高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题习题理.doc

《高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题习题理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题习题理.doc（5页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 / 5【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二篇函数导数及精选高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第其应用第 1111 节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题习题理证明不等式专题习题理【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2 函数零点(方程根)有关不等式3 赋值法证明不等式41.已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+c(a0).(1)若 f(x)的图象与 g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求 b 和 c 的值;(2)若 a=c=1,b=

2、0,当 x0 时,证明:f(x)g(x).(1)解:由已知 f(0)=1,f(x)=ex,f(0)=1,g(0)=c,g(x)=2ax+b,g(0)=b,依题意有所以(2)证明:当 a=c=1,b=0 时,g(x)=x2+1.令 h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1,则 h(x)=ex-2x.设 k(x)=h(x)=ex-2x,则 k(x)=ex-2,当 xln 2 时,k(x)0,k(x)在(ln 2,+)上单调递增.所以当 x=ln 2 时,k(x)取得极小值,2 / 5且极小值为 k(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 40,即 k(x)=h(x)=ex-2x0 恒成立

3、,故 h(x)在 R 上单调递增,又 h(0)=0,因此当 x0 时,h(x)h(0)=0,即 f(x)g(x).2.已知函数 f(x)=x2+ln x.(1)求函数 f(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)求证:当 x(1,+)时,函数 f(x)的图象在 g(x)=x3+x2 的下方.(1)解:因为 f(x)=x2+ln x,所以 f(x)=2x+.因为 x1 时,f(x)0,所以 f(x)在1,e上是增函数,所以 f(x)在1,e上的最小值是 f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e2.(2)证明:令 F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x,所以 F(x)=x-2x2+=.因

4、为 x1,所以 F(x)-1.证明:因为 f(x)=x-2a+=(x0).由 x2-2ax+1=0 得 =4a2-4,当-1a1 时,f(x)0,f(x)单调递增无极值点,不符合题意.当 a1 或 a0,所以 a1,00,当h(1)=-1,即 x1ln x1-a-1 得证.4.导学号 18702128 已知函数 f(x)=ln(x+1)+.(1)若当 x0 时,f(x)1 恒成立,求 a 的取值范围;(2)求证:ln(n+1)+(nN*).(1)解:由 ln(x+1)+1 得a(x+2)-(x+2)ln(x+1).令 g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则 g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当 x0 时,g(x)1(x0),所以 ln(x+1).5 / 5取 x=得 ln(+1),即 ln.所以 ln+ln+ln+ln+,即 ln(n+1)+(nN*).