【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两条直线的位置关系、点到直线的距离教学案.pdf

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1、 9.2 两条直线的位置关系、点到直线的距离 考纲要求 1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 yk1xb1 yk2xb2 A1xB1yC10(A21B210)A2xB2yC20(A22B220)相交 _ A1B2A2B10(当A2B20 时，记为A1A2B1B2)垂直 k1k21 _(当B1B20 时，记为A1B1A2B21)平行 _ A1B2A2B10，B2C1B1C20，或 A1B2A2B10，A1C2A2C10 (当A2

2、B2C20 时，记为A1A2B1B2C1C2)重合 _ A1B2A2B1B2C1B1C2A1C2A2C10(当A2B2C20 时，记为A1A2B1B2C1C2)2.两直线的交点 设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，将这两条直线的方程联立，得方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20，若方程组有唯一解，则l1与l2_，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2_；若方程组有无数个解，则l1与l2_.3有关距离(1)两点间的距离 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|_.(2)点到直线的距离 平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：

3、AxByC0 的距离d_.(3)两平行线间的距离 已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：求一条直线上一点到另一条直线的距离；设l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2之间的距离d_.4对称问题(1)中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为_(2)中心对称 若 点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则 由中 点坐 标公式 得_(3)轴对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0 对称，则线段P1P2的中点 在 对 称 轴l上，而 且 连 接P1，P2的 直 线 垂 直 于 对 称 轴l.由

4、 方 程 组 Ax1x22By1y22C0，y1y2x1x2BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A0，x1x2)1过点(1,0)且与直线x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 2已知点P在直线x2y5 上，且点Q(1,1)，则|PQ|的最小值为()A.55 B.8 55 C.3 55 D.2 55 3若直线axy50 与x2y70 垂直，则a的值为()A2 B.12 C2 D12 4若三条直线 2x3y80，xy10 和xby0 相交于一点，则b()A1 B12 C2 D12 5 与直线 7x24y50 平行，并且到它的距

5、离为 4 的直线方程是_ 一、两直线的平行【例 1】直线l1：2x(m1)y40 与直线l2：mx3y20 平行，则m的值为()A2 B3 C2 或3 D2 或3 方法提炼 1判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10 且B1C2B2C10.2与直线AxByC0 平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，这也是经常采用的解题技巧 请做演练巩固提升 2 二、

6、两直线的垂直【例 2】若直线x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，则实数m_.方法提炼 1判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k21，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，两直线也垂直(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.2与AxByC0 垂直的直线方程可设为BxAym0，这也是经常采用的解题技巧 请做演练巩固提升 1 三、距离公式的应用【例 3】已知点A(2，1)，(1)求过点A且与原点距离为 2 的直线l的方程；(

7、2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点A且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在 请说明理由 方法提炼 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式 请做演练巩固提升 4 四、对称问题【例 4】已知直线l1：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l1的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60 关于直线l1的对称直线l2的方程；(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程 方法提炼 1在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称处理这种问题关键

8、是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个 通法 2求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决 请做演练巩固提升 3 直线中的新概念问题【典例】在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义OP|x|y|，其中O为坐标原点 对于以下结论：符合OP1 的点P的轨迹围成的图形的面积为 2；设P为直线 5x2y20 上任意一点，则OP的最小值为 1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号)解析：根据新

9、定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为 1 是假命题 由OP1，根据新定义得：|x|y|1，上式可化为：yx1(0 x1)，yx1(1x0)，yx1(1x0)，yx1(0 x1)，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是 2的正方形，所以面积等于 2，故正确；当点P为25，0时，OP|x|y|2501，所以OP的最小值不为 1，故错误；所以正确的结论有：.答案：答题指导：1.本题有以下两处创新点(1)考查内容的创新，使解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查(2)考查对新定义、新概

10、念的理解与运用，同时考查思维的创新，本题考查了学 生的发散思维，思维方向与习惯思维不同 2解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何 1与直线 3x4y10 垂直且过点(2,1)的直线l的方程为_ 2直线xay30 与直线ax4y60 平行的充要条件是a_.3如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线被直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经OB反射回到P点，则光线经过的路程是_ 4若P(a，b)在直线

11、xy10 上，求a2b22a2b2的最小值 5(1)在直线l：3xy10 上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3xy10 上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1k1k2 A1A2B1B20 k1k2，b1b2 k1k2，b1b2 2相交 平行 重合 3(1)(x2x1)2(y2y1)2(2)|Ax0By0C|A2B2(3)|C1C2|A2B2 4(1)x1x22，y1y22(2)x2ax1，y2by1 基础自测 1A 解析：所求直线与直线x2y20 平行，所求直线的斜率为12，方程为y012(

12、x1)，即x2y10.2D 解析：根据题意知，|PQ|的最小值为点Q到直线x2y5 的距离 根据点到直线的距离公式，得|1215|12225255.3A 解析：两直线垂直，a11(2)a20.a2.4B 解析：解方程组 2x3y80，xy10，得 x1，y2，三条直线交于点(1，2)12b0，即b12.57x24y950 或 7x24y1050 解析：设所求直线方程为 7x24yc0，则d|c(5)|722424，c95 或c105.所求直线方程为 7x24y950 或 7x24y1050.考点探究突破【例 1】C 解析：(方法一)当m1 时，l1：2x40，l2：x3y20，显然l1与l2不

13、平行；当m1 时，因为l1l2，所以应满足2m1m3且4m123，解得m2 或m3.(方法二)若l1l2，需 23m(m1)0，解得m3 或m2.当m3 或 2 时，2(m1)120.m3 或 2 为所求【例 2】1 解析：(方法一)当m0 时，l1：x2y50，l2：2x60 不垂直；当m0 时，因为l1l2，则122m1，则m1.(方法二)若l1l2，则 12(2)m0.m1.【例 3】解：(1)由过点A的直线l与原点距离为 2，而点A的坐标为(2，1)，可知当斜率不存在时，直线l的方程为x2，此时，原点到直线l的距离为 2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy

14、2k10，由已知得|2k1|k212，解得k34，此时直线l的方程为 3x4y100，综上可知：直线l的方程为x2 或 3x4y100.(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由lAO，得klkOA1，所以kl1kOA2.由直线的点斜式得y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是|5|5 5.(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5的直线，因此不存在过点A且与原点距离为 6 的直线【例 4】解：(1)设A(x，y)，由已知得 y2x1231，2x123y2210，解得 x3313，y413.故A3313，

15、413.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上 设对称点为M(a，b)，则由 2a223b0210，b0a2231，得M613，3013.设m与l1的交点为N，由 2x3y10，3x2y60，得N(4,3)又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为 9x46y1020.(3)(方法一)在l1：2x3y10 上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l3上 易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l3的方程为 2x3y90.(方法二)l1l3，可设l3的方程为 2x3yc0(c1)点A到两直线的距离相等，由点到直线的距离公式得

16、|26c|2232|261|2232，得c9，l3的方程为2x3y90.(方法三)设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)P在直线l1上，2(2x)3(4y)10.整理得 2x3y90.演练巩固提升 14x3y50 解析：(方法一)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，l与直线 3x4y10 垂直，k43.又直线l过点(2,1)，所以直线l的方程为y143(x2)，即 4x3y50.(方法二)设直线l的方程为 4x3yc0，由l过点(2,1)，4231c0，c5.直线l的方程为 4x3y50.2 2 解析：直线xay30 与直线ax4y60

17、平行a24 且a436a 2.32 10 解析：P关于直线AB：xy4 的对称点P1(4,2)，P关于y轴的对称点P2(2,0)，则|P1P2|62222 10为所求 4解：a2b22a2b2(a1)2(b1)2，可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离 又点P是直线xy10 上任一点，(a1)2(b1)2即是点(1,1)与直线xy10 上任一点之间的距离 因此，点(1,1)到直线xy10 的距离即是(a1)2(b1)2的最小值 由于点(1,1)到直线xy10 的距离为d|111|12123 22，故a2b22a2b2的最小值为322.5解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B，连

18、接AB并延长交l于P，此时的P满足|PA|PB|的值最大 图甲 设B的坐标为(a，b)，则kBBkl1，即b4a31.a3b120.又由于线段BB的中点坐标为a2，b42，且在直线l上，3a2b4210，即 3ab60.联立，解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程为y131x434，即 2xy90.解方程组 3xy10，2xy90，得 x2，y5，即l与AB的交点坐标为P(2,5)(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C，连接AC交l于点Q，此时的Q满足|QA|QC|的值最小 图乙 设C的坐标为(x，y)，y4x331，3x32y4210.解得 x35，y245.C35，245.由两点式得直线AC的方程为y12451x4354，即 19x17y930.解方程组 19x17y930，3xy10，得 x117，y267.所求点Q的坐标为117，267.