高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-3二项式定理学案理.doc

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1、- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布随机变量及其分布 11-311-3 二项式定理学案理二项式定理学案理考纲展示 1.能利用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考点 1 二项展开式中特定项或系数问题二项式定理二项式定理(ab)n_二项式系数二项展开式中各项系数 Ck n(k0,1，n)二项式通项Tk1_，它表示第_项答案：CanCan1bCankbkCbn(nN*) Cankbk k1(1)教材习题改编(12x)7 的展开式的第 4 项的系数是_答案：

2、280解析：展开式中，Tr1C(2x)rC(2)rxr，当 r3时，T4C(2)3x3280x3，所以第 4 项的系数为280.(2)教材习题改编12 的展开式的常数项是_答案：495解析：展开式中，Tr1Cx12rr(1)rCx123r，当r4 时，T5C495 为常数项.典题 1 (1)在二项式 5 的展开式中，含 x4 的项的系数是( )- 2 - / 12A10 B10 C5 D20答案 A解析 由二项式定理可知，展开式的通项为 C(1)rx103r，令 103r4，得 r2，所以含 x4 项的系数为 C(1)210，故选 A.(2)2017吉林长春模拟5 的展开式中的常数项为( )A

3、80 B80 C40 D40答案 C解析 Tr1C(x2)5rr(2)rCx105r，由 105r0，得 r2，T3(2)2C40.(3)2015湖南卷已知 5 的展开式中含 x) 的项的系数为 30，则 a( )A. B C6 D6答案 D解析 Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得 r1.由 C(a)30，得 a6.故选 D.(4)8 的展开式中的有理项共有_项答案 3解析 8 的展开式的通项为 Tr1C()8rrrCx (r0,1,2，8)，为使 Tr1 为有理项，r 必须是 4 的倍数，所以- 3 - / 12r0,4,8，故共有 3 个有理项(5)二项式 n 的展开式中含有非零常数

4、项，则正整数 n 的最小值为_答案 5解析 二项展开式的的通项是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令 3n5r0，得 n(r0,1,2，n)，故当 r3 时，n 有最小值 5.点石成金 1.求展开式中的特定项，可依据条件写出第 k1 项，再由特定项的特点求出 k 的值即可2已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 k1 项，由特定项得出 k 的值，最后求出其参数考点 2 二项式系数及项的系数问题二项式系数的性质答案：相等 递增的 递减的 一项 两项2n 2n1二项式系数与项的系数的区别已知(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项

5、的二项式系数和为_答案：29解析：因为展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以CC，解得 n10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为 2n129.1.系数和：赋值法- 4 - / 12若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4 的值为_答案：8解析：令 x1，得 a0a1a2a3a40；令 x1，得a0a1a2a3a416.故 a0a2a48.2通项公式：Tr1Canrbr.7 的展开式中 x5 的系数是_(用数字填写答案)(x31 x)答案：35解析：Tr1C(x3)7rrCx214r，令 214r5，得r4，因此 x5 的系数为 C35.

6、典题 2 2017四川成都一中模拟设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11 的值为( )B1 A2 D2 C1 答案 A解析 令等式中 x1，可得 a0a1a2a11(11)(1)92，故选 A.点石成金 1.赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可2二项式系数最大项的确定方法(1)如果 n 是偶数，则中间一项的二

7、项式系数最大；- 5 - / 12(2)如果 n 是奇数，则中间两项第项与第1 项的二项式系数相等并最大.1.在(1x)n(xN*)的二项展开式中，若只有 x5 的系数最大，则 n( )A8 B9 C10 D11答案：C解析：二项式中仅 x5 的系数最大，其最大值必为，即得5，解得 n10.2若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，则实数 m 的值为( )B3A1 或 3 D1 或3 C1 答案：D解析：令 x0，得 a0(10)61.令 x1，得(1m)6a0a1a2a6.又 a1a2a3a663，(1m)66426，m1 或 m3.考点 3 多项式展开式中的特定项或系

8、数问题考情聚焦 在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归能力主要有以下几个命题角度：角度一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题典题 3 2017山东荣成模拟在 1(1x)(1x)- 6 - / 122(1x)3(1x)4(1x)5 的展开式中，含 x2 项的系数是( )A10 B15 C20 D25答案 C解析 含 x2 项的系数为 CCCC20.角度二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题典题 4 2015新课标全国卷(ax)(1x)4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.答案 3解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.

9、令 x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令 x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)232，a3.角度三三项展开式中的特定项(系数)问题典题 5 2015新课标全国卷(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为( )A10 B20 C30 D60答案 C解析 解法一：(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 Cx4xCx5.- 7 - / 12所以 x5y2 的系数为 CC30.故选 C.解法二：(x2xy)5 为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即

10、可，所以 x5y2 的系数为 CCC30.故选 C.点石成金 1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可2对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决考点 4 二项式定理的应用典题 6 (1)设 aZ，且 0a2n1(n3，nN*)证明 当 n3，nN*时，2n(11)nCCCCn nCCCC2n22n1，不等式成立点石成金 1.整除问题和求近似值是二项式定理的两类常见的应用问题，整除问

11、题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3由于(ab)n 的展开式共有 n1 项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的190C902C903C(1)k90kC9010C 除以 88 的余数是( )B1 A1 D87C87 答案：B解析：190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前 10 项均能被 88 整除，余数是 1.方法技巧 二项展开式的通项 Tk1Cankbk 中含有- 9 - / 12a，b，n，k，Tk1 五个

12、元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题，这里必须注意 n 是正整数，k 是非负整数，且kn.(1)第 m 项：此时 k1m，直接代入通项(2)常数项：即项中不含“变元” ，令通项中“变元”的幂指数为0 建立方程(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程真题演练集训 12016新课标全国卷(2x)5 的展开式中，x3 的系数是_(用数字填写答案)答案：10解析：由(2x)5，得 Tr1C(2x)5r()r25 rCx，令53，得 r4，此时系数为 10.22016北京卷在(12x)6 的展开式中，x2 的系数为

13、_(用数字作答)答案：60解析：(1 2x)6 的展开式的通项 Tr1C(2)rxr，当 r2 时，T3C(2)2x260x2，所以 x2 的系数为 60.32016天津卷8 的展开式中 x7 的系数为_(用数字作答)答案：56解析：二项展开式的通项 Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，令 163r7，得 r3，故 x7 的系数为C56.- 10 - / 1242016山东卷若 5 的展开式中 x5 的系数是80，则实数a_.答案：2解析：5 的展开式的通项 Tr1C(ax2)5rx) Ca5rx，令 10r 5，得 r2，所以 Ca380，解得a2.52014新课标全国卷(xy)(x

14、y)8 的展开式中 x2y7 的系数为_(用数字填写答案)答案：20解析：x2y7x(xy7)，其系数为 C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7 的系数为 CC82820.课外拓展阅读 二项展开式中赋值法的应用典例 在(2x3y)10 的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和审题视角 求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解解 设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和即为 a0a1a1

15、0，奇数项系数的和为 a0a2a10，- 11 - / 12偶数项的系数和为 a1a3a5a9，x 的奇次项系数和为 a1a3a5a9，x 的偶次项系数和为 a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为 CCC210.(2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为 CCC29.偶数项的二项式系数和为 CCC29.(4)令 xy1，得到 a0a1a2a101.令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510，得 2(a0a2a10)1510，奇数项系数的和为；，得 2(a1a3a9)1510

16、，偶数项系数的和为.(5)x 的奇次项系数和为 a1a3a5a9；x 的偶次项系数和为 a0a2a4a10.方法点睛(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意例：若 f(x)- 12 - / 12a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数的和为 f(1)，奇数项系数的和为 a0a2a4，偶数项系数的和为a1a3a5，令 x0，可得 a0f(0)