高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)学.pdf

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1、3.3。2 简单的线性规划问题(第 1 课时）学习目标 1。从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念。3。了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大（小)值。合作学习 一、设计问题，创设情境 问题情境：在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如,某工厂用 A，B 两种配件生产甲、乙两种产品，两种产品所需配件、耗时、利润如下表：产品 所需配件及数量 耗 时(小时/件)利 润(万元/件）甲产品 A 配件 4 个 1 2 乙产品 B 配件 4 个 2 3 该厂

2、每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8 小时计算，怎样安排生产才能使利润最大?问题 1:利润由哪些量来决定？有哪些数量关系？根据这些数量关系,可以设出几个未知数？请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.问题 2：有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?问题 3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么，怎样获取符合条件的 x,y 的值呢?二、信息交流，揭示规律 问题 4:若把不等式组改变为求 z=2x+3y 的最大值，这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?问题 5：大家在刚才的代入法求解

3、中,有没有发现点 A（0,3),B（3,1）使得 z=2x+3y都为 9，也就是使 2x+3y=9 成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1）会对应着类似的直线吗?问题 6:如何从几何角度认识 z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线？那么,怎样求z 的最大值呢?请大家自己探究一下。三、运用规律，解决问题【例题】设 z=2x+y，式中变量 x,y 满足条件求 z 的最大值和最小值.问题 7：请大家反思一下，解答线性规划问题的一般步骤是什么。四、变式训练，深化提高 变式训练 1:设 z=6x+10y,式中 x,y 满足条件求 z 的最

4、大值和最小值。变式训练 2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数 z=x-3y 的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点？问题 8:目标函数 z=ax+by 中,z 与纵截距的关系主要由哪个字母决定?问题 9:刚才有的同学得出目标函数 z=x-3y 的最大值和最小值分别对应可行域中的点 C 和点 B，这是什么原因造成的呢？五、反思小结,观点提炼 问题 10：目标函数 z=ax+by 中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想？那么我们在四个步骤中应该注意什么问题？参考答案 一、设计问题，创设情境 问题情境:问题 1：生产的甲、乙产品的数量.等量关系：使用的 A 配件

5、数量=甲产品数量4；使用的 B 配件数量=乙产品数量4；利润=2甲产品数量+3乙产品数量.不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时8;使用的 A 配件数量16;使用的 B 配件数量12;甲、乙产品的数量都是自然数.甲产品数量 x、乙产品数量 y、利润 z.即 问题 2:已知实数 x,y 满足求 z=2x+3y 的最大值.问题 3：碰到过；用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于 x，y 的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y，通过比较求得最大值.二、信息交流，揭示规律 学生探究 1：画出不等式组表示的平面区域，如图

6、中的阴影部分所示.可以求得平面区域内满足 x，yN 的点有(0,0),（0，1)，（0，2），(0,3)，（1,0）,（1，1），(1,2）,（1，3),（2,0),(2,1），(2,2）,(2，3）,(3，0）,(3,1），（3,2）,（4，0）,(4,1）,(4,2）.将坐标代入，比较知道，当 x=4，y=2 时，z 最大为 14。问题 4：不能，点有无数个,不可能一一验证.问题 5:2x+3y=9 表示一条直线,而点 A(0，3)，B（3，1)都在直线 2x+3y=9 上,所以都能使得 2x+3y=9 成立；有，如图所示的平面区域内位于线段 AC 上的所有的点，都使2x+3y=9，即z

7、的值等于 9；对应着直线 2x+3y=11.问题 6:当 z 变化时，它表示一族平行直线。将 z=2x+3y 化为斜截式为 y=x+,所以直线的斜率确定;而且这组直线必须和平面区域有公共点.因为当纵截距最大时，z 就最大。所以,只需作出平行直线后,找到与 y 轴的交点最靠上的那条直线所经过的一个点就可以求 z 的最大值了。学生动手操作后，得出结论：当直线平移经过点 P 时,位置最靠上,也就是纵截距最大,从而 z 最大.把点 P(4，2）代入 z=2x+3y 后,得到 zmax=14。三、运用规律，解决问题 【例题】解：由题意，变量 x，y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这

8、些平面区域的公共区域.由图知，原点(0,0）不在公共区域内,当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0,即点(0,0)在直线l0：2x+y=0上,作一组平行于 l0的直线 l：2x+y=t，tR,可知：当 l 在 l0的右上方时，直线 l 上的点（x,y)满足 2x+y0,即 t0，而且,直线 l 往右平移时,t 随之增大.由图象可知，当直线 l 经过点 A(5，2）时，对应的 t 最大，当直线 l 经过点 B(1，1)时,对应的 t 最小,所以，zmax=25+2=12，zmin=21+1=3.问题 7:一画(可行域)；二移（直线）;三求（最优解);四答(最大值)。四、变式训练,深化提高 变式

9、训练 1:解：由引例可知:直线 l0与 AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知,当 l 与 AC 所在直线 3x+5y-25=0 重合时 z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当 l 经过点 B(1，1)时，对应 z 最小,将AC所 在 直 线 上 任 意 一 点，如A(5,2)，代 入z=6x+10y，得zmax=65+210=50,zmin=61+101=16.变式训练 2:分别对应可行域中的点 C 和点 A。问题 8:b 的符号,当 b0 时,直线 l 在最上(下）面时 z 最大(小);当 b0 时，直线l 在最上(下)面时 z 最小(大）.问题 9:目标函数对应直线的斜率比可行域

10、中直线 x-4y+4=0 的斜率大，但是在平移直线时,所作直线没有与直线 x-4y=0 保持平行而是发生偏斜,使平行后所得到的直线斜率小于.五、反思小结,观点提炼 问题 10:两个;数形结合；一画要准;二移直线斜率要相对准确;三求最优解位置要准确.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my c

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