概率论与数理统计学习指导及习题解析第5章-大数定律和中心极限定理课件.ppt

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1、第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第 5 章大数定律和中心极限定理第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第 5 章大数定律和中心极限定理 第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.大数定律1)切比雪夫不等式定理：设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意给定的0，有不等式成立，称上式为切比雪夫不等式。或第 5 章大数定律和中心极限定理2)切比雪夫大数定律定理：设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，分别具有均值E(X1)，E(X2)，E(X

2、n)，及方差D(X1)，D(X2)，D(Xn)，若存在常数C，使D(Xk)C(k=1，2，)，则对于任意给定的0，有第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理定理2：（辛钦大数定律）设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，有相同的分布，且E(Xk)=(k=1，2，)存在，则对于任意给定的0，有第 5 章大数定律和中心极限定理2.中心极限定理定理1：（林德贝格勒维中心极限定理）设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，服从同一分布，且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1，2，)，则对于任意x，随机变量序列的分布函数Fn(x)在n时趋于标准正态分布函数，即有第 5 章大数

3、定律和中心极限定理定理2：（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设mA表示n次独立重复伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意区间(a，b，恒有第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理所以E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0故第 5 章大数定律和中心极限定理【例5.2】设在n次伯努利试验中，每次试验事件A出现的概率均为0.7，要使事件A出现的频率在0.680.72之间的概率不少于0.90，问至少要进行多少次试验？（1）用切比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理计算。第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理（2）因为所以n

4、1412.04。第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理亦即查表得解以上方程得n147第 5 章大数定律和中心极限定理【例5.4】计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差是独立的，且在(0.5，0.5)上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理（1）记X为将1500个数相加的误差总和，则有，从而由林德贝格勒维中心极限定理知近似地服从N(0，1)，故第 5 章大数定律和中

5、心极限定理即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802。第 5 章大数定律和中心极限定理【例5.5】有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3 m，现在从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3 m的概率。解 记X为被抽取的100根木柱长度短于3 m的根数，则Xb(100，0.2)。于是由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理【例5.6】设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换一新器件，如此继续，已知每一器件的进价为a元，试求在年计中应为此器件作多少元预算

6、，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年的工作时间为2000小时）。第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理由林德贝格勒维中心极限定理知第 5 章大数定律和中心极限定理故查表得即n118因此每年应为此器件至少作出118a元的预算，才能有95的把握保证一年够用。第 5 章大数定律和中心极限定理第四节第四节 习习 题题 全全 解解5.1 （1）设随机变量序列X1，X2，Xn，是相互独立的，对于每一个固定的n，Xn的分布律为试证明随机变量序列X1，X2，Xn，服从大数定律。第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理证明 （1）因为所以第 5 章大数定

7、律和中心极限定理由于该随机变量序列相互独立，且期望与方差均存在，满足切比雪夫大数定律的条件。由切比雪夫大数定律知,对于任意0有取常数列an=0，则有第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理由切比雪夫不等式得而，同时P|Yn|0,所以 即第 5 章大数定律和中心极限定理5.2 设随机变量服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P|X2|4。解 由随机变量服从参数为2的泊松分布可知E(X)=2，D(X)=2，所以第 5 章大数定律和中心极限定理5.3 设随机变量X1，X2，X100独立同分布，E(Xk)=，D(Xk)=16，求P|X|1。第 5 章大数定律和中心极限定理

8、解 由林德贝格勒维中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理5.4 K.皮尔逊掷均匀硬币12 000次，求出现正面的频率与0.5的差不超过0.01的概率。解 设在12 000次中正面的次数为X，则Xb(12 000，)。由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理第 5 章大数定律和中心极限定理5.5 假设生男孩的概率为0.515，某医院今年共出生500个新生婴儿，求该医院今年出生的新生婴儿中男婴人数多于女婴人数的概率。解 设新生婴儿中男婴人数为X，则Xb(500，0.515)，E(X)=257.5，D(X)=124.8875P男婴人数多于女婴人数=PX250=1PX

9、250第 5 章大数定律和中心极限定理由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理5.6 某车间有同型车床200台，假设每台开动的概率为0.7，且开关是相互独立的，开动每台的耗电量为15 kW，试问最少需耗多少电力，才能以95%的把握满足该车间生产？解 设同时开动的机器数为X，则Xb(200，0.7)，E(X)=140，D(X)=42第 5 章大数定律和中心极限定理设至少需电力为Y kW，则根据题目要求有P15XY=0.95即由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理而(1.65)=0.95,所以由得 Y=2260.4 kW第 5 章大数定律和中心极限

10、定理 5.7 根据经验，某一门课程考试中学生的得分的期望值为75分，方差为25。（1）从试卷中任取一份，其成绩超过80分的概率为多少？（2）从试卷中任取一份，其成绩为6585分的概率为多少？解 设学生得分为X，由题意知X近似服从N(75，25)分布。第 5 章大数定律和中心极限定理（1）第 5 章大数定律和中心极限定理（2）第 5 章大数定律和中心极限定理5.8 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数。（1）写出X的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。解 （1）由题意知Xb(

11、100，0.2)，故PX=k=Ck100(0.2)k(0.8)100k （k=0，1，2，100）第 5 章大数定律和中心极限定理（2）由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理5.9 独立地测量一个物理量，每次测量所产生的随机误差都服从(1，1)上的均匀分布。（1）如果将n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的绝对误差小于一个小的正数的概率；（2）计算当n=36，=1/6时的概率近似值；（3）要使（1）中的概率不小于0.95，且误差不超过1/6应至少进行多少次测量？第 5 章大数定律和中心极限定理解 设该物理量真值为，第i次测量的随机误差为Xi，则XiU(1，1)

12、，且第i次测量结果为+Xi，E(Xi)=0，。第 5 章大数定律和中心极限定理（1）由林德贝格勒维中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理（2）当n=36，时，有第 5 章大数定律和中心极限定理5.10 某打靶场根据以往经验，得10分的概率为0.4，得9分的概率为0.3，得8分的概率为0.2，得7分和6分的概率都为0.05，现射击500次。求：（1）总分多于4500分的概率；（2）总分介于44004500分之间的概率。第 5 章大数定律和中心极限定理解 设第k次射击的分数为Xk，则Xk的分布律为所以第 5 章大数定律和中心极限定理（1）由林德贝格勒维中心极限定理可得第 5 章大数定律和中心极限定理（2）由林德贝格勒维中心极限定理可得