明 由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak.由于 ak1Sk1Sk，将 ak代入上式，整理得 a2ak120，ak1，即 nk1 时通项公式成立由可知，对所

4、有 nN*，an都成立点石成金 “归纳猜想证明”的基本步骤是“观察归纳猜想证明” 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题角度二证明存在性问题典题 4 设 a11，an1b(nN*)(1)若 b1，求 a2，a3 及数列an的通项公式；- 5 - / 10(2)若 b1，问：是否存在实数 c 使得 a2nf(a2k1)f(1)a2，即 1ca2k2a2.再由 f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即 a2n1a2n2，所以 a2n1 1，解得 a2n1.综上，由知，存在 c使 a2n0(nN*)(1)猜想an的通项公式，并用数学

5、归纳法加以证明；(2)设 x0，y0，且 xy1，证明：.- 8 - / 10审题视角 (1)将 n1,2,3 代入已知等式得 a1，a2，a3，从而可猜想 an，并用数学归纳法证明(2)利用分析法，结合 x0，y0，xy1，利用基本不等式可证(1)解 分别令 n1,2,3，得an0，a11，a22，a33.猜想：ann.2Snan，当 n2 时，2Sn1a(n1)，得 2anaa1，即 a2ana1.()当 n2 时，a2a2121，a20，a22.()假设当 nk(k2)时，akk，那么当 nk1 时，a2ak1a12ak1k21，ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k

6、1)0，ak1k1.即当 nk1 时也成立ann(n2)显然 n1 时，也成立，故对于一切 nN*，均有 ann.(2)证明 要证，只要证 nx12ny12(n2)即 n(xy)222(n2)，将 xy1 代入，得 2n2，即只要证 4(n2xyn1)(n2)2，- 9 - / 10即 4xy1.x0，y0，且 xy1，即 xy，故 4xy1 成立，所以原不等式成立答题模板第 1 步：寻找特例 a1，a2，a3 等第 2 步：猜想 an 的公式第 3 步：转换递推公式为 an 与 an1 的关系第 4 步：用数学归纳法证明 an.验证递推公式中的第一个自然数 n2.推证 ak1 的表达式为 k

7、1.补验 n1，说明对于 nN*成立第 5 步：分析法证明方法点睛 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明” ，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)为了正确地猜想 an，首先准确求出 a1，a2，a3 的值(3)证明 nk 到 nk1 这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法如本题：2Sn1an1，2(SnSn1)aa1，推导 an 与 an1的递推关系，再推出 an，则不是数学归纳法(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于 n 的不等式，由 xy1 来推证，则不能称为数学归纳法- 10 - / 10