高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数教师用书理.doc

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1、- 1 -第四节第四节 二次函数与幂函数二次函数与幂函数2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解幂函数的概念；2.结合函数yx，yx2，yx3，y ，yx1 x的图象，了解它们的变化情况；1 2 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质。2016，全国卷，3,5 分(幂函数的性质)2015，天津卷，8,5 分(二次函数的图象)2015，福建卷，9,5 分(二次方程的根)1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象与性质；2.对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择、填空题出现。微知识 小题练自|主|排|查1幂函数

2、(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：- 2 -2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)图象与性质：解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，在(0，)上都是增函数，当x；当x11 3时，x0)。故选|c a|c aB。【答案】 B4已知函数yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围为_。【解析】 如图，由图象可知m的取值范围是1,2。【答案】 1,25已知幂函数yf(x)的

3、图象过点，则此函数的解析式为_；在区间(2，22)_上递减。【答案】 yx (0，)1 2- 6 -微考点 大课堂考点一 幂函数的图象与性质【典例 1】 (1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ Z)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( )A3 B1C2 D1 或 2(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )(1 2)2 3(1 5)2 3(1 2)1 3Aabc BcabCbca Dbac【解析】 (1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1 或n3，经检验只有n1 适合题意。故选 B。(2)因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为yx

4、是减函数，2 3(1 2)2 3(1 5)2 3(1 2)所以ac，所以bac。故选 D。(1 2)2 3(1 2)1 3【答案】 (1)B (2)D反思归纳 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域。根据0,01，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。【变式训练】 已知函数f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为( )A1 B2C1 或 2 D3【解析】 因为f(x)是幂函数，所以m2m11，解得m

5、1 或m2，当m1 时，m2m33，当m2 时，m2m33，f(x)x3或f(x)x3，- 7 -而易知f(x)x3在(0，)上为增函数，f(x)x3在(0，)上为减函数，1 x3所以m的值为 2。故选 B。【答案】 B考点二 二次函数的解析式【典例 2】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式。【解析】 解法一：(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)。由题意得Error!解得Error!所求二次函数为f(x)4x24x7。解法二：(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n。f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x ，21 21 2

6、m 。1 2又根据题意，函数有最大值 8，n8，yf(x)a28。(x1 2)f(2)1，a281，解得a4，(21 2)f(x)4284x24x7。(x1 2)解法三：(利用两根式)：由已知f(x)10 两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1。又函数有最大值ymax8，即8。4a2a1a2 4a解得a4 或a0(舍)。所求函数的解析式为f(x)4x24x7。【答案】 f(x)4x24x7反思归纳 求二次函数解析式的方法- 8 -根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：【变式训练】 (1)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3

7、)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR R，都有f(2x)f(2x)，则f(x)的解析式为_。(2)已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR R，cR R)。若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)Error!则F(2)F(2)_。【解析】 (1)因为f(2x)f(2x)对xR R 恒成立，所以f(x)的对称轴为x2。又因为f(x)图象被x轴截得的线段长为 2，所以f(x)0 的两根为 1 和 3。设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)。又因为f(x)的图象过点(4,3)，所以 3a3，a1。所以所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x2

8、4x3。(2)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2。b 2a所以F(x)Error!所以F(2)F(2)(21)2(21)28。【答案】 (1)f(x)x24x3 (2)8考点三 二次函数的图象与性质多维探究- 9 -角度一：二次函数的图象【典例 3】 如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1。给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确。对称轴为x1，即1,2ab0，错误。b 2a结合图象，当x1 时，y0，即abc0，错误。由对称轴为x1 知，b2a。又函数图象开口向下，所以a0)，且f(m)

9、0 Df(m1)0，1 2f(x)的大致图象如图所示。- 12 -由f(m)0，f(m1)f(0)0。故选 C。答案 C4已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值 2，则a的值为_。解析 f(x)(xa)2a2a1，x0,1，当a1 时，ymaxa；当 0a1 时，ymaxa2a1；当a0 时，ymax1a。根据已知条件得，Error!或Error!或Error!解得a2 或a1。答案 2 或15已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)；f(1)0；对任意实数x，f(x) 恒成立，则其解析式为f(x)_。1 4a1 2解析 依题意可设f(x)a2k，(x3 2)由

10、f(1)ak0，得ka，1 41 4从而f(x)a2 恒成立，(x3 2)a 41 4a1 2则 ，且a0，a 41 4a1 2即 0，即0，1 4aa 41 2a22a1 4a且a0，a1。- 13 -从而f(x)2 x23x2。(x3 2)1 4答案 x23x2微专题 巧突破解决与二次函数相关的恒成立问题的方法二次函数恒成立问题涉及的知识较广，是学习中的一个难点，下面我们把它的常用类型及破解方法归纳如下表：方法解读适合题型1判别式法(1)f(x)ax2bxc0 恒成立Error!或Error!(2)f(x)ax2bxcA在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)minA，接下来求出函

11、数f(x)的最小值；若不等式f(x)0，则实数a的取值范围是_。- 14 -【解析】 (1)(判别式法)a0，函数的定义域为 R R，则ax2ax 0 恒成立，1 aError!解得 00 时，f(x)a22 ，由f(x)0，x(1,4)得(x1 a)1 aError!或Error!或Error!解得Error!或Error!或Error!所以a1 或 ；当a0，即ax22x20，x(1,4)，得a 在(1,4)2 x22 x上恒成立。令g(x) 22 ，因为 ，所以g(x)maxg(2) ，所2 x22 x(1 x1 2)1 21 x(1 4，1)1 2以要使f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要a 即可，故实数a的取值范围是。1 2(1 2，)【答案】 (1)(0,2) (2)(1 2，)【变式训练】 (2017营口模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)0 恒成立，则实数a的取值范围为_。【解析】 因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x3,1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：Error!或Error!或Error!解得a或 1a4 或 a1，1 2所以a的取值范围为。(1 2，4)【答案】 (12，4)