分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理).ppt

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1、第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布列知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线两个原理两个原理理理1.理解分理解分类类加法加法计计数原数原 理和分步乘法理和分步乘法计计数数 原理原理2会用分会用分类类加法加法计计数数 原理和分步乘法原理和分步乘法计计 数原理解决一些数原理解决一些简单简单 的的实际问题实际问题.1.两个原理的考两个原理的考查查 多多应应用于排列用于排列组组合合 应应用用题题中，常以中，常以 选择选择、填空、填空题题的的 形式出形式出现现2注意分注意分类讨论类讨论思思 想的运用想的运用知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线排列排列组组合合理理1.理解排列、理解排列

2、、组组合合 的概念的概念2能利用能利用计计数原数原 理推理推导导排列数公排列数公 式、式、组组合数公式合数公式3能解决能解决简单简单的的实实 际问题际问题.融融排排列列、组组合合问问题题于于实实际际问问题题中中考考查查，主主要要考考查查分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力，要要注注意意捆捆绑绑法法、插插空空法法、隔隔板板法法、分分组组分分配配问问题等的应用题等的应用知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线二二项项式式定理定理理理1.能用能用计计数原理数原理证证明明二二项项式定理式定理2会用二会用二项项式定理式定理 解决与二解决与二项项展开展开 式有关的式有关的简单问题简单问题.主

3、主要要在在选选择择填填空空中中考考查查利利用用通通项项公公式式求求展展开开式式中中某某项项的的系系数数、特特定定项项、项项的的系系数数的的最最值值问问题题及及几几个个二二项项式式和和或或积积展展开开式式中中某某项的系数等项的系数等知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线随机事件随机事件的概率的概率1.了解随机事件了解随机事件发发生的生的 不确定性和不确定性和频频率的率的稳稳 定性，了解概率的意定性，了解概率的意 义义，了解，了解频频率与概率率与概率 的区的区别别2了解两个互斥事件了解两个互斥事件的概率加法公式的概率加法公式.重重点点考考查查互互斥斥事事件件的的概概率率求求法法，各种题型均有

4、各种题型均有知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线古典概型古典概型与几何概与几何概型型1.理解古典概型及其概率理解古典概型及其概率 计计算公式算公式2会用列会用列举举法法计计算一些随算一些随 机事件所含的基本事件机事件所含的基本事件 数及事件数及事件发发生的概率生的概率3了解随机数的意了解随机数的意义义，能，能 运用模运用模拟拟方法估方法估计计概率概率4了解几何概型的意了解几何概型的意义义.1.多在多在选择选择，填，填 空空题题中与其他中与其他 概率概率类类型相型相结结 合考合考查查，文科，文科 要注意解答要注意解答题题 的的训练训练2几何概型多考几何概型多考 查查面面积积型型问题问题知

5、识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线离散型随离散型随机机变变量及量及其分布列、其分布列、期望与方期望与方差差理理1.理解取有限理解取有限值值的离散型随的离散型随 机机变变量及其分布列的概念，量及其分布列的概念，了解分布列了解分布列对对于刻画随机于刻画随机现现 象的重要性象的重要性2理解超几何分布及其理解超几何分布及其导导出出 过过程，并能程，并能进进行行简单简单的的应应用用3理解取有限个理解取有限个值值的离散型随的离散型随 机机变变量的均量的均值值、方差的概念，、方差的概念，能能计计算算简单简单离散型随机离散型随机变变量的量的 均均值值、方差，并能解决一些、方差，并能解决一些实实 际问题

6、际问题.以实际问题为背景，以实际问题为背景，结合常见的概率事件结合常见的概率事件考查离散型随机变量考查离散型随机变量的分布列求法，期望的分布列求法，期望与方差的求法，多以与方差的求法，多以解答题出现，解答题出现，2011年年仍将坚持此命题方向仍将坚持此命题方向知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线二二项项分布分布及其及其应应用用理理了解条件概率和两个事件了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解相互独立的概念，理解n次独立重复次独立重复试验试验的模型及的模型及二二项项分布，并能解决一些分布，并能解决一些简单简单的的实际问题实际问题.1.条件概率的考条件概率的考查应查应 为为命命题题的新增

7、点的新增点2在解答在解答题题中考中考查查 二二项项分布及期望与分布及期望与 方差的求法方差的求法知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线正正态态分布分布理理利用利用实际问题实际问题的直方的直方图图，了解正了解正态态分布曲分布曲线线的特的特点及曲点及曲线线所表示的意所表示的意义义.多在多在选择选择，填空，填空题题中考中考查查正正态态曲曲线线特征及正特征及正态态分分布的布的应应用用.第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）一、分类加法计数原理一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不种不同的方法，在第同的方法，在第2类方

8、案中有类方案中有n种不同的方法那么完种不同的方法那么完成这件事共有成这件事共有N种不同的方法种不同的方法mn二、分步乘法计数原理二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1步有步有m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法种不同的方法 mn在解题过程中如何判定是分类加法计数原理还是在解题过程中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理分步乘法计数原理?提示：提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事完成这件事,应该用分类加法计

9、数原理应该用分类加法计数原理;如果每类办如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分法中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分就用分步乘法计数原理步乘法计数原理.1从从3名女同学和名女同学和2名男同学中选名男同学中选1人主持本班的某次主题人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为班会，则不同的选法为()A6种种B5种种C3种种D2种种解析：解析：有有325种种答案：答案：B2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有一个小组，则不同的报名方法共有()A10种种B20种种C25种种D32种种解析：解析：

10、有有2222232种种答案：答案：D3从从6个人中选个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有同的选择方案共有()A300种种B240种种C144种种D96种种解析：解析：能去巴黎的有能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次个人，能去剩下三个城市的依次有有5个、个、4个、个、3个人，所以不同的选择方案有个人，所以不同的选择方案有45432

11、40(种种)答案：答案：B4某银行储蓄卡的密码是一个某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如如2816)的方的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、，千位、百位上都能取百位上都能取0.这样设计出来的密码共有这样设计出来的密码共有_个个解析：解析：由于千位、百位确定下来后，十位、个位就随之由于千位、百位确定下来后，十位、个位就随之确定，则只需考虑千位、百位即可，千位、百位各有确定，则只需考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所

12、以有种选择，所以有1010100个个答案：答案：1005.将将1,2,3，9这这9个数填在右表中的个数填在右表中的9个空格个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当下依次增大，当3和和4固定在表中所示的位固定在表中所示的位置时，所填写空格的方法有置时，所填写空格的方法有_种种解析：解析：本题考查计数原理的应用注意正确的分步和分类；本题考查计数原理的应用注意正确的分步和分类；由题意第一列第一个和第二个格只能填由题意第一列第一个和第二个格只能填1,2，第三个格可以，第三个格可以填填5,6,7三个中的一个，若填三个中的一个，若填5，则第二列第三个格可

13、以填，则第二列第三个格可以填6或或7或或8，其他格的填法相应唯一确定，若第一列第三个格，其他格的填法相应唯一确定，若第一列第三个格填填6，第二列第三个格可以填，第二列第三个格可以填7或或8，其他格的填法相应唯，其他格的填法相应唯一确定；若第一列第三个格填一确定；若第一列第三个格填7，其他格的填法相应唯一，其他格的填法相应唯一确定，故共有确定，故共有3216种填法种填法答案：答案：61分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法采取分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法采取的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立

14、完成这件事类中的每一种方法都可以独立完成这件事2解决这类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不解决这类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题在所有的两位数中，个位数字大于十位数字在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？的两位数共有多少个？对个位数字进行分类或对十位数字分类对个位数字进行分类或对十位数字分类.【解解】法一：法一：根据题意，将十位数上的数字分别是根据题意，将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两类，在每一类中满足题目条件的

15、两位数分别是位数分别是8个，个，7个，个，6个，个，5个，个，4个，个，3个，个，2个，个，1个个由分类加法计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：由分类加法计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个个)故共有故共有36个个法二：法二：分析个位数字，可分以下几类：分析个位数字，可分以下几类：个位是个位是9，则十位可以是，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有中的一个，故有8个；个；个位是个位是8，则十位可以是，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有中的一个，故有7个；个；同理，个位是同理，个位是7的有的有6个；个；个位是个位是6的有的有5个；个；个位是个位是2的只有的

16、只有1个个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836(个个)1在在1到到20这这20个整数中，任取两个相加，使其和大于个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？共有几种取法？解：解：分类：分类：121091100种种应用分步乘法计数原理要注意两点应用分步乘法计数原理要注意两点(1)明确题目中所指的明确题目中所指的“完成一件事完成一件事”是什么事，必须要经过几是什么事，必须要经过几步才能完成这件事；步才能完成这件事；(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才

17、算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成已知集合已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点表示平面上的点(a，b M)，问：，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线可表示多少个不在直线yx上的点？上的点？本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用题中的应用.这里应该注意两点：一是集合这里应该注意两点：一是集合M中的中的每个元素可作为同一点的横、

18、纵坐标；二是第每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第（3）问用逆向求解的间接法）问用逆向求解的间接法.【解解】(1)确定平面上的点确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：可分两步完成：第一步确定第一步确定a的值，共有的值，共有6种确定方法；种确定方法；第二步确定第二步确定b的值，也有的值，也有6种确定方法种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定第一步确定a，由于，由于a0，所以有，所以有3种确定方法；种确定方法；第二步确定第二步确定b，由于，由于b0，所

19、以有，所以有2种确定方法种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是326.(3)点点P(a，b)在直线在直线yx上的充要条件是上的充要条件是ab.因此因此a和和b必须必须在集合在集合M中取同一元素，共有中取同一元素，共有6种取法，即在直线种取法，即在直线yx上的点上的点有有6个由个由(1)得不在直线得不在直线yx上的点共有上的点共有36630(个个)2已知集合已知集合M3，2，1,0,1,2，若，若a，b，c M，则，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数可以表示多少个不同的二次函数(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的

20、二次可以表示多少个图象开口向上的二次函数函数解：解：(1)a的取值有的取值有5种情况，种情况，b的取值有的取值有6种情况，种情况，c的取值的取值有有6种情况，因此种情况，因此yax2bxc可以表示可以表示566180个不个不同的二次函数同的二次函数(2)yax2bxc的开口向上时，的开口向上时，a的取值有的取值有2种情况，种情况，b、c的取值均有的取值均有6种情况，因此种情况，因此yax2bxc可以表示可以表示26672个图象开口向上的二次函数个图象开口向上的二次函数应用两个原理的注意事项应用两个原理的注意事项(1)切实理解切实理解“完成一件事完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需的含义，以

21、确定需要分类还是需要分步进行要分步进行(2)分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏(3)对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用(2009广东高考广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有作，则不同的选派方

22、案共有()A48种种B12种种C18种种D36种种分类中含分步，可分两类分类中含分步，可分两类.【解析解析】分两类：分两类：(1)若小张和小赵恰有若小张和小赵恰有1人入选人入选则共有则共有22624种方案种方案(2)若小张和小赵两人都入选则有若小张和小赵两人都入选则有32212种，种，故共有故共有241236种方案种方案【答案答案】D3(2010皖北联考皖北联考)用三种不同的颜色填涂下图用三种不同的颜色填涂下图33方格中方格中的的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有不同的填涂方法种数共有()A48B24C12D6解析：

23、解析：可将可将9个区域标号如图：个区域标号如图：用三种不同颜色为用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有为第一行涂色，有6种方法；第二步，用与种方法；第二步，用与1号区域号区域不同色的两种颜色为不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有两个区域涂色，有2种方法；种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步相乘原理可知共有剩余区域只有一种涂法，综上由分步相乘原理可知共有6212种涂法种涂法123456789答案：答案：C分类计数原理与分步计数原理是排列组合的基础，分类计数原理与分步计数原理是排列组合的基础，重点考查分类讨论思想的应用，对两个原理

24、的考查一般重点考查分类讨论思想的应用，对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现在选择、填空题中出现.2009年湖北高考主要考查了乘年湖北高考主要考查了乘法原理的应用法原理的应用.(2009湖北高考湖北高考)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为分到同一个班，则不同分法的种数为()A18B24C30D36解析解析法一：法一：由题意每班至少分到一名学生，即三个班由题意每班至少分到一名学生，即三个班中有一个班必有两人，而甲、乙不能到同一

25、个班，故四名中有一个班必有两人，而甲、乙不能到同一个班，故四名学生的组合可能有学生的组合可能有(甲、丙甲、丙)(甲、丁甲、丁)(乙、丙乙、丙)(乙、丁乙、丁)(丙、丙、丁丁)5种，然后再分到三个班共有种，然后再分到三个班共有6种分法种分法 共有共有5630种种法二：法二：(排除法排除法)先不考虑甲、乙同班的情况，将先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有人分成三组有6种方法，种方法，再将三组同学分配到三个班级有再将三组同学分配到三个班级有6种分配法，再考虑甲、种分配法，再考虑甲、乙同班的分配方法有乙同班的分配方法有6种，故共有种，故共有66630种种答案答案C本题易错解为：先将甲、乙分到两个

26、不同班级共有本题易错解为：先将甲、乙分到两个不同班级共有A种方法，再从丙、丁中选择一人到第三个班级有种方法，再从丙、丁中选择一人到第三个班级有2种方法，种方法，最后剩余一人从三个班级中任选一个班级有最后剩余一人从三个班级中任选一个班级有3种方法，利种方法，利用乘法原理得用乘法原理得62336，选，选D.其错因主要是分步考虑时标其错因主要是分步考虑时标准不确定，造成了丙丁同在一个班级的情况重复出现，导准不确定，造成了丙丁同在一个班级的情况重复出现，导致错误致错误同学们思考一下若将甲、乙、丙、丁四名学生分到四个不同学们思考一下若将甲、乙、丙、丁四名学生分到四个不同的班级，每班一人，其中甲不能分到一班，则分法的种同的班级，每班一人，其中甲不能分到一班，则分法的种数是多少？数是多少？