高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-1平面向量的概念及线性运算教师用书.doc

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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-15-1 平面向量的概念及线性运算教师用书平面向量的概念及线性运算教师用书1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量a a的单位向量为a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反

2、向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ab bb ba a; ; (2)结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)减法求a a与b b的相反向量b b的和的运算a ab ba a(b b)数乘求实数与向量a a的积的运算(1)|a a|a a|；(2)当0 时，a a的方向与(1)(a a)()a a；2 / 15a a的方向相同；当0 时，a a的方向与a a的方向相反；当0 时，a a0(2)()a aa aa a；(3)(a ab b)a ab b3.共线向量定理向量 a(a

3、0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba.【知识拓展】1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则()3.(， 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关( )(3)若 ab，bc，则 ac.( )(4)若向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上(

4、)(5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( )1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b都是单位向量，则 ab；向量与相等则所有正确命题的序号是( )A BC D答案 A3 / 15解析 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误2(教材改编)D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量等于( )A B1 2BAC. D.1 2BA答案 A解析 如图，.CD3已知 a，b 是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么 A，B，C 三点共线的充要条件是( )A2

5、 B1C1 D1答案 D解析 由ab，ab(，R)及 A，B，C 三点共线得t，所以 abt(ab)tatb，即可得所以 1，故选 D.4在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则_.答案 2解析 由向量加法的平行四边形法则，得.又 O 是 AC 的中点，AC2AO，2，2.又，4 / 152.题型一 平面向量的概念例 1 给出下列四个命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是( )A BC D答案 A解析 不正确两个

6、向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则且|，.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A.5 / 15思维升华 向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键

7、是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是( )A0 B1C2 D3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.题

8、型二 平面向量的线性运算命题点 1 向量的线性运算例 2 (1)(2016临安中学统练三)在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. B.ACC. D.BD(2)(2015课标全国)设 D 为ABC 所在平面内一点，若3，则( )A. B.4 3AC6 / 15C. D.1 3AC答案 (1)C (2)A解析 (1)，正确AD而，故 C 错误故选 C.(2)3，3()，即 43，.命题点 2 根据向量线性运算求参数例 3 (1)(2016台州模拟)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2 为实数)，则 12 的值为_(2)在ABC 中

9、，点 D 在线段 BC 的延长线上，且3，点 O 在线段 CD上(与点 C，D 不重合)，若x(1x)，则 x 的取值范围是( )A. B.(0，1 3)C. D.(1 3，0)答案 (1) (2)D解析 (1)2 3BC()，1，2，即 12.(2)设y，COyy()y(1y).3，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，7 / 15y，x(1x)，xy，x.思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参

10、数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交对角线 AC 于点 K，其中，则 的值为( )A. B.2 7C. D.2 3答案 A解析 ，2.由向量加法的平行四边形法则可知，AC()(5 2AE2AF)2，由 E，F，K 三点共线，可得 ，8 / 15故选 A.题型三 共线定理的应用例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线(1)证明 ab，2a8b，3(

11、ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)解 假设 kab 与 akb 共线，则存在实数 ，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，kk10.消去 ，得 k210，k1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使1a2b0 成立，若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a、b 不共线(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则( )AA

12、，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线9 / 15CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线(2)如图所示，设 O 是ABC 内部一点，且2，则ABC 与AOC的面积之比为_答案 (1)B (2)2解析 (1)CD2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点 B，A，B，D 三点共线故选 B.(2)取 AC 的中点 D，连接 OD，则2，O 是 AC 边上的中线 BD 的中点，SABC2SOAC，ABC 与AOC 面积之比为 2.4 4容易忽视的零向量容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是_若 ab，bc，则 ac.若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 ab 与 a，b 之一的方向相

13、同|a|b|ab|a 与 b 方向相同向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得ba.0.若 ab，则 ab.错解展示10 / 15解析 中两个向量的和仍是一个向量，0.答案 现场纠错解析 对于，当 b0 时，a 不一定与 c 平行对于，当 ab0 时，其方向任意，它与 a，b 的方向都 不相同对于，当 a，b 之一为零向量时结论不成立对于，当 a0 且 b0 时， 有无数个值；当 a0 但 b0 或a0 但 b0 时， 不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有 ab.故均错答案 纠错心得

14、 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量， ， ，是( )A相等的向量 B平行的向量C有相同起点的向量 D模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等2在四边形 ABCD 中，ABCD，AB3DC，E 为 BC 的中点，则等于( )A. B.2 3ADC. D.5 6AD答案 A解析 因为，11 / 15所以1 2(AD23AB).3已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是( )AA，B，C BA，B，DCB，C，D DA，C，D答案 B解析 因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点 A，所以A，B，D 三点共线4已知平面内一点 P

15、及ABC，若，则点 P 与ABC 的位置关系是( )A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在ABC 外部答案 C解析 由得，即2，所以点 P 在线段 AC 上5. 如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若m，n，则 mn 的值为( )A1 B2C3 D4答案 B解析 O 为 BC 的中点，()(mn)，M，O，N 三点共线，1，mn2.12 / 156设 P 为锐角ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，k()(kR)，若 cosBAC，则 k 等于( )A. B. C

16、. D.3 7答案 A解析 取 BC 的中点 D，连接 PD，AD，则 PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D 三点共线，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得 k，故选 A.7. (2016宁波一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若起点和终点均在格点的向量 a，b，c 满足 cxayb(x，yR)，则xy_.答案 13 5解析 如图，取单位向量 i，j，则a ai i2j2j，b b2i2ij j，c c3i3i4j.4j.cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j， Error!xy.8设 a，b 不共线，2apb，ab，a2b，若 A，B，

17、D 三点共线，则实数 p 的值是_答案 1解析 ab，a2b，13 / 152ab.又A，B，D 三点共线，共线设，2apb(2ab)，a，b 不共线，22，p，1，p1.*9.设 G 为ABC 的重心，且 sin Asin Bsin C0，则角B 的大小为_答案 60解析 G 是ABC 的重心，0，()，将其代入 sin Asin Bsin C0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共线，sin Bsin A0，sin Csin A0，则 sin Bsin Asin C根据正弦定理知 bac，ABC 是等边三角形，则角 B60.*10.已知ABC 和点 M 满足0.若

18、存在实数 m，使得m 成立，则 m_.答案 3解析 0，M 为ABC 的重心如图所示，连接 AM 并延长交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点.又()，()，即3，m3.14 / 1511已知 O 为ABC 内一点，且满足(1)0，若OAB 的面积与OAC 的面积的比值为，则 的值为_答案 3 2解析 因为()0，所以()，设 G 为 BC 的中点，所以2，所以点 O 在过点 G 且与 AC 平行的直线上，分别过点 B，C 作BFOA，CEOA，因为，所以，所以3，所以 23，得 .12. 在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB2GE，设a，b，试用 a，b 表示，.解 ()ab.()AG()1 3ACab.*13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，若m，求实数 m 的值解 由 N 是 OD 的中点得1 2AO()，又因为 A，N，E 三点共线，故，即 m()，所以解得故实数 m.15 / 15