高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-4随机事件的概率学案理.doc

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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布随机变量及其分布 11-411-4 随机事件的概率学案理随机事件的概率学案理考纲展示 1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式考点 1 随机事件的关系1.事件的分类答案：一定会 一定不会 可能发生也可能不2频率和概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的_nA 为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例 fn(

2、A)为事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的_稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A的概率，简称为 A 的概率答案：(1)次数 (2)频率 fn(A)3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_(或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB- 2 - / 14并事件(和事件)若某事件发生当且仅当_，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

3、_(或AB)续表定义符号表示互斥事件若AB为_事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为_事件，AB为_事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU答案：一定发生 BA 事件 A 发生或事件 B 发生 事件 A 发生且事件 B 发生 AB 不可能 不可能 必然教材习题改编从 6 名男生、2 名女生中任选 3 人，则下列事件：3 人都是男生；至少有 1 名男生；3 人都是女生；至少有 1名女生其中是必然事件的序号有_答案：解析：因为只有 2 名女生，所以任选 3 人，至少有 1 人是男生.概率的基本概念：事件的概念；频率与概率的关系(1)抛掷骰子一次，出现的点数可能是 1,2,3,

4、4,5,6，设事件 A 表示出现的点数是偶数或不小于 5，则 A_.答案：2,4,5,6解析：出现偶数有 2,4,6，不小于 5 有 5,6，所以事件A2,4,5,6- 3 - / 14(2)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是_答案：0.90解析：击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91，易知击中靶心的频率在 0.90 附近摆动，故 P(A)0.90.典题 1 (1)2017湖北十市联考从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那

5、么互斥而不对立的两个事件是( )A “至少有一个黑球”与“都是黑球”B “至少有一个黑球”与“都是红球”C “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示“向上的一面出现奇数点” ，事件 B 表示“向上的一面出现的点数不超过 3” ，事件 C 表示“向上的一面出现的

6、点数不小于 4” ，则( )AA 与 B 是互斥而非对立事件BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件- 4 - / 14答案 D解析 根据互斥事件与对立事件的定义作答，AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC( 为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件点石成金 判别互斥事件与对立事件的两种方法(1)定义法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合，彼此的交集为空集，则事件互斥事件

7、A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集考点 2 随机事件的概率概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率 P(E)_.(3)不可能事件的概率 P(F)_.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_.若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件，P(AB)_，P(A)_.答案：(1)0,1 (2)1 (3)0 (4)P(A)P(B) 1 1P(B)- 5 - / 14(1)2017贵州贵阳一中适应性考试某校新生分班，现有A，B，C 三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可

8、能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为( )A. B. C. D.3 4答案：A解析：甲，乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共 9种，其中符合条件的有 3 种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为，故选 A.(2)教材习题改编记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若A 是不超过 5 的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为 1 的概率为_答案：2 9解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过 5 的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共 9 个

9、，其中个位是 1 的有 21,41，共 2 个，因此所求的概率为.典题 2 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买.商品顾客人数 甲乙丙丁10021720030085- 6 - / 1498(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统

10、计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为0.3.100200 1 000(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大题点发散 1 在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率解：解法一：顾客购买乙而不购买丙的概率为0.315，顾客购买丙而不购买乙的概率为0.4，顾客既购买

11、乙又购买丙的概率为0.2.故顾客购买乙或丙的概率为 0.3150.40.20.915.解法二：顾客既不购买乙也不购买丙的概率为0.085.故顾客购买乙或丙的概率为 10.0850.915.- 7 - / 14题点发散 2 在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？解：顾客只购买一件商品的概率为0.183.故顾客至少购买两件商品的概率是 10.1830.817.点石成金 1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事

12、件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.随机抽取一个年份，对市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计市在该天不下雨的概率；(2)某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解：(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，市不下雨的概率为.(2

13、)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为.- 8 - / 14以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.考点 3 互斥事件与对立事件的概率(1)教材习题改编若 A，B 为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则 P(B)_.答案：0.3解析：A，B 为互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.4P(B)0.7，P(B)0.70.40.3.(2)教材习题改编经统计，在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345 人

14、及以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有 2 人排队的概率为_答案：0.74解析：依题意， “至少有 2 人排队”记为事件 A，则其对立事件为至多有 1 人排队，所以 P(A)1(0.10.16)0.74.互斥事件：不同时发生；加法公式某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，设 A恰有 1 名男生，B恰有 2 名男生，C至少有 1 名男生，D至少有 1 名女生，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_答案：A 与 B，B 与 D B 与 D解析：设 I 为从 3 名男生和 2 名女生中，任选 2 名同学去参加演讲比赛所发生的所有情况- 9 -

15、 / 14因为 AB，BD，所以 A 与 B，B 与 D 为互斥事件因为 BD，BDI，所以 B 与 D 互为对立事件典题 3 2017河南洛阳模拟经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解 记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件A，B，C，D，

16、E，F 互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.点石成金 求复杂互斥事件概率的两种方法- 10 - / 14(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式 P(A)1P(

17、)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多” “至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件 A，B，C 的概率分别为，

18、 ，.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.A，B，C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故 1 张奖券的中奖概率为.(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)- 11 - / 141.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.方法技巧 1.从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所

19、含的结果组成的集合的补集2当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)真题演练集训 12014新课标全国卷4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.7 8答案：D解析：4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有 1 种，所求概率为 1.22015江苏卷袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1只白球、1 只红球、2 只黄球从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同

20、的概率为_答案：5 6解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为 P.32016北京卷A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们- 12 - / 14的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班6 6.5 7 7.5 8B 班6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计 C 班的学生人数；(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从 A，B，C

21、 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位：小时)这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0 和 1 的大小(结论不要求证明)解：(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8名根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为 10040.(2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” ，i1,2，5，事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” ，j1,2，8.由题意可知，P(Ai)，i1,2，5；P(Cj)，j1,2，8.P(AiCj)P(Ai)P(Cj)，i1,

22、2，5，j1，2，8.设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” 由题意知，EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)- 13 - / 14P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15.(3)10.课外拓展阅读 方程思想在概率问题中的运用探讨典例 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概

23、率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？思路分析 本题可利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解，也可逐个求各色球的个数再求其概率解 解法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球” “摸到黑球” “摸到黄球” “摸到绿球”分别为 A，B，C，D，则有 P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，联立解得 P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是， ，.解法二：设红球有 n 个，则，所以 n4，即红球有 4 个又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共 5 个又总球数是 12，所以绿球有 12453(个)- 14 - / 14又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共 5 个，而绿球有 3 个，所以黄球有 532(个)所以黑球有 12432 3(个)因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.