洛伦兹变换推导.pdf

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1、-第三节 洛伦兹变换式 教学容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。根本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导 22211cvcvxttzzyycvvtxx 或 22211cvcxvttzzyycvt vxx 据狭义相对论的两个根本假设来推导洛仑兹变换式。1.时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是

2、线性的。对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标(*，y，z，t)、(*，y，z，t)，因 S 相对于 S以平行于*轴的速度v作匀速运动，显然有y=y,z=z。在S系中观察S系的原点，*=0；在 S系中观察该点，*=-vt，即*+vt=0。因此*=*+vt。在任意的一个空间点上，可以设：*=k*+vt，k是比例常数。同样地可得到：*=k*-vt=k*+(-v)t 根据相对性原理，惯性系S系和 S系等价，上面两个等式的形式就应该一样除正、-负号，所以k=k。2.由光速不变原理可求出常数k 设光信号在 S 系和 S系的原点重合的瞬时从重合点沿*轴前进，则在任一瞬时t或t，光信号到达点在 S 系和 S

3、系中的坐标分别是：*=ct,*=ct，则：由此得到22211cvvcck。这样，就得到21cvvtxx，21cvt vxx。由上面二式，消去*得到221cvcvxtt；假设消去*得到221cvcxvtt，综合以上结果，就得到 洛仑兹变换，或 洛仑兹反变换 可见洛仑兹变换是两条根本原理的直接结果。3.讨论 1可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用围。2当|v/c|1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形低速

4、极限。四、相对论速度变换公式 洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。设物体在 S、S系中的的速度分别为zyxuuu,，zyxuuu,，根据洛仑兹变换式可得：因因此此：222111cvcvudtcvdtvut dxdxx，即：21cvuvuuxxx 因y=y,z=z，有dy=dy,d z=dz则2211cvcvudtdyt dydx，即-2211cvucvuuxyy。同理：2211cvucvuuxzz 因此得相对论的速度变换公式：21cvuvuuxxx、2211cvucvuuxyy、2211cvucvuuxzz 其逆变换为：21cuvv

5、uuxxx、2211cuvcvuuxyy、2211cuvcvuuxzz。讨论 1当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式vuuxx。2利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。证明：设 S系中观察者测得沿*方向传播的一光信号的光速为c，在 S 系中的观察者测得该光信号的速度为：ccvcvcux21，即光信号在 S 系和 S系中都一样。第四节 狭义相对论的时空观 一、一、同时的相对性 1.概念 狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生

6、的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P。当灯发出闪光时：S系的观察者认为，闪光相对他以一样速率传播，因此同时到达 A、B 两端；S系地面上的观察者认为，A与光相向运动v、c反向，B与光同向运动，所以光先到达 A 再到达B，不同时到达。结论：同时性与参考系有关这就是同时的相对性。假设两个事件 P1和 P2，在 S 系和S系中测得其时空坐标为：由洛伦兹变换得：-在 S 系和S系中测得的时间间隔为12tt和t2-t1，它们之间的关系为：可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。2

7、.讨论 1在S系中同时发生：t2=t1，但在不同地点发生，12xx，则有：这就是同时的相对性。2在 S 系中同时发生：t2=t1，而且在一样地点发生，12xx，则有：即在S系中同时同地点发生的两个事件，在S系中也同时同地点发生。3事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后 假设在S系中，t时刻在*处的质点经过t时间后到达xx处，则由：得到 因为vc，uc，所以t与t同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。4上述情况是相对的。同理在 S系中不同地点同时发生的两个事件，在S 系看来同样也是不同时的。5当cv时，tt，回到牛顿力学。二、长度收缩洛伦兹收缩 假设一刚性棒 AB 静止于 S系中12xxl，

8、在 S 系中同时ttt21测量得12xxl。由洛伦兹坐标变换式：得：即 21cvll 1.固有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度或原长，用l0表示。即 2.洛伦兹收缩长度缩短 观 察 者 与 被 测 物 体 有 相 对 运 动 时，长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的21cv倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩长度缩短。讨论：1长度缩短效应具有相对性。假设在S系中有一静止物体，则在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有 即看人家运动着的尺子变短了。2当vc时，有ll-三、时间膨胀时间延缓 由洛伦兹变换得22121212

9、1cvcxxvtttt，事件P1、P2在S系中的时间间隔为12ttt，事件P1、P2在S系中的时间间隔为12ttt。如果在 S系中两事件同地点发生，即12xx，则有：1.固有时间原时的概念 在*一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间原时。用0表示，且：201cvt。2.时间膨胀 在 S 系看来：0t，称为时间膨胀。3.讨论 1时间膨胀效应具有相对性。假设在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为t称为原时，则同理有 就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。2当vc时，有tt 3实验已证实 子，介子等根本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。例

10、1:在惯性系 S 中，有两个事件同时发生，在xx 轴上相距m.31001 处，从另一惯性系 S中观察到这两个事件相距m3100.2。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少.解：由 题 意 知，在S系 中，12tt，即012ttt，mxx312100.1。而在 S系看来，时间间隔为12ttt，空间间隔为mxx312100.2。由洛伦兹坐标变换式得：由1式得代入2式得-sct63331077.510310310223 例 2:半人马星座星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16103.4m。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座星之间。假设宇宙飞船的速度为 0.999 c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间.如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少.解：以地球上的时钟计算：a91087.28a为annual之首字母；假设以飞船上的时钟计算：原时，因为所以得282999.011087.21cvtt