高考数学一轮复习第九章解析几何9-2两直线的位置关系学案理.doc

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1、- 1 - / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-9-2 2 两直线的位置关系学案理两直线的位置关系学案理考纲展示 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离考点 1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1l2_；当不重合的两条直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2 的关系为_(2)两条直线垂直如果

2、两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则l1l2_；如果 l1，l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，l1 与 l2 的关系为_答案：(1)k1k2 平行 (2)k1k21 垂直2两条直线的交点答案：唯一解 无解 无穷多解(1)教材习题改编若直线 l 过点(1,2)，且与直线 yx 垂直，- 2 - / 17则直线 l 的方程是_答案：xy10解析：由条件知，直线 l 的斜率 k1，则其方程为y2(x1)，即 xy10.(2)教材习题改编过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线与直线yxm 平行，则|AB|_.答案：2解析：依题意有1，即 ba1，则|AB|

3、.两直线位置关系的重点：平行和垂直(1)若直线 l1：2xmy10 与直线 l2：y3x1 平行，则m_.答案：2 3解析：若 l1l2，则需满足 Error!得 Error!所以 m 的值是.(2)2016辽宁锦州模拟若直线 l1：kx(1k)y30 和l2：(k1)x(2k3)y20 互相垂直，则 k_.答案：3 或 1解析：由 k(k1)(1k)(2k3)0，得 k1 或 k3.典题 1 (1)2017重庆巴蜀中学模拟若直线 ax2y10与直线 xy20 互相垂直，那么 a 的值等于( )A1 B C D2答案 D解析 由 a1210，得 a2，故选 D.(2)2017浙江金华十校模拟“

4、直线 axy0 与直线- 3 - / 17xay1 平行”是“a1”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 由直线 axy0 与 xay1 平行，得 a21，即a1，所以“直线 axy0 与 xay1 平行”是“a1”的必要不充分条件(3)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是( )Bx2y10Ax2y10 Dx2y10C2xy20 答案 A解析 依题意，设所求的直线方程为 x2ya0，由于点(1,0)在所求直线上，则 1a0，即 a1，则所求的直线方程为x2y10.(4)经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点

5、P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程为_答案 4x3y60解析 解法一：由方程组得即 P(0,2)ll3，直线 l 的斜率 k，直线 l 的方程为 y2x，即 4x3y60.解法二：直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点，可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，- 4 - / 17即(1)x(2)y420.l 与 l3 垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.点石成金 1.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程0) B l1：A1xB1yC10(A2 12 10) B l2：A2xB2yC20(A2 22 2l1

6、与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)A1 A2B1 B2C1 C2l1与l2相交的充分条件(A2B20)A1 A2B1 B2l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)A1 A2B1 B2C1 C2在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答2两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点3常见的三大直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3

7、)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.- 5 - / 17考点 2 距离公式的应用三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2两条平行线AxByC10 与AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2距离问题中的易错点：平行线间的距离两平行直线 3x4y10 与 6x8y180 间的距离是_答案：2解析：两平行直线的方程分别是 3x4y10 和3x4y90，由两平行线间的距离公式得

8、，所求距离 d2.两平行直线 l1，l2 分别过点 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2 间的距离为 5，则 l1 与 l2 的方程分别为_答案：y0 与 y5 或 5x12y50 与 5x12y600解析：依题意，两条直线的斜率必存在设所求直线方程为 l1：yk(x1)，l2：ykx5.两条平行直线间的距离为 5，5，解得 k0 或 k，所求直线方程为 l1：y0，l2：y5 或l1：5x12y50，l2：5x12y600.典题 2 直线 l 经过点 P(2，5)且与点 A(3，2)和点- 6 - / 17B(1,6)的距离之比为 12，求直线 l 的方程解 当直线 l 与 x 轴

9、垂直时，此时直线 l 的方程为 x2，点 A 到直线 l 的距离为 d11，点 B 到直线 l 的距离为 d23，不符合题意，故直线 l 的斜率必存在，设为 k，直线 l 过点 P(2，5)，设直线 l 的方程为 y5k(x2)，即 kxy2k50.点 A(3，2)到直线 l 的距离d1，点 B(1,6)到直线 l 的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为 xy30 和 17xy290.点石成金 利用距离公式应注意：(1)点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb的距离 d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，

10、y 的系数化为相等.1.2017四川绵阳一诊若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.29 5答案：C解析：因为，所以两直线平行，- 7 - / 17由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.2直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_答案：x3y50 或 x1解析：解法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k，则它的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线 l 的方程

11、为 y2(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意综上知，所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.解法二：当 ABl 时，有 kkAB，直线 l 的方程为 y2(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(1,4)，直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.考点 3 对称问题考情聚焦 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型主要有以下几个命题角度：角度一点关于点的中心对称问题- 8 - / 17典题 3 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80和

12、l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_答案 x4y40解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.角度二点关于直线的对称问题典题 4 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则点 A关于直线 l 的对称点 A的坐标为_答案 (33 13，4 13)解析 设 A(x，y)，由已知得Error!解得Error!故 A.角度三直线关于直线的对称问题典题 5 已知直

13、线 l：2x3y10，求直线m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程解 在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点 M(a，b)，则Error!解得Error!- 9 - / 17M.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式，得直线 m的方程为 9x46y1020.角度四对称问题的应用典题 6 在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点 P 是边 AB上异于 A，B 的一点光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点P(如图)若光线 QR 经过ABC 的重心，

14、则 AP 等于_答案 4 3解析 以 AB，AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC 的重心 D，设 APx，则 P(x,0)，x(0,4)，由光的反射定理知，点 P 关于直线 BC，AC 的对称点 P1(4,4x)，P2(x,0)，与ABC 的重心 D 共线，所以，解得 x，AP.点石成金 1.点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足Error!2解决点关于直线对称问题要把握两点，点 M 与点 N 关于直线l 对称，则线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l 与直线 MN 垂直3若直线 l1

15、，l2 关于直线 l 对称，则有如下性质：若直线 l1与 l2 相交，则交点在直线 l 上；若点 B 在直线 l1 上，则其关于直- 10 - / 17线 l 的对称点 B在直线 l2 上4解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分” ，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.方法技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.2与已知直线垂

16、直及平行的直线系的设法与直线 AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.3直线 l1：A1xB1yC10(AB0)，l2：A2xB2yC20(AB0)，则：(1)l1l2A1A2B1B20；(2)l1l2(A2B2C20)；(3)l1 与 l2 相交(A2B20)；(4)l1 与 l2 重合(A2B2C20)4对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法易错防范 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公

17、式 d的前提是将两方程中的- 11 - / 17x，y 的系数化为对应相等真题演练集训 12016四川卷设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)图象上点P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是( )B(0,2)A(0,1) D(1，)C(0，) 答案：A解析：不妨设 P1(x1，ln x1)，P2(x2，ln x2)，由于 l1l2，所以1，则 x1.又切线 l1：yln x1(xx1)，l2：yln x2(xx2)，于是 A(0，ln x11)，B(0,1ln x1)，所以|AB|2.联立Error!

18、解得 xP.所以 SPAB2xP，因为 x11，所以 x12，所以 SPAB 的取值范围是(0,1)，故选 A.22013新课标全国卷已知点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )B. A. (0,1) (122，12)D. C. 1 3，1 2)答案：B解析：如图所示，点 F 在线段 AB 上时，- 12 - / 17可求得 E，则 SEFBSABC，整理得 a，由Error!可解得b0，则16t25t64，当且仅当 t，即 t5 时等号成立；当 m时，0；当 m时，tt(3t 4)211，当且仅当 t，即

19、 t5 时等号成立综上可得，(mR)的最大值为 4，所以点 P(2,1)到直线 mxy30(mR)的最大距离是2.解法二：对于直线 l：mxy30(mR)，令 m0，则有y30；令 m1，则有 xy30，解方程组得Error!- 15 - / 17则直线 l 经过定点 Q(0，3)，如图所示由原题答图知，当 PQl 时，点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值，此时|PQ|2，所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离是 2.答案 25方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴专题二

20、 有关直线的距离最值问题典例 3 已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4)(1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小；(2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大思路分析 解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点 A(m，n)，则解得Error!故 A(2,8)P 为直线 l 上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，则点 P 就是直线 AB 与直线 l 的交点，解得Error!故所求的点 P 的坐标为(2,3)(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则- 1

21、6 - / 17|PB|PA|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，则点 P 就是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，解得Error!故所求的点 P 的坐标为(12,10)典例 4 已知点 A(3,1)，在直线 yx 和 y0 上各找一点 M 和N，使AMN 的周长最短，并求出最短周长思路分析 解 由点 A(3,1)及直线 yx，可求得点 A 关于 yx 的对称点为点 B(1,3)，同样可求得点 A 关于 y0 的对称点为点 C(3，1)，如图所示则|AM|AN|MN|BM|CN|MN|BC|，当且仅当 B，M，N，C 四点

22、共线时，AMN 的周长最短，为|BC|2.由 B(1,3)，C(3，1)可得，直线 BC 的方程为 2xy50.由得Error!故点 M 的坐标为.对于 2xy50，令 y0，得 x，故点 N 的坐标为.故在直线 yx 上找一点 M，在 y0 上找一点 N，可使AMN 的周长最短，最短周长为 2.领悟整合在直线 l 上找一点 P 到两定点 A，B 的距离之和最小，则点 P 必在线- 17 - / 17段 AB上，故将 l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点 P 到两定点 A，B 的距离之差最大，则点 P 必在 AB的延长线或 BA的延长线上，故将 l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A，B为点 A，B关于 l 的对称点)