2022年洛伦兹变换详细推导 .pdf

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1、第三节洛伦兹变换式教案 内容：1. 洛伦兹变换 式的推导；2. 狭义相对论 的时空观：同时 性的相对性、长度的收缩和时间 的延缓；重点 难点：狭义相对论时 空观的主要结论 。基本 要求：1. 了解洛伦兹 坐标变换和速度 变换的推导；2. 了解狭义相 对论中同时性的 相对性以及长度收缩和时间延缓 概念；3. 理解牛顿力 学中的时空观和 狭义相对论中的时空观以及两者 的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导22211cvcvxttzzyycvvtxx或22211cvcxvttzzyycvt vxx据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。1.时空坐 标间的变换关系作为 一条 公 设， 我们 认 为时间

2、 和空 间都是 均匀的， 因 此时空 坐标 间的变 换必须是 线 性的。对于任意事件 P 在 S系 和S系 中 的 时 空 坐 标(x， y， z，t)、(x，y，z，t)，因 S 相 对于 S 以平行于 x 轴的速度 v 作匀速 运动，显然有 y=y, z= z。在 S 系 中 观察S 系的 原点 ， x=0 ； 在S系 中 观 察 该点，x=-vt，即 x+ vt= 0。因此x=x +vt。在任意的一个 空间点上，可以 设：x=k（x + vt），k 是比例常数 。同样地可得到 ：x=k（x-vt）= k（x+(-v)t）根据相对性原 理，惯性系 S 系和 S系 等价，上面两个 等式的形式

3、就 应该相同（除正 、负号 ），所以k=k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2.由光速不变原理可求出常数 k设 光信号在 S 系和 S系 的原点重合的瞬 时从重合点沿 x 轴前进， 那么在任一瞬时 t（ 或t），光信号 到达点在 S系和 S系中的坐标分 别是：x=ct, x=ct，则：t tcxx2t vt cvtctkt vxvtxk22222vct tk由由此此 得得 到到22211cvvcck。这样 ，就得到21cvvtxx，21cvt vxx。由上面 二式，消去 x得到221cvcvxtt；若消去 x 得到

4、221cvcxvtt，综合以上 结果，就得 到洛仑兹变 换，或洛仑兹反 变换22211cvcvxttzzyycvvtxx22211cvcxvttzzyycvvtxx可见 洛仑兹变换是 两条基本原理的 直接结果。3. 讨论（1）可以证明，在洛 仑兹变换下，麦 克斯韦方程组是 不变的，而牛 顿力学定律则要 改变。 故麦克斯韦方 程组能够用来 描 述高速运动 的电磁现象， 而牛顿力学不 适用描述高速 现象， 故它有一定的 适用范围。（2）当 |v/c|1 时，洛仑 兹变换就成为伽 利略变换，亦 即后者是前者 在低速下的极 限情形 。故牛顿力学 仅是相对论力学 的特殊情形低速极限。精选学习资料 - -

5、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是 事件的时空坐 标在不同惯性 系之间的关系 ，根据洛仑兹 变换可以得到 狭义相 对论的速度变 换公式。设物体在 S、 S系中的的速度 分别为zyxuuu,，zyxuuu,，根据洛仑 兹变换 式可得：222111cvdtvucvdtvdtdxcvvdtdxxdx2222111cvcvudtcvcvdxdttdx因此：222111cvcvudtcvdtvutdxdxx，即：21cvuvuuxxx因y=y,z=z ， 有dy= dy,dz=dz则2211cvcvudtdytd

6、ydx， 即2211cvucvuuxyy。同 理：2211cvucvuuxzz因此 得相对论的速 度变换公式：21cvuvuuxxx、2211cvucvuuxyy、2211cvucvuuxzz其逆 变换为：21cuvvuuxxx、2211cuvcvuuxyy、2211cuvcvuuxzz。讨论（1）当 速度 u、v 远小于 光速 c 时， 即在非相对论极 限下，相对论 的速度变换公式 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页转化 为伽利略速度 变换式vuuxx。（2）利 用速度变换公 式，可证明光速 在任何惯性系中都是

7、c 。证明：设 S系 中观察者测得沿 x 方向传播的一光信号 的光速为 c，在 S 系中的观察 者测得 该光 信号 的速度 为：ccvcvcux21，即 光信 号在S 系和 S系中 都 相同。第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。当灯发出闪光时：S系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、

8、B 两端；S系 （地面上）的 观察者认为，A 与 光相向运动（v、c 反向）， B 与光同向运动 ，所以 光先到达 A 再到达 B，不同时 到达。结论：同时性 与参考系有关 这就是同时的相对性。假设两个事件 P1和 P2，在 S系和S系中测得其 时空坐标为：2222111122221111tzyxtzyxStzyxtzyxS，：，：由洛伦兹变换 得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页222222211111cvcxvttcvcvxtt，在 S系和S系 中测得的时间间 隔为12tt和（t2-t1），它们之间的关系为：2

9、21212121cvcxxvtttt可见 ，两个彼此间 作匀速运动的惯 性系中测得的时间间隔，一般来 说是不相等的。2. 讨论（1）在 S系中 同时发生：t2= t1， 但在不同地点 发生，12xx，则有：2221121cvcxxvtt这就 是同时的相对 性。（2）在 S 系中同 时发 生：t2=t1， 而且在相同 地点发生，12xx， 则有：1222121212101ttcvcvxxttttt，12212121201xxcvttvxxxx，即在 S系中同时同地 点发生的两个事 件，在 S 系中 也同时同地点发 生。（3）事件的 因果关系不会颠倒，如人出生 的先后假设在 S系中， t时刻在 x

10、 处的质点经过t时间后到 达xx处，则由：221cvcvxtt得到txucvcvutcvcvxtt1112222因为 vc，uc，所以 t与 t同 号。即事件的因 果关系，相互顺序不会颠倒。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页（4）上述情况 是相对的。同理 在 S 系中不 同地点同时发生 的两个事件，在 S系看 来同样也是不 同时的。（5）当cv时 ，tt，回 到牛顿力学。二、长度收缩（洛伦兹收缩）假 设一刚性棒 AB 静止于 S 系中12xxl，在 S 系中同 时ttt21测 量得12xxl。由 洛伦兹坐标变换 式：

11、2222211111cvvtxxcvvtxx，得：212212121211cvxxcvttvxxxx即21cvll1. 固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。即201cvll2. 洛伦兹收缩（长度缩短）观 察 者 与 被 测 物 体 有 相 对 运 动 时 ， 长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的21cv倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。讨论：（1）长 度缩短效应具 有相对性。若在 S系中有一静止 物体，那么在S系中观察者 将同时 测量得该物体 的长度沿运动方 向缩短，同理有21cvll即看 人家运动

12、着的 尺子变短了。（2）当 v c 时，有ll精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得221212121cvcxxvtttt，事件 P1、P2在 S系中的 时间间隔为12ttt，事件 P1、P2在 S 系中的时间间隔 为12ttt。如果 在 S 系中两事 件同地点发生，即12xx，则有：22121211cvtcvttttt1. 固有时间（原时）的概念在某一惯性系 中同一地点先 后发生的两事 件之间的时间 间隔，叫固有 时间（原时） 。用0表示，且 ：201cvt。2. 时间膨胀在 S系

13、看来：0t，称 为时间膨胀。3. 讨论（1）时 间膨胀效应具 有相对性。若 在S系中同一地点 先后发生两事 件的时间间隔 为t（称为原时）， 则同理有21cvtt就好象时钟变慢了，即 看人家运动着的 钟变慢了。（2）当v c时，有tt（3）实 验已证实 子 ，介子等基本粒 子的衰变，当它 们相对实验室静 止和高速运动 时，其寿命完全 不同。例 1: 在 惯 性 系 S 中 ， 有 两 个 事 件 同 时 发 生， 在xx轴 上 相 距m.31001处 ， 从 另 一 惯 性 系S 中 观 察 到 这 两 个 事 件 相 距m3100.2。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？解 ： 由题 意

14、知 ， 在S系 中 ，12tt，即012ttt，mxx312100. 1。而在 S 系看来，时间间隔为12ttt，空间 间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页隔为mxx312100.2。由洛伦兹坐标变 换式得：1112122121212cvxxcvttvxxxx212212121cvxxcvttttt212122212xxcvcvxxcv由（1）式得ccxxxxv2341112121212212代入 （2）式 得sct63331077.510310310223例 2: 半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16103.4m 。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座 星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？解： 以地球上的时 钟计算：816103999.0103 .42vsta91087.28（a 为 annual 之首字母） ；若以 飞船上的时钟 计算：（原时） ，因为21cvtt所以 得282999.011087.21cvttas4.01028.17精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页