高考数学大一轮复习第七章不等式7-4基本不等式及其应用教师用书.doc

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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第七章不等式精选高考数学大一轮复习第七章不等式 7-47-4 基基本不等式及其应用教师用书本不等式及其应用教师用书1基本不等式ab 2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b 同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等

2、式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)2 / 17【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A在区间 D 上恒成立f(x)minA(xD)；若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)A 成立f(x)maxA(xD)；若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式f(x)A 恰在区间 D 上成立f(

3、x)A 的解集为 D；不等式 f(x)0 且 y0”是“2”的充要条件( )(4)若 a0，则 a3的最小值为 2.( )(5)不等式 a2b22ab 与有相同的成立条件( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )1(教材改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( )3 / 17A80 B77 C81 D82答案 C解析 x0，y0，即 xy()281，当且仅当 xy9 时，(xy)max81.2(教材改编)已知 x0，a0，当 yx取最小值时，x 的值为( )A1 Ba C. D2a答案 C解析 yx2，当且仅当 x即 x时，yx有最小值 2.3若 a0，b0，且

4、 ab4，则下列不等式恒成立的是( )A. B.1C.2 Da2b28答案 D解析 4ab2(当且仅当 ab 时，等号成立)，即2，ab4，选项 A，C 不成立；1，选项 B 不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项 D 成立4(2016宁波期末)若正数 x，y 满足 x24y2x2y1，则 xy的最大值为_答案 2 34解析 由题意得4 / 171x24y2x2y4xy2，则，则 xy()2.题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 通过配凑法利用基本不等式例 1 (1)已知 01)的最小值为_答案 (1) (2)1 (3)22解析 (1)x(43x)(3x)(43x)2，当且仅当

5、3x43x，即 x时，取等号(2)因为 x0，则 f(x)4x2(54x)3231.当且仅当 54x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x2的最大值为 1.(3)yx22x12x23 x1x122x13 x1(x1)222.当且仅当(x1)，即 x1 时，等号成立命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式例 2 已知 a0，b0，ab1，则的最小值为_答案 45 / 17解析 a0，b0，ab1，2a b224，即的最小值为 4，当且仅当 ab时等号成立引申探究1若条件不变，求(1)(1)的最小值解 (1)(1)(1)(1)(2)(2)52()549.当且仅当 ab时，取等号2已知 a0，b0

6、，4，求 ab 的最小值解 由4，得1.ab()(ab)2 1.当且仅当 ab时取等号3若将条件改为 a2b3，求的最小值解 a2b3，ab1，()(ab)2b 3a12 1.当且仅当 ab 时，取等号思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定” “三相等” 所谓“一正”是指正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件6 / 17(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后

7、代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是_(2)已知 x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为 3，则 m_.答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由 x3y5xy，可得1，3x4y(3x4y)()5.当且仅当，即 x1，y时，等号成立，3x4y 的最小值是 5.方法二 由 x3y5xy，得 x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当 y时等号成立，(3x4y)min5.7 / 17(2)由 2x3()y 得 x

8、y3，(xy)()1 x(1m)(1m2)(当且仅当，即 yx 时取等号)，(1m2)3，解得 m4.题型二 基本不等式的实际应用例 3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)，则该公司年平均利润的最大值是_万元答案 8解析 年平均利润为x18(x)18，x2 10，18(x)18108，当且仅当 x即 x5 时，取等号思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值8 / 17(3)在求函

9、数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件答案 80解析 设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得y2 20.当且仅当(x0)，即 x80 时“”成立题型三 基本不等式的综合应用命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例 4 (1)(2016杭州二模)正实数 x，y 满足：1，则x2y210xy 的最小值为_(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的

10、公差是d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则的最小值是_答案 (1)36 (2)9 2解析 (1)1xyxy，x2y210xy(xy)212xy(xy)212xy(xy6)236，由 xyxy2，得 xy4，故(x2y210xy)min36.(2)ana1(n1)dn，Sn，9 / 17(n1)(21)，1 2当且仅当 n4 时取等号的最小值是.命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (1)已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 m 的最大值为( )A9 B12 C18 D24(2)已知函数 f(x)(aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是_答案 (1)B (

11、2)，)解析 (1)由，得 m(a3b)()6.又62612(当且仅当时等号成立)，m12，m 的最大值为 12.(2)对任意 xN*，f(x)3 恒成立，即3 恒成立，即知 a(x)3.设 g(x)x，xN*，则 g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，(x)3，a，故 a 的取值范围是，)思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形10 / 17式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围(1)(2016杭

12、州四地六校联考)已知函数 f(x)x2 的值域为(，04，)，则 a 的值是( )A. B. C1 D2(2)已知各项均为正数的等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项 am，an 使得4a1，则的最小值为( )A. B. C. D.25 6答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)x222，当且仅当 x时取等号；当 x0，y0，且1，则 xy 的最小值是_(2)函数 y12x(x0，y0，12 ，2，xy24，xy 的最小值为 4.(2)2x2，y12x12.函数 y12x(x0，y0，xy(xy)()332(当且仅当 yx 时取等号)，当 x1，y2时

13、，(xy)min32.(2)x2ab答案 C解析 因为和同号，所以|2.2设非零实数 a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 因为 a，bR 时，都有 a2b22ab(ab)20，即 a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选 B.3(2016余姚模拟)已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是( )A2 B2 C4 D23答案 C解析 因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 x3y1，13 / 17所以()(x3y)24，当且仅当，即 x，y时，取等

14、号4(2016平顶山至阳中学期中)若函数 f(x)x(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( )A1 B13C3 D4答案 C解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2)22 24，当且仅当 x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3，故选 C.5已知 x0，y0，且 4xyx2y4，则 xy 的最小值为( )A. B2 C. D2答案 D解析 x0，y0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，即(2)(1)0，2，xy2.*6.设 abc0，则 2a210ac25c2 的最小值是( )A2 B4 C2 D5答案 B解析 2a210ac25c21

15、4 / 17(a5c)2a2abab1 aab(a5c)2aba(ab)1 aab0224，当且仅当 a5c0，ab1，a(ab)1 时，等号成立，即取 a，b，c时满足条件*7.(2016吉林九校第二次联考)若正数 a，b 满足1，则的最小值是( )A1 B6 C9 D16答案 B解析 正数 a，b 满足1，b0，解得 a1.同理可得 b1，所以9(a1)26，当且仅当9(a1)，即 a时等号成立，所以最小值为 6.故选 B.8(2016浙江省五校高三第二次联考)对任意的 (0，)，不等式|2x1|成立，则实数 x 的取值范围是( )A3,4 B0,2C， D4,5答案 D解析 因为4 co

16、s24sin2cos2 cos252 59，当且仅当，即 tan 时等号成立，所以|2x1|9，解得4x5，故选 D.15 / 179(2016唐山一模)已知 x，yR 且满足 x22xy4y26，则zx24y2 的取值范围为_答案 4,12解析 2xy6(x24y2)，而 2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当 x2y 时取等号)又(x2y)262xy0，即 2xy6，zx24y262xy12(当且仅当 x2y 时取等号)综上可知 4x24y212.10(2016潍坊模拟)已知 a，b 为正实数，直线 xya0 与圆(xb)2(y1)22 相切，则的取值范围是_答案 (0，)解析

17、xya0 与圆(xb)2(y1)22 相切，d，ab12，即 ab1，b124b14 b1(b1)4240.又a，b 为正实数，等号取不到的取值范围是(0，)*11.(2016东莞模拟)函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 m，n 均大于 0，16 / 17则的最小值为_答案 8解析 yloga(x3)1 的图象恒过定点 A(2，1)，由 A 在直线 mxny10 上得2mn10 即 2mn1.4248(当且仅当，即 m，n时等号成立)12(2017浙江联考)若正数 x，y，z 满足 3x4y5z6，则的最小值为_答案 7 3

18、解析 63xz xz3，令 2yza，xzb，则 2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6，即1，原式()()3.13某项研究表明：在考虑行车安全情况下，某路段车流量 F(单位时间经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车辆速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式 F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时17 / 17(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当 l6.05 时，F1 900，当且仅当 v11 时取最大值(2)当 l5

19、时，F2 000，当且仅当 v10 时取等号，最大车流量比(1)中增加 2 0001 900100(辆/小时)14运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解 (1)设所用时间为 t(h)，y2(2)14，x50,100所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即 x18 时，等号成立故当 x18 时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 元