高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文.doc-得力文库

资源描述

《高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文.doc（25页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 / 25【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文精选高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过对应学生用书P59 向量的有关概念过双基名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)模平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01若

2、向量a与b不相等，则a与b一定( )A有不相等的模 B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：选C 若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确2关于平面向量，下列说法正确的是( )A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析：选C 对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.2 / 253

3、下列命题中，正确的个数是( )单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合A0 B1C2 D3解析：选A 对于，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故错误；对于，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故错误；对于，向量是有方向的量，不能比较大小，故错误；对于，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故错误综上，正确的命题个数是0.清易错1对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规

4、定了长度没有方向限制1若mn，nk，则向量m与向量k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：选D 可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A、B、C选项都不正确，故D正确2设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使0成立的是( )Aa2b BabCab Dab3 / 25解析：选C “0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.向量共线定理及平面向量基本定理过双基1向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.2平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数

5、1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )B1A2 D1C1 解析：选D A，B，C三点共线，设m(m0)，即abmamb，1.2(2018南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，则的值为( )B.A 1 2D2C2 解析：选C ab，ab，即me12e2(ne1e2)，则故2.3已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则( )B.A. AB1 64 / 25D.C. AB3 2解析：选C 如图，2，().

6、清易错1在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个2平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的这一点是易忽视的1(2018大连双基测试)给出下列四个命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选C 错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以

7、比较大小；错误，当a0时，不论为何值，都有a0；错误，当0时，ab，此时a与b可以是任意向量2.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则( )Ax，y Bx，y2 35 / 25Cx，y Dx，y1 4解析：选A 由题意知，又2，所以()，所以x，y.平面向量的运算过双基1向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0

8、时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab2平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，6 / 25|a|.向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.1(2018嘉兴测试)在ABC中，已知M是BC边的中点

9、，设a，b，则( )B.abA.ab DabCab 解析：选A ba.2设D是线段BC的中点，且4，则( )B4A2 AED4C2 EA解析：选A D是线段BC的中点，2，4，2.3已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2,4)，(1,3)，则( )B(3,7)A(1，1) D(2,4)C(1,1) 解析：选A 由题意可得(1,3)(2,4)(1，1)4已知A(2,3)，B(4，3)，且3，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，A(2,3)，B(4，3)，且3，(x2，y3)3(2，6)(6，18)，7 / 25解得x8，y15，点P的坐标为(8，15)答案：(8，15)5已知向量a(1

10、,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_.解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.答案：16设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_解析：D为AB的中点，2，20，O是CD的中点，SAOCSAODSAOBSABC.答案：4清易错1向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系2数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应

11、表示为x1y2x2y10.1若向量(1,2)，(3,4)，则( )A(2,2) B(2，2)C(4,6) D(4，6)解析：选C (4,6)8 / 252已知向量a，b不共线，若a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD是( )A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选A 因为a2b，4ab，5a3b，所以8a2b，所以2，即直线AD与BC平行，而向量与不共线，即直线AB与CD不平行，故四边形ABCD是梯形3(2018河北联考)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b( )A(5，10) B(2，4)C(3，6) D(4，8)解析：选D 由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(

12、1,2)3(2，4)(4，8)平面向量的数量积过双基1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量aa，和b，作OAb，则AOB就OB是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，9 / 25|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向

13、量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x2 1y2 1夹角cos ab |a|b|cos x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x2 1y2 1 x2 2y2 2 1设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a2e1e2，be2，则|a2b|( )A2 B.5C2 D4解析：选B 向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，|e1|1，|e2|1，e1e20，a2e1e2，be2，a2b2e1e2，|a2b|24e

14、4e1e2e5，|a2b|.2(2018云南检测)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于( )A B1 210 / 25C. D.5 2解析：选D 因为a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.3已知|a|1，|b|2，a(ab)3，则a与b的夹角为( )A. B. 6C. D解析：选D 设a与b的夹角为，由题意知|a|1，|b|2，a(ab)a2ab1212cos 3，cos 1.又0，a与b的夹角为.4已知向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，则|a2b|_.解析：(a2b)2

15、a24ab4b2442144，|a2b|2.答案：25(2018衡水中学检测)在直角三角形ABC中，C90，AB2，AC1，若，则_.解析：，()f(3,2) )CBf(1,2)2，又C90，AB2，AC1，CB，.11 / 25答案：9 26(2018东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，2，()，则_.解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则B(0,0)，E，D(2,2)由()，知F为BC的中点，所以F(1,0)，故，(1，2)，2.答案：10 3清易错10与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000.2ab0不能推出a0或b0，因为ab

16、0时，有可能ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围为0，1有下列说法：向量b在向量a方向上的投影是向量；若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，且a，b不共线，即解得5，且.12 / 25答案：(5 3，)3已知向量a，b满足a(2,0)，|b|1，若|ab|，则a与b的夹角是_解析：由|ab|，得(ab)2a22abb242ab17，ab1，|a|b|cosa，b1，cosa，b.又a，b0，a，b的夹角为.答案： 3一、选择题1(2018常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足0，则下列结论正确的是( )BA BC1 3DC BC1 3解析：选D 0，O为ABC的重心，()()(

17、)(2).2(2018合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于( )BA. OB2 3D2C2 OB解析：选C 因为，所以22()()13 / 2520，所以2.3已知向量a与b的夹角为30，且|a|，|b|2，则|ab|的值为( )B.A1 13D.C13 72 3解析：选A 由向量a与b的夹角为30，且|a|，|b|2，可得ab|a|b|cos 3023，所以|ab|a2b22ab1.4(2018成都一诊)在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca( )B0A D3C. 解析：选A 依题意有abbcca.5已知非零向量a，b满足ab0，|a|3，且a

19、A 因为|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.8.已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则()()的值为( )BA1 1 2D2C. 解析：选D 注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，2.又，且|T1，因此()()222.二、填空题9(2018洛阳一模)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_解析：(a1,3)，(3,4)，据题意知，15 / 254(a1)3(3)，即4a5，a.答案：5 410已知ABCD的对角线AC和B

20、D相交于O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：ba ab11已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，Error!mn253.答案：312若向量a(2,3)，b(4,7)，ac0，则c在b方向上的投影为_解析：ac0，ca(2，3)，cb82113，且|b|，c在b方向上的投影为|c|cosc，b|c|.答案：655三、解答题13已知向量a(3,0)，b(5,5)，c(2，k)(1)求向量a与b的夹角；16 / 25(2)若bc，求k的值；(3)若b(ac)，求k的值解：(1)

21、设向量a与b的夹角为，a(3,0)，b(5,5)，ab3(5)0515，|a|3，|b|5，cos .又0，.(2)bc，5k52，k2.(3)ac(5，k)，又b(ac)，b(ac)0，555k0，k5.14在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.高考研究课一平面向量的基本运算17 / 25考点考查频度考查角

22、度平面向量的线性运算5年1考三角形中的线性运算平面向量的坐标运算5年3考求坐标及待定参数共线向量定理5年3考已知共线求参数值平面向量的线性运算典例 (1)(2018济南模拟)在ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则( )A.ab B.abC.ab D.ab(2)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.解析 (1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)法一：由，得()()，则0，得f(1,2) )0，得0.因为，不共线，所以由平面向量基本定理得Error!解得所以.法二：连接MN并延长交A

23、B的延长线于T，由已知易得ABAT，则，即，18 / 25因为T，M，N三点共线，所以1.故.答案 (1)D (2)4 5方法技巧(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决即时演练1向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab( )A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析：选C 结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.2.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，

24、则的值为( )A. B1 2C1 D1解析：选A 法一：由题意得，1，故选A.法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，(1,0)，(1,1)，则(1,0)(1，1)，.平面向量的坐标运算典例 (1)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则19 / 25等于( )A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)(2)(2018绍兴模拟)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为( )A(2,0) B(3,6)C

25、(6,2) D(2,0)解析 (1)由题意，22()2(3,2)(6,4)，(6,4)(4，3)(2,7)，2，3(6,21)(2)3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即Error!答案 (1)B (2)A方法技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则即时演练1若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c( )Aab B.abC.ab Dab解析：选B 设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，所以121，122，解

26、得1，2，所以cab.20 / 252已知向量a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点若a，则点B的坐标为_解析：设B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(3，6)共线向量定理及应用平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属低档题.,常见的命题角度有：1 利用向量共线求参数或点的坐标；2 利用向量共线解决三点共线问题.角度一：利用向量共线求参数或点的坐标1若向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x( )A2 B3C4 D6解析：选B ab，264x0，解得x3.2已知梯形ABCD中，ABCD，

27、且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)3已知平面向量a(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，且(ac)(ab)，则m_.解析：因为a(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，所以ac(1m，m3)，ab(1，m5)21 / 25又(ac)(ab)，所以(1m)(m5)(m3)0，即m23m20，解得m或m.答案：3 172方法技巧1利用两向量共线求参

28、数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共线解决三点共线问题4(2018南阳五校联考)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k_.解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，AC1(k1)2k0，解得k1

29、.答案：15设两个非零向量a与b不共线，若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5.所以，共线22 / 25又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线方法技巧三点共线问题的求解策略解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 1(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为( )A3 B22C. D2解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建

30、立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离为，所以圆C：(x1)2(y2)2.因为P在圆C上，所以P.又(1,0)，(0,2)，(，2)，所以Error!2cos sin 2sin()3(其中tan 2)，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.2(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则( )A B4 3AC23 / 25C D1 3AC解析：选A ().3(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量( )A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析

31、：选A 法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以Error!从而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)BC4(2016全国卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.答案：25(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.答案：66(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析

32、：ab与a2b平行，abt(a2b)，24 / 25即abta2tb，解得Error!答案：1 27(2014全国卷)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_解析：由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90.答案：90一、选择题1.(2018长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )ab；ab；ab；ab.A BC D解析：选C 根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误，故选C.2(2018长沙一模)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )A B.4 3C. D.1 3解析：选A (4k，7)，25 / 25(2k，2)ACA，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.3(2018嘉兴调研)已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于( )A30 B45C60 D90解析：选A 由0得，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且CAO60，故A30.4若a，b，a与b不共线，则AOB平分线上的向量为( )A.b|b|

展开阅读全文